Номер 20.7, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.7. Решите тригонометрическое уравнение:

1) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0;$

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0.$

1) $\frac{\sin3x}{\sin x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \sin3x = 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы: $\sin3x = 0$.

Его решениями являются $3x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

Отсюда $x = \frac{\pi k}{3}$.

Теперь нужно проверить второе условие: $\sin x \neq 0$.

Условие $\sin x = 0$ выполняется при $x = \pi n$, где $n \in Z$. Следовательно, мы должны исключить из наших решений $x = \frac{\pi k}{3}$ те значения, которые совпадают с $x = \pi n$.

Приравняем их: $\frac{\pi k}{3} = \pi n$.

Сократив на $\pi$, получим $k = 3n$.

Это означает, что мы должны исключить все значения $k$, которые кратны 3 (например, $k = 0, \pm3, \pm6, \dots$).

Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi k}{3}$ остаются только те, где $k$ не делится на 3. Эти решения можно представить в виде двух серий:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi m$, где $m \in Z$.

Эти две серии также можно объединить в одну формулу $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m$, где $m \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.

2) $\frac{\cos x}{\cos 3x} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos 3x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\cos x = 0$.

Его решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Теперь проверим, выполняется ли для этих значений $x$ условие $\cos 3x \neq 0$.

Подставим $x$ в выражение $\cos 3x$:

$3x = 3(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Вычислим $\cos(3x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$. По формуле косинуса суммы:

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos(3\pi k) - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin(3\pi k)$

Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ и $\sin(3\pi k)=0$ для любого целого $k$, получаем:

$0 \cdot \cos(3\pi k) - (-1) \cdot 0 = 0$.

Таким образом, для любого целого $k$ значение $\cos(3x)$ оказывается равным нулю. Это означает, что ни одно из решений уравнения $\cos x = 0$ не удовлетворяет условию $\cos 3x \neq 0$.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.