Вопросы, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие преобразования тригонометрических выражений могут привести:

1) к приобретению посторонних корней;

2) к потере корней?

2. Приведите пример уравнения, где удобно заменить синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла.

1) к приобретению посторонних корней;

Приобретение посторонних корней при решении тригонометрических уравнений обычно является следствием неравносильных преобразований, которые приводят к уравнению, множество корней которого шире, чем у исходного. Основные типы таких преобразований:

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (чаще всего в квадрат). При таком преобразовании теряется информация о знаке исходных выражений. Например, уравнение $A=B$ после возведения в квадрат становится $A^2=B^2$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ и $A=-B$. Второе уравнение и может дать посторонние корни.

Пример. Решить уравнение $\sin x + \cos x = 0$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sin x + \cos x)^2 = 0^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем: $1 + \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = -1$.

Решения этого уравнения: $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Однако, если мы решим исходное уравнение $\sin x = -\cos x$ делением на $\cos x \ne 0$, получим $\tan x = -1$, что дает корни $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае посторонних корней не появилось.

Рассмотрим другой пример: $\sin x = \cos x$. Возведение в квадрат даст то же уравнение $\sin(2x)=1$, но решениями исходного уравнения являются $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Таким образом, преобразование $\sin x = \cos x \implies \sin^2 x = \cos^2 x$ является неравносильным и приводит к появлению посторонних корней.

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (например, при избавлении от знаменателя). Если множитель может обращаться в ноль, то его нули могут стать корнями нового уравнения, не будучи корнями исходного (особенно если в этих точках знаменатель исходного выражения тоже был равен нулю).

3. Применение формул, расширяющих область допустимых значений (ОДЗ). Например, замена $\tan x \cot x$ на 1 расширяет ОДЗ, так как выражение слева определено при $x \ne \frac{\pi k}{2}$, а 1 определена всегда.

Ответ: К приобретению посторонних корней могут привести такие преобразования, как возведение обеих частей уравнения в четную степень, освобождение от знаменателя путем умножения на выражение с переменной, а также применение формул, которые расширяют область допустимых значений исходного выражения.

2) к потере корней?

Потеря корней происходит при выполнении преобразований, которые сужают область допустимых значений или необоснованно отбрасывают некоторые случаи. Основные причины:

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Если это выражение может обращаться в ноль, то соответствующие значения переменной, которые могли быть корнями исходного уравнения, будут потеряны.

Пример. Решить уравнение $2\sin x \cos x = \sqrt{3} \sin x$.

Неправильное решение: разделить обе части на $\sin x$. Получим $2\cos x = \sqrt{3} \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. При этом действии мы неявно предположили, что $\sin x \ne 0$. Но $\sin x = 0$ также дает решения исходного уравнения. Таким образом, мы потеряли серию корней $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Правильное решение: перенести все члены в одну часть и вынести общий множитель за скобки.

$2\sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \implies \sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности: $\sin x = 0$ или $2\cos x - \sqrt{3} = 0$.

Отсюда получаем полный набор корней: $x = \pi n$ и $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2. Применение формул, сужающих ОДЗ. Самый известный пример — универсальная тригонометрическая подстановка, которая выражает $\sin x$ и $\cos x$ через $t = \tan(\frac{x}{2})$. Эта замена не определена для $x = \pi + 2\pi k$, так как в этих точках $\tan(\frac{x}{2})$ не существует. Если эти значения являются корнями исходного уравнения, они будут потеряны, и их нужно проверять отдельно.

Ответ: К потере корней может привести деление обеих частей уравнения на выражение с переменной, которое может быть равно нулю, а также применение формул, сужающих область допустимых значений (например, универсальная тригонометрическая подстановка без последующей проверки).

2. Приведите пример уравнения, где удобно заменить синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла.

Замена тригонометрических функций через тангенс половинного угла называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она особенно эффективна для решения уравнений вида $a\sin x + b\cos x = c$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты. Эта подстановка сводит тригонометрическое уравнение к алгебраическому (часто квадратному) относительно новой переменной $t = \tan(\frac{x}{2})$.

Используются следующие формулы:

$\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Пример. Решить уравнение $\sin x + 7\cos x = 5$.

1. Выполним замену $t = \tan(\frac{x}{2})$. Уравнение примет вид:

$\frac{2t}{1+t^2} + 7\frac{1-t^2}{1+t^2} = 5$

2. Так как $1+t^2 > 0$ при любых действительных $t$, умножим обе части уравнения на $1+t^2$:

$2t + 7(1-t^2) = 5(1+t^2)$

$2t + 7 - 7t^2 = 5 + 5t^2$

$12t^2 - 2t - 2 = 0$

$6t^2 - t - 1 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1-5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

4. Вернемся к исходной переменной:

$\tan(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{3}$ или $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

$\frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k \implies x = -2\arctan(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \implies x = 2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

5. Проверим, не были ли потеряны корни. Подстановка $t = \tan(\frac{x}{2})$ не определена при $x = \pi + 2\pi m$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$\sin(\pi) + 7\cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \ne 5$, значения $x = \pi + 2\pi m$ не являются корнями уравнения, и потери корней не произошло.

Ответ: Примером уравнения, где удобна замена через тангенс половинного угла, является уравнение $a\sin x + b\cos x = c$, например, $\sin x + 7\cos x = 5$. Использование универсальной тригонометрической подстановки сводит его к простому алгебраическому уравнению.