Номер 21.15, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.15. Решите неравенство, содержащее тригонометрическую функцию под знаком модуля:

1) $| \cos x | < \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $| \text{tg}3x | \ge 1;$

3) $| \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) | \le \frac{1}{2};$

4) $| \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) | \le \frac{\sqrt{2}}{2}.$

169

1) Решим неравенство $| \cos x | < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:$$- \frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$Рассмотрим на единичной окружности. Уравнению $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют углы $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Уравнению $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют углы $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Нам нужны значения $x$, для которых косинус находится между $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это соответствует двум интервалам: от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$ и от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$.Первый интервал с учетом периодичности: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.Второй интервал с учетом периодичности: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Этот интервал можно также записать как $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$.Эти два семейства интервалов можно объединить в одну формулу, заметив, что они повторяются с периодом $\pi$:$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $| \text{tg} \, 3x | \ge 1$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$$\text{tg} \, 3x \ge 1 \quad \text{или} \quad \text{tg} \, 3x \le -1$$Сделаем замену $t = 3x$. Решим неравенства для $t$: $\text{tg} \, t \ge 1$ и $\text{tg} \, t \le -1$.Рассмотрим один период тангенса от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.Неравенство $\text{tg} \, t \ge 1$ выполняется при $\frac{\pi}{4} \le t < \frac{\pi}{2}$.Неравенство $\text{tg} \, t \le -1$ выполняется при $-\frac{\pi}{2} < t \le -\frac{\pi}{4}$.С учетом периодичности тангенса (период $\pi$), общие решения для $t$:$$\frac{\pi}{4} + \pi k \le t < \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{где } k \in \mathbb{Z}$$Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 3x$:1) $\frac{\pi}{4} + \pi k \le 3x < \frac{\pi}{2} + \pi k \implies \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} \le x < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.2) $-\frac{\pi}{2} + \pi k < 3x \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \implies -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} < x \le -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}] \cup [\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $| \sin(2x - \frac{\pi}{6}) | \le \frac{1}{2}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:$$- \frac{1}{2} \le \sin(2x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2}$$Сделаем замену $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Получаем $- \frac{1}{2} \le \sin t \le \frac{1}{2}$.На единичной окружности значения синуса находятся между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ в двух интервалах:от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ и от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.С учетом периодичности $2\pi$:$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.Эти два семейства решений можно объединить в одно:$$-\frac{\pi}{6} + \pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{где } k \in \mathbb{Z}$$Вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x - \frac{\pi}{6}$:$$-\frac{\pi}{6} + \pi k \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \pi k$$Прибавим ко всем частям $\frac{\pi}{6}$:$$\pi k \le 2x \le \frac{2\pi}{6} + \pi k \implies \pi k \le 2x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$$Разделим все части на 2:$$\frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$$

Ответ: $\frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $| \cos(2x + \frac{\pi}{3}) | \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:$$- \frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$Сделаем замену $t = 2x + \frac{\pi}{3}$. Получаем $- \frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.На единичной окружности значения косинуса находятся между $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух интервалах:от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$ и от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$.С учетом периодичности $2\pi$:$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.Эти два семейства решений можно объединить в одно:$$\frac{\pi}{4} + \pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + \pi k, \text{где } k \in \mathbb{Z}$$Вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x + \frac{\pi}{3}$:$$\frac{\pi}{4} + \pi k \le 2x + \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$$Вычтем из всех частей $\frac{\pi}{3}$:$$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k$$$$\frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi k \le 2x \le \frac{9\pi - 4\pi}{12} + \pi k$$$$-\frac{\pi}{12} + \pi k \le 2x \le \frac{5\pi}{12} + \pi k$$Разделим все части на 2:$$-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$$

Ответ: $-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.