Номер 20.18, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.18. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $\cos 4 \cdot (2x - 1) < 0;$

2) $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 1) < 0.$

1) Рассмотрим неравенство $cos(4) \cdot (2x - 1) < 0$.

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Его решение зависит от знака числового коэффициента $cos(4)$.

Аргумент функции косинус, равный 4, выражен в радианах. Определим знак этого числа. Воспользуемся известными приближенными значениями числа $\pi$: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку выполняется двойное неравенство $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (то есть $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти.

Косинус в третьей четверти принимает отрицательные значения, следовательно, $cos(4) < 0$.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое должно быть отрицательным. Так как первый множитель $cos(4)$ отрицателен, то второй множитель $(2x - 1)$ должен быть положительным.

Другой способ рассуждения: разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $cos(4)$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{cos(4) \cdot (2x - 1)}{cos(4)} > \frac{0}{cos(4)}$

$2x - 1 > 0$

Решим полученное простое линейное неравенство:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Решением неравенства является открытый луч $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $cos^3(5) \cdot cos(5) \cdot (x^2 - 1) < 0$.

Сначала упростим выражение в левой части, перемножив косинусы:

$cos^3(5) \cdot cos(5) = cos^4(5)$

Неравенство принимает вид:

$cos^4(5) \cdot (x^2 - 1) < 0$

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Определим знак числового коэффициента $cos^4(5)$.

Выражение $cos^4(5)$ — это четвертая (четная) степень числа $cos(5)$. Четная степень любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положительна. Необходимо убедиться, что $cos(5) \neq 0$.

Функция косинус обращается в ноль при углах, равных $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним 5 с ближайшими значениями такого вида: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Так как 5 не равно ни одному из этих значений, $cos(5) \neq 0$.

Следовательно, коэффициент $cos^4(5)$ является строго положительным числом: $cos^4(5) > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $cos^4(5)$. Знак неравенства при этом не меняется:

$\frac{cos^4(5) \cdot (x^2 - 1)}{cos^4(5)} < \frac{0}{cos^4(5)}$

$x^2 - 1 < 0$

Решим полученное квадратичное неравенство:

$x^2 < 1$

Это неравенство равносильно системе $\begin{cases} x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$, или двойному неравенству $-1 < x < 1$.

Также можно использовать метод интервалов. Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x+1) < 0$. Корни соответствующего уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Парабола $y = x^2 - 1$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал $(-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.