Номер 21.12, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.12. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{2\sin x - 1} + \sqrt{7x - x^2}$

2) $y = \frac{1}{2\sin x - 1} + \sqrt{6x - x^2}$

3) $y = \sqrt{2\sin x - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{6x - x^2} - 8}$

4) $y = \sqrt{1-2\cos x} + \sqrt{4x - x^2}$

1) Область определения функции $y = \sqrt{2\sin x - 1} + \sqrt{7x - x^2}$ находится из системы неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2\sin x - 1 \ge 0 \\ 7x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2\sin x \ge 1$

$\sin x \ge \frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность отрезков:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство:

$7x - x^2 \ge 0$

$x(7 - x) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения $x(7-x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=7$. Ветви параболы $f(x)=7x-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$0 \le x \le 7$, или $x \in [0, 7]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти те значения $x$ из отрезка $[0, 7]$, которые удовлетворяют первому неравенству.

Рассмотрим различные целые значения $k$ для $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$:

При $k = 0$: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$. Так как $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ и $\frac{5\pi}{6} \approx 2.62$, весь этот отрезок принадлежит отрезку $[0, 7]$. Значит, $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ является частью области определения.

При $k = 1$: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi, \frac{5\pi}{6} + 2\pi] = [\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}]$. Так как $\frac{13\pi}{6} \approx 6.8$ и $\frac{17\pi}{6} \approx 8.9$, пересечением этого отрезка с отрезком $[0, 7]$ является промежуток $[\frac{13\pi}{6}, 7]$.

При $k \ge 2$ и $k < 0$ пересечений с отрезком $[0, 7]$ не будет.

Объединяя найденные промежутки, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] \cup [\frac{13\pi}{6}, 7]$.

2) Область определения функции $y = \frac{1}{2\sin x - 1} + \sqrt{6x - x^2}$ задается системой условий:

$\begin{cases} 2\sin x - 1 \ne 0 \\ 6x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое условие:

$2\sin x \ne 1$

$\sin x \ne \frac{1}{2}$

Это означает, что $x \ne \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x \ne \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе условие, которое является неравенством:

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Корни уравнения $x(6-x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=6$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому решение неравенства: $0 \le x \le 6$, или $x \in [0, 6]$.

Теперь из отрезка $[0, 6]$ необходимо исключить точки, в которых $\sin x = \frac{1}{2}$.

Найдем эти точки, решая уравнения $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ для $x \in [0, 6]$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$ (принадлежит $[0, 6]$) и $x = \frac{5\pi}{6}$ (принадлежит $[0, 6]$).

При $k \ge 1$ и $k < 0$ значения $x$ выходят за пределы отрезка $[0, 6]$.

Следовательно, из отрезка $[0, 6]$ нужно исключить точки $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $D(y) = [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, 6]$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{2\sin x - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{6x - x^2 - 8}}$ задается системой неравенств:

$\begin{cases} 2\sin x - \sqrt{3} \ge 0 \\ 6x - x^2 - 8 > 0 \end{cases}$

Второе неравенство строгое, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Решим первое неравенство:

$2\sin x \ge \sqrt{3}$

$\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство:

$6x - x^2 - 8 > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 6x + 8 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета $x_1=2, x_2=4$. Ветви параболы $f(x)=x^2-6x+8$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$2 < x < 4$, или $x \in (2, 4)$.

Теперь найдем пересечение решений. Ищем значения $x$ из интервала $(2, 4)$, которые удовлетворяют первому неравенству.

При $k = 0$: $x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$ и $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$.

Пересечением $[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ и $(2, 4)$ является промежуток $(2, \frac{2\pi}{3}]$.

При других целых значениях $k$ пересечений с интервалом $(2, 4)$ не будет.

Ответ: $D(y) = (2, \frac{2\pi}{3}]$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{1 - 2\cos x} + \sqrt{4x - x^2}$ задается системой неравенств:

$\begin{cases} 1 - 2\cos x \ge 0 \\ 4x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 \ge 2\cos x$

$\cos x \le \frac{1}{2}$

Решение: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе неравенство:

$4x - x^2 \ge 0$

$x(4 - x) \ge 0$

Корни $x_1=0, x_2=4$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому решение: $0 \le x \le 4$, или $x \in [0, 4]$.

Найдем пересечение решений. Ищем значения $x$ из отрезка $[0, 4]$, которые удовлетворяют первому неравенству.

При $k = 0$: $x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$. Учитывая, что $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$ и $\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$, пересечением этого промежутка с отрезком $[0, 4]$ является отрезок $[\frac{\pi}{3}, 4]$.

При других целых значениях $k$ пересечений с отрезком $[0, 4]$ нет.

Ответ: $D(y) = [\frac{\pi}{3}, 4]$.