Номер 19.19, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.19. Найдите число корней уравнения:

1) $3x - 1 = \text{ctg}0.2x;$

2) $x^2 - 4x = \text{tg}0.4x;$

3) $x^2 - 2 = \sin\frac{x}{2};$

4) $1 - x^2 = \cos\frac{x}{2}.$

1) $3x - 1 = \text{ctg}(0,2x)$

Для нахождения числа корней уравнения воспользуемся графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3x - 1$ и $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y_1(x) = 3x - 1$ — это прямая линия, которая возрастает на всей своей области определения.

График функции $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$ — это периодическая функция (котангенсоида). Ее период равен $T = \frac{\pi}{0,2} = 5\pi$. Область определения функции $y_2(x)$ — все действительные числа, кроме тех, где $0,2x = k\pi$, то есть $x \neq 5k\pi$, где $k$ — любое целое число. На каждом из интервалов $(5k\pi, 5(k+1)\pi)$ функция $y_2(x)$ непрерывна и строго убывает, а ее область значений — все действительные числа, от $+\infty$ до $-\infty$.

Рассмотрим один из таких интервалов, например, $(0, 5\pi)$. На этом интервале функция $y_1(x) = 3x - 1$ строго возрастает. Функция $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$ строго убывает. Поскольку возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза на интервале, на интервале $(0, 5\pi)$ может быть не более одного корня.

Проверим значения на концах интервала:

$\lim_{x \to 0^+} y_2(x) = +\infty$, а $y_1(0) = -1$.

$\lim_{x \to (5\pi)^-} y_2(x) = -\infty$, а $y_1(5\pi) = 15\pi - 1 > 0$.

Так как на интервале $(0, 5\pi)$ непрерывная функция $f(x) = y_1(x) - y_2(x)$ меняет знак (отрицательна вблизи $0$ и положительна вблизи $5\pi$), то на этом интервале существует как минимум один корень. А так как на этом интервале $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то корень ровно один.

Поскольку функция $y_2(x)$ является периодической и имеет бесконечное число таких ветвей (для каждого целого $k$), а прямая $y_1(x)$ уходит в бесконечность в обе стороны, то на каждом из бесконечного числа интервалов $(5k\pi, 5(k+1)\pi)$ будет ровно одна точка пересечения. Следовательно, уравнение имеет бесконечное число корней.

Ответ: бесконечно много.

2) $x^2 - 4x = \text{tg}(0,4x)$

Рассмотрим графики функций $y_1(x) = x^2 - 4x$ и $y_2(x) = \text{tg}(0,4x)$.

График $y_1(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх.

График $y_2(x) = \text{tg}(0,4x)$ — это периодическая функция (тангенсоида). Период $T = \frac{\pi}{0,4} = 2,5\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $0,4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{0,8} + \frac{k\pi}{0,4} = (1,25 + 2,5k)\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На каждом интервале между асимптотами, $I_k = ((1,25 + 2,5k)\pi, (1,25 + 2,5(k+1))\pi)$, функция $y_2(x)$ непрерывна и строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола $y_1(x)$ также является непрерывной функцией.

Рассмотрим разность функций $f(x) = y_1(x) - y_2(x) = x^2 - 4x - \text{tg}(0,4x)$ на любом из этих интервалов $I_k$.

Найдем пределы $f(x)$ на границах интервала $I_k$:

$\lim_{x \to ((1,25 + 2,5k)\pi)^+} f(x) = (x^2 - 4x) - (-\infty) = +\infty$.

$\lim_{x \to ((1,25 + 2,5(k+1))\pi)^-} f(x) = (x^2 - 4x) - (+\infty) = -\infty$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на каждом интервале $I_k$ и принимает на его концах значения разных знаков (условно, от $+\infty$ до $-\infty$), то по теореме о промежуточном значении на каждом таком интервале существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$. Так как количество таких интервалов бесконечно (для всех $k \in \mathbb{Z}$), то и число корней уравнения бесконечно.

Ответ: бесконечно много.

3) $x^2 - 2 = \sin\frac{x}{2}$

Рассмотрим функции $y_1(x) = x^2 - 2$ и $y_2(x) = \sin\frac{x}{2}$.

Область значений функции синуса $y_2(x)$ — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, корни уравнения могут существовать только для тех $x$, для которых значения функции $y_1(x)$ также принадлежат этому отрезку.

$-1 \le x^2 - 2 \le 1$

Решим эту двойную систему неравенств:

1) $x^2 - 2 \ge -1 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2) $x^2 - 2 \le 1 \implies x^2 \le 3 \implies |x| \le \sqrt{3}$, то есть $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств дает нам $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$. Таким образом, корни могут существовать только в этих двух интервалах.

Рассмотрим интервал $[1, \sqrt{3}]$. Пусть $f(x) = x^2 - 2 - \sin\frac{x}{2}$.

$f(1) = 1^2 - 2 - \sin(0,5) = -1 - \sin(0,5)$. Поскольку $0,5$ радиан находится в первой четверти, $\sin(0,5) > 0$, значит $f(1) < 0$.

$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 - 2 - \sin\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sin\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ радиан (меньше $\pi/2$), то $0 < \sin\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, значит $f(\sqrt{3}) > 0$.

Так как $f(x)$ непрерывна и меняет знак на концах отрезка $[1, \sqrt{3}]$, на нем есть хотя бы один корень. Найдем производную: $f'(x) = 2x - \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$. На отрезке $[1, \sqrt{3}]$, $2x \ge 2$, а $\frac{x}{2} \in [0,5, \sqrt{3}/2]$, то есть в первой четверти, где косинус положителен и меньше 1. Тогда $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} < 0,5$. Значит, $f'(x) > 2 - 0,5 = 1,5 > 0$. Функция $f(x)$ строго возрастает, следовательно, корень на этом отрезке ровно один.

Рассмотрим интервал $[-\sqrt{3}, -1]$.

$f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^2 - 2 - \sin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \sin\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.

$f(-1) = (-1)^2 - 2 - \sin(-\frac{1}{2}) = -1 + \sin(0,5) < 0$.

$f(x)$ непрерывна и меняет знак, значит, есть корень. Производная $f'(x) = 2x - \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$. На отрезке $[-\sqrt{3}, -1]$, $2x \le -2$. Косинус — четная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos\frac{x}{2} > 0$. Тогда $f'(x) = 2x - (\text{положительное число}) < -2 < 0$. Функция строго убывает, следовательно, корень на этом отрезке тоже ровно один.

Итого, мы имеем два корня.

Ответ: 2.

4) $1 - x^2 = \cos\frac{x}{2}$

Рассмотрим функции $y_1(x) = 1 - x^2$ и $y_2(x) = \cos\frac{x}{2}$.

Область значений функции $y_2(x)$ — отрезок $[-1, 1]$. Корни могут существовать только при условии $-1 \le 1 - x^2 \le 1$.

1) $1 - x^2 \le 1 \implies -x^2 \le 0 \implies x^2 \ge 0$, что верно для всех $x$.

2) $1 - x^2 \ge -1 \implies 2 \ge x^2 \implies |x| \le \sqrt{2}$.

Таким образом, корни могут лежать только на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Заметим, что обе функции, $y_1(x) = 1 - x^2$ и $y_2(x) = \cos\frac{x}{2}$, являются четными. Это означает, что их графики симметричны относительно оси OY. Если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ тоже является корнем.

Проверим $x=0$: $y_1(0) = 1 - 0^2 = 1$, $y_2(0) = \cos(0) = 1$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.

Рассмотрим интервал $(0, \sqrt{2}]$. В точке $x=0$ графики не просто пересекаются, а касаются, так как $y_1(0) = y_2(0) = 1$ является максимальным значением для обеих функций на всей числовой оси.

Рассмотрим разность функций $f(x) = 1 - x^2 - \cos\frac{x}{2}$. Мы знаем, что $f(0)=0$.

Найдем производную: $f'(x) = -2x + \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Для $x > 0$ известно неравенство $\sin u < u$. Применим его для $u = x/2$: $\sin\frac{x}{2} < \frac{x}{2}$.

Тогда $f'(x) = -2x + \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} < -2x + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right) = -2x + \frac{x}{4} = -\frac{7x}{4}$.

На интервале $(0, \sqrt{2}]$, $x>0$, поэтому $f'(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[0, \sqrt{2}]$.

Поскольку $f(0)=0$ и функция $f(x)$ убывает при $x>0$, то для всех $x \in (0, \sqrt{2}]$ будет выполняться $f(x) < 0$. Значит, на этом интервале других корней нет.

В силу четности функций, на интервале $[-\sqrt{2}, 0)$ также нет корней.

Единственным корнем уравнения является $x=0$.

Ответ: 1.