Номер 19.12, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.12. Найдите решение уравнения на указанном интервале:

1) $\cos4x + \sin2x = 0$, $90^\circ < x < 180^\circ$;

2) $\sin5x + \cos4x = 0$, $270^\circ < x < 360^\circ$.

3) $\sin5x - \cos4x = 0$, $360^\circ < x < 450^\circ$;

4) $\cos6x - \sin3x = 0$, $90^\circ < x < 180^\circ$.

1) Решим уравнение $cos(4x) + sin(2x) = 0$ на интервале $90^\circ < x < 180^\circ$.

Используем формулу двойного угла для косинуса $cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)$. Пусть $a=2x$, тогда $cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)$.

Подставим в уравнение: $1 - 2sin^2(2x) + sin(2x) = 0$.

Перепишем в виде квадратного уравнения относительно $sin(2x)$:

$2sin^2(2x) - sin(2x) - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = sin(2x)$, получим уравнение $2y^2 - y - 1 = 0$.

Находим корни квадратного уравнения: $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $sin(2x) = 1$.

$2x = 90^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 45^\circ + 180^\circ n$.

При $n=0$, $x = 45^\circ$. При $n=1$, $x=225^\circ$. Ни один из этих корней не попадает в интервал $(90^\circ, 180^\circ)$.

Случай 2: $sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

$2x = -30^\circ + 360^\circ k$ или $2x = 180^\circ - (-30^\circ) + 360^\circ k = 210^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -15^\circ + 180^\circ k$ или $x = 105^\circ + 180^\circ k$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $90^\circ < x < 180^\circ$.

Из серии $x = -15^\circ + 180^\circ k$: при $k=1$ получаем $x = -15^\circ + 180^\circ = 165^\circ$. Этот корень подходит.

Из серии $x = 105^\circ + 180^\circ k$: при $k=0$ получаем $x = 105^\circ$. Этот корень также подходит.

Ответ: $105^\circ, 165^\circ$.

2) Решим уравнение $sin(5x) + cos(4x) = 0$ на интервале $270^\circ < x < 360^\circ$.

Перенесем $cos(4x)$ в правую часть: $sin(5x) = -cos(4x)$.

Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(90^\circ - \alpha)$ и свойство нечетности синуса $-sin(\beta) = sin(-\beta)$.

$sin(5x) = -sin(90^\circ - 4x) = sin(-(90^\circ - 4x)) = sin(4x - 90^\circ)$.

Общее решение уравнения $sin(A) = sin(B)$ имеет вид $A = B + 360^\circ n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1: $5x = 4x - 90^\circ + 360^\circ n$.

$x = -90^\circ + 360^\circ n$.

Случай 2: $5x = 180^\circ - (4x - 90^\circ) + 360^\circ n$.

$5x = 180^\circ - 4x + 90^\circ + 360^\circ n$.

$9x = 270^\circ + 360^\circ n$.

$x = 30^\circ + 40^\circ n$.

Найдем решения, лежащие в интервале $270^\circ < x < 360^\circ$.

Из серии $x = -90^\circ + 360^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 270^\circ$, что не входит в строгий интервал.

Из серии $x = 30^\circ + 40^\circ n$: подставим в неравенство $270^\circ < 30^\circ + 40^\circ n < 360^\circ$.

$240^\circ < 40^\circ n < 330^\circ$.

$6 < n < 8.25$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=7$ и $n=8$.

При $n=7$, $x = 30^\circ + 40^\circ \cdot 7 = 310^\circ$.

При $n=8$, $x = 30^\circ + 40^\circ \cdot 8 = 350^\circ$.

Оба корня принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $310^\circ, 350^\circ$.

3) Решим уравнение $sin(5x) - cos(4x) = 0$ на интервале $360^\circ < x < 450^\circ$.

Перепишем уравнение как $sin(5x) = cos(4x)$.

Используя формулу приведения $cos(\alpha) = sin(90^\circ - \alpha)$, получим:

$sin(5x) = sin(90^\circ - 4x)$.

Решения этого уравнения: $A = B + 360^\circ n$ или $A = 180^\circ - B + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 1: $5x = 90^\circ - 4x + 360^\circ n$.

$9x = 90^\circ + 360^\circ n$.

$x = 10^\circ + 40^\circ n$.

Случай 2: $5x = 180^\circ - (90^\circ - 4x) + 360^\circ n$.

$5x = 180^\circ - 90^\circ + 4x + 360^\circ n$.

$x = 90^\circ + 360^\circ n$.

Найдем решения, лежащие в интервале $360^\circ < x < 450^\circ$.

Из серии $x = 10^\circ + 40^\circ n$: подставим в неравенство $360^\circ < 10^\circ + 40^\circ n < 450^\circ$.

$350^\circ < 40^\circ n < 440^\circ$.

$8.75 < n < 11$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=9$ и $n=10$.

При $n=9$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 9 = 370^\circ$.

При $n=10$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 10 = 410^\circ$.

Из серии $x = 90^\circ + 360^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 450^\circ$, что не входит в строгий интервал.

Ответ: $370^\circ, 410^\circ$.

4) Решим уравнение $cos(6x) - sin(3x) = 0$ на интервале $90^\circ < x < 180^\circ$.

Перепишем уравнение как $cos(6x) = sin(3x)$.

Используем формулу двойного угла $cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)$. Пусть $a=3x$, тогда $cos(6x) = 1 - 2sin^2(3x)$.

Уравнение принимает вид: $1 - 2sin^2(3x) = sin(3x)$.

$2sin^2(3x) + sin(3x) - 1 = 0$.

Сделаем замену $y = sin(3x)$, получим $2y^2 + y - 1 = 0$.

Находим корни: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

Получаем два значения: $y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$.

Случай 1: $sin(3x) = \frac{1}{2}$.

$3x = 30^\circ + 360^\circ n$ или $3x = 150^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 10^\circ + 120^\circ n$ или $x = 50^\circ + 120^\circ n$.

Случай 2: $sin(3x) = -1$.

$3x = -90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -30^\circ + 120^\circ k$.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $90^\circ < x < 180^\circ$.

Из серии $x = 10^\circ + 120^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 10^\circ + 120^\circ = 130^\circ$. Корень подходит.

Из серии $x = 50^\circ + 120^\circ n$: при $n=1$ получаем $x = 50^\circ + 120^\circ = 170^\circ$. Корень подходит.

Из серии $x = -30^\circ + 120^\circ k$: при $k=1$ получаем $x = -30^\circ + 120^\circ = 90^\circ$, что не входит в строгий интервал. При $k=2$ корень $x=210^\circ$ также не подходит.

Ответ: $130^\circ, 170^\circ$.