Номер 21.2, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.2.

1) $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

2) $ \cos x < \frac{1}{2} $;

3) $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

4) $ \cos x > -1 $.

1) Решим неравенство $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сначала найдем корни уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение этого уравнения: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, то $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Таким образом, $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $.

Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $ \frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{5\pi}{6} $.

Неравенству $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (косинус) которых больше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это дуга окружности, расположенная правее вертикальной прямой $ x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $ -\frac{5\pi}{6} $ к точке $ \frac{5\pi}{6} $, мы получаем интервал $ (-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $ 2\pi $), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:

$ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos x < \frac{1}{2} $.

Сначала найдем корни уравнения $ \cos x = \frac{1}{2} $.

Общее решение этого уравнения: $ x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{3} $ и $ -\frac{\pi}{3} $.

Неравенству $ \cos x < \frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $ \frac{1}{2} $. Это дуга окружности, расположенная левее вертикальной прямой $ x = \frac{1}{2} $.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $ \frac{\pi}{3} $ к точке $ -\frac{\pi}{3} $ (что то же самое, что и точка $ 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $), мы получаем интервал $ (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}) $.

Учитывая периодичность функции косинуса, общее решение неравенства:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала найдем корни уравнения $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $ \frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{3\pi}{4} $.

Неравенству $ \cos x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это дуга окружности, расположенная правее вертикальной прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая концы дуги.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки от точки $ -\frac{3\pi}{4} $ к точке $ \frac{3\pi}{4} $, мы получаем отрезок $ [-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] $.

Учитывая периодичность, общее решение неравенства:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \cos x > -1 $.

Область значений функции косинуса - это отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $ для любого значения $ x $.

Неравенство $ \cos x > -1 $ выполняется всегда, за исключением тех случаев, когда $ \cos x = -1 $.

Найдем значения $ x $, при которых $ \cos x = -1 $.

Это уравнение имеет решения $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $ x = \pi + 2\pi k $.

Ответ: $ x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.