Номер 19.21, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.21. Постройте график функции:

1) $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} + x\right) + 2$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$;

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$;

4) $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$.

1) $y = \cos(\frac{\pi}{3} + x) + 2$

Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида, проходящая через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$. Период функции равен $2\pi$.

2. Построим график функции $y_2 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \cos(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево. Например, точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ - в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$, точка $(\pi, -1)$ - в точку $(\pi - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{2\pi}{3}, -1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$. Этот график получается из графика $y_2 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх. Все точки графика смещаются на 2 единицы вверх. Новая ось колебаний - прямая $y=2$. Область значений функции будет $[1, 3]$. Например, точка $(-\frac{\pi}{3}, 1)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{3}, 3)$, точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$ - в точку $(\frac{\pi}{6}, 2)$, точка $(\frac{2\pi}{3}, -1)$ - в точку $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

2) $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида, проходящая через точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$. Период функции равен $2\pi$.

2. Построим график функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \sin(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ - в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{5\pi}{6}, 1)$, точка $(\pi, 0)$ - в точку $(\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

3. Построим искомый график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$. Этот график получается из графика $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вниз. Все точки графика смещаются на 2 единицы вниз. Новая ось колебаний - прямая $y=-2$. Область значений функции будет $[-3, -1]$. Например, точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{3}, -2)$, точка $(\frac{5\pi}{6}, 1)$ - в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$, точка $(\frac{4\pi}{3}, 0)$ - в точку $(\frac{4\pi}{3}, -2)$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$

Для построения графика функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{tg}(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \text{tg}(x)$. Это тангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построим график функции $y_2 = \text{tg}\frac{x}{3}$. Этот график получается из графика $y_1 = \text{tg}(x)$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (Ox) в 3 раза. Период функции увеличится в 3 раза и станет равен $T' = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся соответственно: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$. Точка $(0,0)$ останется на месте, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$. Этот график получается из графика $y_2 = \text{tg}\frac{x}{3}$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Точка $(0, 0)$ перейдет в $(0, 3)$, точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 4)$. Асимптоты $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$ останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх по оси Oy.

4) $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$

Для построения графика функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3} + 3$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \text{ctg}(x)$. Это котангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построим график функции $y_2 = \text{ctg}\frac{x}{3}$. Этот график получается из графика $y_1 = \text{ctg}(x)$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (Ox) в 3 раза. Период функции увеличится в 3 раза и станет равен $T' = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся соответственно: $\frac{x}{3} = \pi n \implies x = 3\pi n$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3} + 3$. Этот график получается из графика $y_2 = \text{ctg}\frac{x}{3}$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{2}, 3)$, точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 4)$. Асимптоты $x = 3\pi n$ останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх по оси Oy.