Номер 21.11, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.11. Найдите решение неравенства:

1) $2\sin x < \sin 2x \cdot \cos x$, если $x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

2) $\sin 2x \cdot \sin x > 2\cos x$, если $x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

1) $2\sin x < \sin2x \cdot \cos x$, если $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$

Преобразуем данное неравенство. Применим формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x < (2\sin x \cos x) \cdot \cos x$

$2\sin x < 2\sin x \cos^2 x$

Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin x - 2\sin x \cos^2 x < 0$

$2\sin x (1 - \cos^2 x) < 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим выражение в скобках:

$2\sin x \cdot \sin^2 x < 0$

$2\sin^3 x < 0$

Данное неравенство равносильно неравенству $\sin x < 0$.

Теперь найдём решение неравенства $\sin x < 0$ на заданном отрезке $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Функция синус отрицательна в III и IV четвертях. Рассмотрим заданный отрезок:

- На промежутке $[-\frac{\pi}{4}; 0)$, $\sin x$ принимает отрицательные значения.

- При $x = 0$, $\sin x = 0$.

- На промежутке $(0; \frac{3\pi}{4}]$, $\sin x$ принимает положительные значения.

Таким образом, условие $\sin x < 0$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ выполняется при $x \in [-\frac{\pi}{4}; 0)$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4}; 0)$.

2) $\sin2x \cdot \sin x > 2\cos x$, если $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$

Преобразуем неравенство, используя формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$(2\sin x \cos x) \cdot \sin x > 2\cos x$

$2\sin^2 x \cos x > 2\cos x$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$2\sin^2 x \cos x - 2\cos x > 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\sin^2 x - 1) > 0$

Из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$. Подставим это в неравенство:

$2\cos x (-\cos^2 x) > 0$

$-2\cos^3 x > 0$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$\cos^3 x < 0$

Это неравенство равносильно неравенству $\cos x < 0$.

Найдём решение неравенства $\cos x < 0$ на заданном отрезке $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Функция косинус отрицательна во II и III четвертях. Рассмотрим заданный отрезок:

- На промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$, $\cos x$ принимает положительные значения.

- При $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$.

- На промежутке $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$, $\cos x$ принимает отрицательные значения.

Следовательно, условие $\cos x < 0$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$ выполняется при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}]$.