Номер 19.14, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.14. Решите уравнение, используя способ понижения степени и формулы приведения:

1) $cos^2(7\pi + x) = \frac{1}{2};$

2) $sin^2(4,5\pi - x) = \frac{3}{4};$

3) $tg^2(5\pi + 3x) = 3;$

4) $cos^2(7,5\pi - 2x) - \frac{3}{4} = 0.$

1) Исходное уравнение: $cos^2(7π + x) = \frac{1}{2}$.

Сначала применим формулу приведения. Так как период функции косинус равен $2π$, мы можем отбросить целое число периодов из аргумента: $7π = 6π + π$.

$cos(7π + x) = cos(6π + π + x) = cos(π + x)$.

По формуле приведения $cos(π + α) = -cos(α)$, поэтому $cos(π + x) = -cos(x)$.

Подставим это в исходное уравнение: $(-cos(x))^2 = \frac{1}{2}$, что равносильно $cos^2(x) = \frac{1}{2}$.

Теперь используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2(α) = \frac{1 + cos(2α)}{2}$.

Применив ее, получаем: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на 2: $1 + cos(2x) = 1$.

Отсюда $cos(2x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого имеет вид $2x = \frac{π}{2} + πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти x: $x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}$, $n ∈ ℤ$.

2) Исходное уравнение: $sin^2(4,5π - x) = \frac{3}{4}$.

Сначала применим формулу приведения. Представим $4,5π$ как $4π + \frac{π}{2}$.

$sin(4,5π - x) = sin(4π + \frac{π}{2} - x) = sin(\frac{π}{2} - x)$.

По формуле приведения $sin(\frac{π}{2} - α) = cos(α)$, поэтому $sin(4,5π - x) = cos(x)$.

Уравнение принимает вид: $(cos(x))^2 = \frac{3}{4}$, или $cos^2(x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $cos^2(α) = \frac{1 + cos(2α)}{2}$.

Получаем: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$.

Умножим обе части на 4: $2(1 + cos(2x)) = 3$, что равносильно $2 + 2cos(2x) = 3$.

Отсюда $2cos(2x) = 1$, и $cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $2x = ±\frac{π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим на 2, чтобы найти x: $x = ±\frac{π}{6} + πn$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{6} + πn$, $n ∈ ℤ$.

3) Исходное уравнение: $tg^2(5π + 3x) = 3$.

Сначала применим формулу приведения. Период тангенса равен $π$, поэтому $tg(5π + 3x) = tg(3x)$.

Уравнение принимает вид: $tg^2(3x) = 3$.

Используем формулу понижения степени для тангенса: $tg^2(α) = \frac{1 - cos(2α)}{1 + cos(2α)}$.

Применив ее к нашему уравнению, получаем: $\frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{1 + cos(2 \cdot 3x)} = 3$.

$\frac{1 - cos(6x)}{1 + cos(6x)} = 3$.

Избавимся от знаменателя, умножив на него обе части (при условии $1 + cos(6x) ≠ 0$):

$1 - cos(6x) = 3(1 + cos(6x))$.

$1 - cos(6x) = 3 + 3cos(6x)$.

Перенесем слагаемые с косинусом в одну сторону, а числа в другую:

$1 - 3 = 3cos(6x) + cos(6x)$.

$-2 = 4cos(6x)$.

$cos(6x) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $6x = ±arccos(-\frac{1}{2}) + 2πn = ±\frac{2π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим на 6, чтобы найти x: $x = ±\frac{2π}{18} + \frac{2πn}{6} = ±\frac{π}{9} + \frac{πn}{3}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{9} + \frac{πn}{3}$, $n ∈ ℤ$.

4) Исходное уравнение: $cos^2(7,5π - 2x) - \frac{3}{4} = 0$.

Перепишем уравнение в виде: $cos^2(7,5π - 2x) = \frac{3}{4}$.

Применим формулу приведения. Представим $7,5π$ как $8π - \frac{π}{2}$.

$cos(7,5π - 2x) = cos(8π - \frac{π}{2} - 2x) = cos(-(\frac{π}{2} + 2x))$.

Так как косинус — четная функция ($cos(-α) = cos(α)$), то $cos(-(\frac{π}{2} + 2x)) = cos(\frac{π}{2} + 2x)$.

По формуле приведения $cos(\frac{π}{2} + α) = -sin(α)$, получаем $cos(\frac{π}{2} + 2x) = -sin(2x)$.

Подставим это в уравнение: $(-sin(2x))^2 = \frac{3}{4}$, что равносильно $sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2(α) = \frac{1 - cos(2α)}{2}$.

В нашем случае $α = 2x$, поэтому $2α = 4x$. Получаем: $\frac{1 - cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$.

Умножим обе части на 4: $2(1 - cos(4x)) = 3$.

$2 - 2cos(4x) = 3$.

$-2cos(4x) = 1$, откуда $cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $4x = ±\frac{2π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим обе части на 4: $x = ±\frac{2π}{12} + \frac{2πn}{4} = ±\frac{π}{6} + \frac{πn}{2}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{6} + \frac{πn}{2}$, $n ∈ ℤ$.