Номер 21.4, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.4.

1) $ctg x > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $ctg x < - \frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $ctg x \ge \sqrt{3}$;

4) $ctg x \le -1$.

1) Решим тригонометрическое неравенство $ctgx > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для начала найдем главный корень уравнения $ctgx = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим корнем является $x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = ctgx$ является убывающей на всей своей области определения, в частности на интервале $(0, \pi)$. Поэтому, чем больше значение функции, тем меньше значение аргумента.

Таким образом, неравенству $ctgx > \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $(0, \pi)$ удовлетворяют значения $x$, для которых $0 < x < \frac{\pi}{3}$.

Так как функция котангенса периодическая с периодом $\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $\pi n$ к границам найденного интервала, где $n \in \mathbb{Z}$.

В итоге получаем: $\pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим тригонометрическое неравенство $ctgx < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем главный корень уравнения $ctgx = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим корнем является $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Функция $y = ctgx$ является убывающей. Следовательно, чем меньше значение функции, тем больше значение аргумента.

Таким образом, неравенству $ctgx < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $(0, \pi)$ удовлетворяют значения $x$, для которых $\frac{2\pi}{3} < x < \pi$.

Учитывая периодичность функции котангенса с периодом $\pi$, общее решение имеет вид: $\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим тригонометрическое неравенство $ctgx \ge \sqrt{3}$.

Найдем главный корень уравнения $ctgx = \sqrt{3}$. Этим корнем является $x = arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = ctgx$ убывающая, то неравенству $ctgx \ge \sqrt{3}$ на интервале $(0, \pi)$ удовлетворяют значения $x$, для которых $0 < x \le \frac{\pi}{6}$. Поскольку неравенство нестрогое, точка $x=\frac{\pi}{6}$ включается в решение.

Учитывая периодичность функции котангенса с периодом $\pi$, общее решение неравенства получается добавлением $\pi n$ к границам найденного интервала: $\pi n < x \le \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим тригонометрическое неравенство $ctgx \le -1$.

Найдем главный корень уравнения $ctgx = -1$. Этим корнем является $x = arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Так как функция $y = ctgx$ убывающая, то неравенству $ctgx \le -1$ на интервале $(0, \pi)$ удовлетворяют значения $x$, для которых $\frac{3\pi}{4} \le x < \pi$. Поскольку неравенство нестрогое, точка $x=\frac{3\pi}{4}$ включается в решение.

Учитывая периодичность функции котангенса с периодом $\pi$, общее решение неравенства имеет вид: $\frac{3\pi}{4} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.