Номер 19.4, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.4.1) $ \cos x = -0,7; $

2) $ \sin x = -\frac{\sqrt{5}}{4}; $

3) $ \cos x = 0,3; $

4) $ \operatorname{ctg} x = -5; $

5) $ \operatorname{tg} x = 0; $

6) $ \sin x = -1. $

1) Дано тригонометрическое уравнение $\cos x = -0,7$. Общее решение уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -0,7$, и так как $|-0,7| \le 1$, уравнение имеет решение. Подставляя значение $a$, получаем: $x = \pm \arccos(-0,7) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-0,7) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{5}}{4}$. Общее решение уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие для $a = -\frac{\sqrt{5}}{4}$. Так как $4^2 = 16$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, то $5 < 16$, значит $\sqrt{5} < 4$ и $|\frac{\sqrt{5}}{4}| < 1$. Следовательно, $|-\frac{\sqrt{5}}{4}| < 1$, и уравнение имеет решение. Подставляем значение $a$: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k$. Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$, получаем: $x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{5}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано тригонометрическое уравнение $\cos x = 0,3$. Это уравнение вида $\cos x = a$ с $a = 0,3$. Так как $|0,3| \le 1$, решение существует и находится по общей формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставляем значение $a$: $x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = -5$. Общее решение уравнения вида $\text{ctg } x = a$ определяется для любого действительного числа $a$ по формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -5$. Подставляя это значение в формулу, получаем решение: $x = \text{arcctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arcctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Дано тригонометрическое уравнение $\text{tg } x = 0$. Это частный случай уравнения $\text{tg } x = a$. Общее решение находится по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Подставляем $a = 0$: $x = \text{arctg}(0) + \pi k$. Поскольку $\text{arctg}(0) = 0$, решение упрощается до $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай уравнения $\sin x = a$. Решениями этого уравнения являются углы, для которых ордината на единичной окружности равна -1. Это происходит в точке с углом $-\frac{\pi}{2}$ и во всех точках, отличающихся на целое число полных оборотов ($2\pi$). Таким образом, решение можно записать в виде $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.