Номер 20.16, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.16. Решите уравнение разложением на множители:

1) $ \cos(2(x + 60^\circ)) + 4\sin(x + 60^\circ) = 2,5; $

2) $ 8\cos^4 x = 11\cos 2x - 1; $

3) $ 9\cot^2 x + 4\sin^2 x = 6; $

4) $ 2\cos^2(2x + 60^\circ) - 3\sin^2(x + 30^\circ) = 2. $

1) Исходное уравнение: $cos(2(x + 60°)) + 4sin(x + 60°) = 2,5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + 60°$. Уравнение примет вид:

$cos(2y) + 4sin(y) = 2,5$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2y) = 1 - 2sin^2(y)$:

$1 - 2sin^2(y) + 4sin(y) = 2,5$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin(y)$:

$2sin^2(y) - 4sin(y) + 1,5 = 0$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$4sin^2(y) - 8sin(y) + 3 = 0$.

Сделаем еще одну замену. Пусть $t = sin(y)$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}$.

$t_1 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

$t_2 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене $sin(y) = 0,5$.

Общее решение для $y$: $y = (-1)^n \cdot arcsin(0,5) + 180° \cdot n$, где $n \in Z$.

$y = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$, зная что $y = x + 60°$:

$x + 60° = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$.

$x = (-1)^n \cdot 30° - 60° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \cdot 30° - 60° + 180° \cdot n$, $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $8cos^4x = 11cos2x - 1$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 2cos^2x - 1$, чтобы привести уравнение к одной функции $cosx$.

$8cos^4x = 11(2cos^2x - 1) - 1$.

$8cos^4x = 22cos^2x - 11 - 1$.

$8cos^4x - 22cos^2x + 12 = 0$.

Разделим обе части на 2:

$4cos^4x - 11cos^2x + 6 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $cosx$. Сделаем замену $t = cos^2x$, где $0 \le t \le 1$.

$4t^2 - 11t + 6 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{11 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{11+5}{8} = \frac{16}{8} = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

$t_2 = \frac{11-5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $cos^2x = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $cos^2x = \frac{1+cos2x}{2}$:

$\frac{1+cos2x}{2} = \frac{3}{4}$.

$1+cos2x = \frac{3}{2}$.

$cos2x = \frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:

$2x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$2x = \pm 60° + 360° \cdot k$.

$x = \pm 30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm 30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

3) Исходное уравнение: $9ctg^2x + 4sin^2x = 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $sin x \neq 0$, так как $ctgx = \frac{cosx}{sinx}$. Это значит $x \neq 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ctg^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x} = \frac{1-sin^2x}{sin^2x}$.

$9\frac{1-sin^2x}{sin^2x} + 4sin^2x = 6$.

Сделаем замену $t = sin^2x$. Учитывая ОДЗ, $0 < t \le 1$.

$9\frac{1-t}{t} + 4t = 6$.

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$9(1-t) + 4t^2 = 6t$.

$9 - 9t + 4t^2 - 6t = 0$.

$4t^2 - 15t + 9 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81$.

$t_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{15 \pm 9}{8}$.

$t_1 = \frac{15+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

$t_2 = \frac{15-9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Этот корень подходит.

Возвращаемся к замене: $sin^2x = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos2x}{2}$:

$\frac{1-cos2x}{2} = \frac{3}{4}$.

$1-cos2x = \frac{3}{2}$.

$cos2x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Решаем это уравнение:

$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$2x = \pm 120° + 360° \cdot k$.

$x = \pm 60° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как не являются кратными $180°$.

Ответ: $x = \pm 60° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

4) Исходное уравнение: $2cos^2(2x + 60°) - 3sin^2(x + 30°) = 2$.

Заметим, что $2x + 60° = 2(x + 30°)$. Сделаем замену $y = x + 30°$.

Уравнение примет вид:

$2cos^2(2y) - 3sin^2(y) = 2$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2y = \frac{1-cos(2y)}{2}$.

$2cos^2(2y) - 3\frac{1-cos(2y)}{2} = 2$.

Умножим обе части на 2:

$4cos^2(2y) - 3(1-cos(2y)) = 4$.

$4cos^2(2y) - 3 + 3cos(2y) - 4 = 0$.

$4cos^2(2y) + 3cos(2y) - 7 = 0$.

Сделаем замену $t = cos(2y)$, где $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 + 3t - 7 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121$.

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{8} = \frac{-3 \pm 11}{8}$.

$t_1 = \frac{-3+11}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Этот корень подходит.

$t_2 = \frac{-3-11}{8} = \frac{-14}{8} = -1,75$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.

Возвращаемся к замене: $cos(2y) = 1$.

Это частный случай, решение которого:

$2y = 360° \cdot k$, где $k \in Z$.

$y = 180° \cdot k$.

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$, зная что $y = x + 30°$:

$x + 30° = 180° \cdot k$.

$x = -30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.

Ответ: $x = -30° + 180° \cdot k$, $k \in Z$.