Номер 19.7, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.7.1) $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}; $

2) $ \cos(-3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}; $

3) $ \sin(2(x - 1)) = -\frac{1}{2}; $

4) $ \text{tg}(0.5x + 2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

5) $ \sin(4x - 1) = 0; $

6) $ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = 1. $

1) Решим уравнение $sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его решения можно найти, используя две серии решений: $t = \alpha + 2\pi n$ и $t = \pi - \alpha + 2\pi n$, где $\alpha = \arcsin(a)$ и $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 2x - \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Основное значение угла: $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Рассмотрим обе серии решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos(-3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Уравнение принимает вид: $cos(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $cos(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$3x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $sin(2(x - 1)) = -\frac{1}{2}$.

Раскроем скобки в аргументе синуса: $sin(2x - 2) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 2x - 2$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$2x - 2 = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$2x - 2 = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = 2 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = 1 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = 1 + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $tg(0,5x + 2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это тригонометрическое уравнение вида $tg(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = 0,5x + 2$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ не является табличным для тангенса, решение выражается через арктангенс.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.

$0,5x + 2 = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

$0,5x + 2 = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Выразим $x$:

$0,5x = -2 - \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = -4 - 2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$.

Ответ: $x = -4 - 2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $sin(4x - 1) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

Уравнение $sin(t) = 0$ имеет решение $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x - 1$.

$4x - 1 = \pi n$

Выразим $x$:

$4x = 1 + \pi n$

$x = \frac{1 + \pi n}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{4}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $ctg(\frac{\pi}{4} - 2x) = 1$.

Это тригонометрическое уравнение вида $ctg(t) = a$. Его решения находятся по формуле $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае, $t = \frac{\pi}{4} - 2x$ и $a = 1$.

Значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{\pi}{4} - 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$-2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$-2x = \pi n$

$x = -\frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.