Номер 20.10, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.10. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos3x + \sin3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x;$

2) $2\sin3x + \cos5x - \sqrt{3} \sin5x = 0;$

3) $2\cos4x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

4) $\cos2x = \cos4x + 2\sqrt{3} \sin x \cos3x.$

1) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x = \cos x + \sqrt{3} \sin x $.

Применим метод вспомогательного угла (R-формулу) к обеим частям уравнения. Формула имеет вид $ a \cos\alpha + b \sin\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \cos(\alpha - \beta) $, где $ \cos\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для левой части ($ a = \sqrt{3}, b = 1 $): $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

$ \sqrt{3} \cos3x + \sin3x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos3x + \frac{1}{2} \sin3x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos3x + \sin\frac{\pi}{6}\sin3x) = 2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) $.

Для правой части ($ a = 1, b = \sqrt{3} $): $ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.

$ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 2(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\cos x + \sin\frac{\pi}{3}\sin x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) $.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$ 2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{3}) $

$ \cos(3x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{3}) $.

Это равенство выполняется, если аргументы равны или противоположны с точностью до периода $ 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Случай 1: $ 3x - \frac{\pi}{6} = x - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 3x - \frac{\pi}{6} = -(x - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n $

$ 3x - \frac{\pi}{6} = -x + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

2) Исходное уравнение: $ 2\sin3x + \cos5x - \sqrt{3}\sin5x = 0 $.

Перенесем часть членов вправо:

$ 2\sin3x = \sqrt{3}\sin5x - \cos5x $.

Применим метод вспомогательного угла к правой части. Формула: $ a \sin\alpha + b \cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \beta) $, где $ \cos\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для правой части ($ a = \sqrt{3}, b = -1 $): $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2 $.

$ \sqrt{3}\sin5x - \cos5x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin5x - \frac{1}{2}\cos5x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\sin5x - \sin\frac{\pi}{6}\cos5x) = 2\sin(5x - \frac{\pi}{6}) $.

Подставим преобразованное выражение в уравнение:

$ 2\sin3x = 2\sin(5x - \frac{\pi}{6}) $

$ \sin3x = \sin(5x - \frac{\pi}{6}) $.

Это равенство выполняется, если:

Случай 1: $ 3x = 5x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ -2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ 2x = \frac{\pi}{6} - 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{12} - \pi k $ (что эквивалентно $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z $).

Случай 2: $ 3x = \pi - (5x - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n $

$ 3x = \pi - 5x + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ 8x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $

$ x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

3) Исходное уравнение: $ 2\cos4x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) $.

Преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного угла:

$ \cos x - \sin x = \sqrt{1^2+(-1)^2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ 2\cos4x = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) $

$ 2\cos4x = 2\cos(x + \frac{\pi}{4}) $

$ \cos4x = \cos(x + \frac{\pi}{4}) $.

Это равенство выполняется, если:

Случай 1: $ 4x = x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z $.

Случай 2: $ 4x = -(x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi n $

$ 4x = -x - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ 5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in Z; \quad x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z $.

4) Исходное уравнение: $ \cos2x = \cos4x + 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Перенесем $ \cos4x $ в левую часть:

$ \cos2x - \cos4x = 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Применим к левой части формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos2x - \cos4x = -2\sin\frac{2x+4x}{2}\sin\frac{2x-4x}{2} = -2\sin(3x)\sin(-x) = 2\sin(3x)\sin x $.

Подставим это в уравнение:

$ 2\sin(3x)\sin x = 2\sqrt{3}\sin x \cos3x $.

Разделим обе части на 2 и перенесем все в одну сторону:

$ \sin(3x)\sin x - \sqrt{3}\sin x \cos3x = 0 $.

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (\sin3x - \sqrt{3}\cos3x) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ \sin x = 0 $

$ x = \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ \sin3x - \sqrt{3}\cos3x = 0 $

Предположив, что $ \cos3x \neq 0 $, разделим на него:

$ \frac{\sin3x}{\cos3x} = \sqrt{3} $

$ \tan3x = \sqrt{3} $.

$ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

(Если $ \cos3x = 0 $, то $ \sin3x = \pm 1 $, и уравнение $ \pm 1 - \sqrt{3} \cdot 0 = 0 $ неверно, так что деление было корректным).

Ответ: $ x = \pi k, k \in Z; \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.