Номер 19.13, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.13. Найдите корни уравнения, принадлежащие указанному интер-
валу:

1) $ \sin(x - 450^\circ) - \cos(3x - 180^\circ) = 0, \quad 0^\circ < x < 180^\circ; $

2) $ \sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ), \quad 40^\circ < x < 90^\circ; $

3) $ \cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ), \quad 0^\circ < x < 90^\circ; $

4) $ \cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0, \quad 180^\circ < x < 270^\circ. $

1) Решим уравнение $sin(x - 450^{\circ}) - cos(3x - 180^{\circ}) = 0$ на интервале $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$.

Сначала упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения и периодичность.

Для первого слагаемого: $sin(x - 450^{\circ}) = sin(x - 90^{\circ} - 360^{\circ}) = sin(x - 90^{\circ}) = -sin(90^{\circ} - x) = -cos(x)$.

Для второго слагаемого: $cos(3x - 180^{\circ}) = cos(-(180^{\circ} - 3x)) = cos(180^{\circ} - 3x) = -cos(3x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$-cos(x) - (-cos(3x)) = 0$

$-cos(x) + cos(3x) = 0$

$cos(3x) = cos(x)$

Это уравнение распадается на две серии решений:

а) $3x = x + 360^{\circ}k$, где $k$ – целое число.

$2x = 360^{\circ}k$

$x = 180^{\circ}k$

б) $3x = -x + 360^{\circ}n$, где $n$ – целое число.

$4x = 360^{\circ}n$

$x = 90^{\circ}n$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$.

Из серии $x = 180^{\circ}k$: при $k=1$ получаем $x=180^{\circ}$, что не входит в интервал. При других целых $k$ корни также не попадают в интервал.

Из серии $x = 90^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=90^{\circ}$. Этот корень принадлежит указанному интервалу. При $n=2$ получаем $x=180^{\circ}$, что не входит в интервал.

Следовательно, единственный корень на заданном интервале – это $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.

2) Решим уравнение $sin(x + 270^{\circ}) - cos(3x + 720^{\circ}) = 0$ на интервале $40^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Упростим выражения:

$sin(x + 270^{\circ}) = -cos(x)$.

$cos(3x + 720^{\circ}) = cos(3x + 2 \cdot 360^{\circ}) = cos(3x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(x) - cos(3x) = 0$

$cos(3x) = -cos(x)$

Используя формулу $cos(180^{\circ} - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:

$cos(3x) = cos(180^{\circ} - x)$

Решения этого уравнения:

а) $3x = 180^{\circ} - x + 360^{\circ}k$

$4x = 180^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = 45^{\circ} + 90^{\circ}k$

б) $3x = -(180^{\circ} - x) + 360^{\circ}n$

$3x = x - 180^{\circ} + 360^{\circ}n$

$2x = -180^{\circ} + 360^{\circ}n$

$x = -90^{\circ} + 180^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $40^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Из серии $x = 45^{\circ} + 90^{\circ}k$: при $k=0$ получаем $x=45^{\circ}$. Этот корень подходит. При $k=1$, $x=135^{\circ}$, что не подходит.

Из серии $x = -90^{\circ} + 180^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=90^{\circ}$, что не входит в интервал (строгое неравенство).

Единственный корень на заданном интервале – $45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

3) Решим уравнение $cos(-5x - 180^{\circ}) - sin(4x + 630^{\circ}) = 0$ на интервале $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Упростим выражения:

$cos(-5x - 180^{\circ}) = cos(5x + 180^{\circ}) = -cos(5x)$.

$sin(4x + 630^{\circ}) = sin(4x + 270^{\circ} + 360^{\circ}) = sin(4x + 270^{\circ}) = -cos(4x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(5x) - (-cos(4x)) = 0$

$-cos(5x) + cos(4x) = 0$

$cos(4x) = cos(5x)$

Это уравнение имеет две серии решений:

а) $5x = 4x + 360^{\circ}k$

$x = 360^{\circ}k$

б) $5x = -4x + 360^{\circ}n$

$9x = 360^{\circ}n$

$x = 40^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Из серии $x = 360^{\circ}k$ нет корней в данном интервале.

Из серии $x = 40^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=40^{\circ}$, что подходит. При $n=2$ получаем $x=80^{\circ}$, что тоже подходит. При $n=3$ получаем $x=120^{\circ}$, что не подходит.

Корни, принадлежащие указанному интервалу: $40^{\circ}$ и $80^{\circ}$.

Ответ: $40^{\circ}, 80^{\circ}$.

4) Решим уравнение $cos(4x - 180^{\circ}) - sin(2x + 90^{\circ}) = 0$ на интервале $180^{\circ} < x < 270^{\circ}$.

Упростим выражения:

$cos(4x - 180^{\circ}) = cos(180^{\circ} - 4x) = -cos(4x)$.

$sin(2x + 90^{\circ}) = cos(2x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(4x) - cos(2x) = 0$

$cos(4x) + cos(2x) = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos((\alpha+\beta)/2)cos((\alpha-\beta)/2)$:

$2cos((4x+2x)/2)cos((4x-2x)/2) = 0$

$2cos(3x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $cos(3x) = 0$

$3x = 90^{\circ} + 180^{\circ}k$

$x = 30^{\circ} + 60^{\circ}k$

б) $cos(x) = 0$

$x = 90^{\circ} + 180^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $180^{\circ} < x < 270^{\circ}$.

Из серии $x = 30^{\circ} + 60^{\circ}k$:

При $k=3$ получаем $x = 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$. Этот корень подходит.

При $k=4$ получаем $x = 30^{\circ} + 240^{\circ} = 270^{\circ}$, что не входит в интервал.

Из серии $x = 90^{\circ} + 180^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x = 90^{\circ} + 180^{\circ} = 270^{\circ}$, что не входит в интервал.

Единственный корень на заданном интервале – $210^{\circ}$.

Ответ: $210^{\circ}$.