Номер 21.18, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.18. Решите неравенство:

1) $2\cos^4 x \le 0,5 + \cos2x$; 2) $2\cos2x - 5 < 4\sqrt{3} \sin x.$

1) $2\cos^4x \le 0,5 + \cos2x$

Преобразуем неравенство, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2x - 1$. Это позволит нам работать с выражением, содержащим только одну тригонометрическую функцию.

$2\cos^4x \le 0,5 + (2\cos^2x - 1)$

$2\cos^4x \le 2\cos^2x - 0,5$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$2\cos^4x - 2\cos^2x + 0,5 \le 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на 2:

$4\cos^4x - 4\cos^2x + 1 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \cos^2x$. Учитывая, что $0 \le \cos^2x \le 1$, получаем ограничение $0 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид:

$4t^2 - 4t + 1 \le 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(2t - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(2t - 1)^2 \ge 0$, данное неравенство может выполняться только в единственном случае — когда его левая часть равна нулю.

$(2t - 1)^2 = 0$

$2t - 1 = 0$

$t = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\cos^2x = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения следует, что $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями этих простейших тригонометрических уравнений являются серии корней:

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти четыре серии решений можно представить в более компактной форме. На тригонометрической окружности этим значениям соответствуют точки $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$. Расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Поэтому все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos2x - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$, чтобы привести неравенство к одной тригонометрической функции — синусу.

$2(1 - 2\sin^2x) - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

$2 - 4\sin^2x - 5 < 4\sqrt{3}\sin x$

$-4\sin^2x - 3 < 4\sqrt{3}\sin x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным старшим коэффициентом:

$0 < 4\sin^2x + 4\sqrt{3}\sin x + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$. Поскольку область значений синуса $[-1; 1]$, то $-1 \le y \le 1$. Неравенство примет вид:

$4y^2 + 4\sqrt{3}y + 3 > 0$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы:

$(2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 > 0$

$(2y + \sqrt{3})^2 > 0$

Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Он будет строго больше нуля всегда, за исключением случая, когда само выражение равно нулю.

Таким образом, неравенство выполняется при условии:

$2y + \sqrt{3} \neq 0$

$y \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ находится в пределах $[-1, 1]$, поэтому это ограничение имеет смысл.

Выполним обратную замену:

$\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, кроме тех, для которых $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем эти исключаемые значения, решив уравнение:

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решениями этого уравнения являются две серии корней:

$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi k = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, за исключением найденных серий.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x \neq \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.