Номер 19.11, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.11.1) $ \sin 3x \cdot \cos 3x = 0.5; $

2) $ \cos^2 2x - \sin^2 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \sin 2x \cdot \cos 2x = -\frac{1}{2}; $

4) $ \sin^2 3x - \cos^2 3x = -\frac{1}{2}. $

1) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos3x = 0,5$.

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы привести левую часть к виду формулы:

$2sin3x \cdot cos3x = 2 \cdot 0,5$

Применяя формулу, где $\alpha = 3x$, получаем:

$sin(2 \cdot 3x) = 1$

$sin(6x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $sin(y)=1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем $y=6x$:

$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos^2{2x} - sin^2{2x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к левой части уравнения, где $\alpha = 2x$:

$cos(2 \cdot 2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(4x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $cos(y)=a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$4x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$

Поскольку $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$4x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $sin2x \cdot cos2x = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$2sin2x \cdot cos2x = 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

Применяя формулу, где $\alpha = 2x$, получаем:

$sin(2 \cdot 2x) = -1$

$sin(4x) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $sin(y)=-1$ имеет вид $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем $y=4x$:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin^2{3x} - cos^2{3x} = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Вынесем -1 за скобки в левой части уравнения, чтобы привести ее к виду формулы:

$-(cos^2{3x} - sin^2{3x}) = -\frac{1}{2}$

Применим формулу, где $\alpha = 3x$:

$-cos(2 \cdot 3x) = -\frac{1}{2}$

$-cos(6x) = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1:

$cos(6x) = \frac{1}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$6x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 6:

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.