Задания, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя рисунок 21. 3, решите неравенство $ \operatorname{tg} x > 1 $.

Используя рисунок 21. 4, решите неравенство $ \operatorname{ctg} x \le -1 $.

Используя рисунок 21. 3, решите неравенство tgx > 1.

Для решения тригонометрического неравенства $tgx > 1$ выполним следующие шаги, представляя решение на тригонометрической окружности.

1. Сначала найдем значения $x$, для которых $tgx = 1$. Это уравнение имеет решения $x = arctg(1) + \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in Z$). Так как $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

2. Функция $y = tgx$ является возрастающей на каждом из своих интервалов определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

3. На тригонометрической окружности неравенству $tgx > 1$ соответствуют углы, которые больше $\frac{\pi}{4}$, но меньше, чем $\frac{\pi}{2}$, где тангенс не определен (вертикальная асимптота). Таким образом, для одного периода мы получаем интервал $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$.

4. Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), прибавляем $\pi n$ к границам найденного интервала, чтобы получить общее решение.

Получаем: $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in Z$.

Используя рисунок 21. 4, решите неравенство ctgx ≤ –1.

Для решения тригонометрического неравенства $ctgx \le -1$ выполним следующие шаги, используя тригонометрическую окружность.

1. Сначала найдем значения $x$, для которых $ctgx = -1$. Это уравнение имеет решения $x = arcctg(-1) + \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in Z$). Так как $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, то $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

2. Функция $y = ctgx$ является убывающей на каждом из своих интервалов определения $(\pi n; \pi + \pi n)$.

3. На тригонометрической окружности неравенству $ctgx \le -1$ соответствуют углы, которые больше или равны $\frac{3\pi}{4}$, но меньше, чем $\pi$, где котангенс не определен (вертикальная асимптота). Таким образом, для одного периода мы получаем полуинтервал $[\frac{3\pi}{4}; \pi)$.

4. Учитывая периодичность котангенса (период равен $\pi$), прибавляем $\pi n$ к границам найденного интервала, чтобы получить общее решение.

Получаем: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x < \pi + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.