Номер 19.2, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.2.

1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

4) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $\sin x = 0$;

6) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) Решим уравнение $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общая формула для решения уравнения $sinx = a$ (где $|a| \le 1$) имеет вид: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Арксинус этого значения равен $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу для решения тригонометрических уравнений вида $sinx = a$: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса равно $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Подставляя в формулу, получаем общее решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $sinx = -\frac{1}{2}$. Общее решение уравнения $sinx = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -\frac{1}{2}$. Найдем арксинус: поскольку функция арксинус является нечетной, $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. Подставим в общую формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $sinx = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Применим общую формулу решения $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используя свойство нечетности арксинуса, находим: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$. Подставив в формулу, получаем: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sinx = 0$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда угол равен целому числу, умноженному на $\pi$. Следовательно, решение уравнения имеет вид: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это также можно получить из общей формулы: $x = (-1)^k \arcsin(0) + \pi k$. Поскольку $\arcsin(0) = 0$, получаем $x = \pi k$.

Ответ: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $sinx = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу для синуса: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом уравнении $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем арксинус, используя его нечетность: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Подставим значение в общую формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.