Объясните, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему уравнение $a\sin^2x + b\cos^2x + d\sin x \cos x = 1$ не является однородным?

Как привести это уравнение к однородному уравнению второй степени?

Почему $\sin x$ и $\cos x$ одновременно не могут равняться нулю?

Почему уравнение $asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = 1$ не является однородным?

Однородным тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором все его члены имеют одинаковую степень относительно синуса и косинуса, а правая часть равна нулю.

Рассмотрим данное уравнение $asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = 1$.

Степенью члена $asin^2x$ является 2.

Степенью члена $bcos^2x$ является 2.

Степенью члена $dsinx cosx$ является $1+1=2$.

При этом в правой части уравнения находится константа 1, которую можно рассматривать как член нулевой степени ($1 \cdot (sin^2x+cos^2x)^0$). Поскольку в уравнении присутствуют члены разных степеней (второй и нулевой), оно не является однородным.

Ответ: Уравнение не является однородным, так как не все его члены имеют одинаковую степень. Члены в левой части имеют вторую степень, а член в правой части (константа 1) имеет нулевую степень.

Как привести это уравнение к однородному уравнению второй степени?

Чтобы сделать уравнение однородным, нужно добиться того, чтобы все его члены имели одинаковую степень. В данном случае мы хотим привести его к однородному уравнению второй степени. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$.

Заменим число 1 в правой части уравнения на выражение $sin^2x + cos^2x$:

$asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = sin^2x + cos^2x$

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, чтобы справа остался ноль:

$asin^2x - sin^2x + bcos^2x - cos^2x + dsinx cosx = 0$

Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся за скобки $sin^2x$ и $cos^2x$:

$(a-1)sin^2x + dsinx cosx + (b-1)cos^2x = 0$

Теперь все члены полученного уравнения имеют вторую степень, а правая часть равна нулю. Таким образом, уравнение стало однородным второй степени.

Ответ: Для приведения уравнения к однородному второй степени необходимо заменить 1 в правой части на $sin^2x + cos^2x$ и перенести все члены в одну сторону, в результате чего получится уравнение $(a-1)sin^2x + dsinx cosx + (b-1)cos^2x = 0$.

Почему $sinx$ и $cosx$ одновременно не могут равняться нулю?

Синус и косинус одного и того же угла $x$ связаны фундаментальным соотношением, которое называется основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$.

Допустим, что существует такой угол $x$, для которого $sinx$ и $cosx$ одновременно равны нулю, то есть $sinx=0$ и $cosx=0$.

Подставим эти гипотетические значения в основное тригонометрическое тождество:

$(0)^2 + (0)^2 = 1$

$0 + 0 = 1$

$0 = 1$

Полученное равенство $0 = 1$ является ложным. Это противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором синус и косинус могут одновременно быть равны нулю.

Ответ: $sinx$ и $cosx$ не могут одновременно равняться нулю, потому что это противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin^2x + cos^2x = 1$.