Вопросы, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему для уравнений видов: $ \cos x = a $ и $ \sin x = a $ при $ |a| > 1 $ нет корней?

2. Как, используя единичную окружность, можно решать простейшие тригонометрические уравнения?

1. Почему для уравнений видов: cosx = a и sinx = a при |a| > 1 нет корней?

Функции синус ($\sin x$) и косинус ($\cos x$) определяются через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Уравнение такой окружности в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = 1$.

По определению, для любого угла $\alpha$, которому соответствует точка $P(x_p, y_p)$ на единичной окружности, ее координаты равны косинусу и синусу этого угла: $x_p = \cos \alpha$ и $y_p = \sin \alpha$.

Поскольку любая точка на единичной окружности удалена от центра на расстояние 1, ее координаты не могут быть меньше -1 или больше 1. Это значит, что для любого действительного числа $x$ всегда выполняются неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

$-1 \le \sin x \le 1$

Эти два неравенства можно записать в виде $|\cos x| \le 1$ и $|\sin x| \le 1$. Таким образом, область значений для функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

Условие $|a| > 1$ означает, что $a > 1$ или $a < -1$. Если мы пытаемся решить уравнение $\cos x = a$ или $\sin x = a$ при таком значении $a$, мы ищем угол $x$, синус или косинус которого выходит за пределы своей области допустимых значений. Таких действительных углов не существует. Следовательно, данные уравнения не имеют решений (корней) в множестве действительных чисел.

Ответ: Значения функций $\sin x$ и $\cos x$ по определению являются координатами точек на единичной окружности (окружности с радиусом 1), и поэтому они не могут по модулю превышать 1. Область значений для синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Если $|a| > 1$, то значение $a$ выходит за пределы этой области, и, следовательно, уравнения $\cos x = a$ и $\sin x = a$ не имеют действительных корней.

2. Как, используя единичную окружность, можно решать простейшие тригонометрические уравнения?

Единичная окружность позволяет наглядно представить и найти решения простейших тригонометрических уравнений. На единичной окружности каждому углу $x$ соответствует точка $P$, абсцисса (координата x) которой равна $\cos x$, а ордината (координата y) — $\sin x$.

Алгоритм решения уравнения $\sin x = a$ (при $|a| \le 1$):

1. В системе координат рисуется единичная окружность.

2. Так как $\sin x$ — это ордината точки на окружности, на оси OY отмечается значение $a$.

3. Через эту точку проводится горизонтальная прямая $y=a$.

4. Эта прямая пересечет окружность в одной (если $|a|=1$) или двух (если $|a|<1$) точках. Углы, соответствующие этим точкам, являются решениями уравнения.

5. Находятся значения этих углов. Например, для $a>0$ один угол будет $x_1 = \arcsin a$ (в первой четверти), а второй $x_2 = \pi - \arcsin a$ (во второй четверти).

6. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, для получения всех решений к найденным углам добавляют $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Общее решение можно записать в виде двух серий: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$.

Алгоритм решения уравнения $\cos x = a$ (при $|a| \le 1$):

1. Рисуется единичная окружность.

2. Так как $\cos x$ — это абсцисса точки на окружности, на оси OX отмечается значение $a$.

3. Через эту точку проводится вертикальная прямая $x=a$.

4. Находятся точки пересечения этой прямой с окружностью.

5. Определяются углы, соответствующие этим точкам. Точки будут симметричны относительно оси OX, поэтому углы равны $x_1 = \arccos a$ и $x_2 = -\arccos a$.

6. С учетом периодичности косинуса (период $2\pi$) общее решение записывается как $x = \pm \arccos a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Для решения уравнения вида $\sin x = a$ на единичной окружности проводят горизонтальную прямую $y=a$ и находят углы, соответствующие точкам пересечения этой прямой с окружностью. Для уравнения $\cos x = a$ проводят вертикальную прямую $x=a$ и также находят углы для точек пересечения. Ко всем найденным "главным" значениям углов необходимо прибавить $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), чтобы учесть периодичность функций и получить все множество решений.