Номер 21.21, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.21. Постройте график и запишите промежутки монотонности функции:

1) $y = |x^2 + 2x - 1|;$

2) $y = |-x^2 + 2x - 1|;$

3) $y = |-2x^2 - 4x + 3|.$

1) $y = |x^2 + 2x - 1|$

Для построения графика функции $y = |x^2 + 2x - 1|$ сначала построим график параболы $g(x) = x^2 + 2x - 1$. Затем часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс (оси Ox), симметрично отразим относительно этой оси.

Анализ функции $g(x) = x^2 + 2x - 1$:

1. Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

$x_в = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

$y_в = g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -2)$.

3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни: $x_{1,2} = (-2 \pm \sqrt{8}) / 2 = (-2 \pm 2\sqrt{2}) / 2 = -1 \pm \sqrt{2}$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{2}$.

4. Построение графика $y = |x^2 + 2x - 1|$:

Часть параболы $g(x)$, где $x \in (-\infty, -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2}, +\infty)$, находится выше или на оси Ox и остается без изменений.

Часть параболы, где $x \in (-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2})$, находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем симметрично относительно оси Ox. Вершина $(-1, -2)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Промежутки монотонности для $y = |x^2 + 2x - 1|$ определяются по итоговому графику:

- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1, -1+\sqrt{2}]$.

- Функция возрастает на промежутках $[-1-\sqrt{2}, -1]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1-\sqrt{2}]$ и $[-1, -1+\sqrt{2}]$; функция возрастает на промежутках $[-1-\sqrt{2}, -1]$ и $[-1+\sqrt{2}, +\infty)$.

2) $y = |-x^2 + 2x - 1|$

Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = -x^2 + 2x - 1$. Ее можно представить в виде $g(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$.

1. График функции $g(x) = -(x-1)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$).

2. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, так как это стандартная парабола $y=-x^2$, смещенная на 1 единицу вправо.

3. Поскольку вершина параболы лежит на оси Ox и ветви направлены вниз, вся парабола находится ниже или на оси Ox, то есть $g(x) \le 0$ для всех $x$.

4. Для построения графика $y = |g(x)| = |-(x-1)^2|$, мы должны отразить всю параболу $g(x)$ относительно оси Ox. Это равносильно тому, чтобы убрать знак "минус" перед скобкой.

Таким образом, $y = -(-(x-1)^2) = (x-1)^2$.

5. Итоговый график — это парабола $y = (x-1)^2$ с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Промежутки монотонности для $y = (x-1)^2$:

- Функция убывает при $x \le 1$, то есть на промежутке $(-\infty, 1]$.

- Функция возрастает при $x \ge 1$, то есть на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$; функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

3) $y = |-2x^2 - 4x + 3|$

Сначала построим график параболы $g(x) = -2x^2 - 4x + 3$, а затем отразим ее отрицательную часть относительно оси Ox.

Анализ функции $g(x) = -2x^2 - 4x + 3$:

1. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

$x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-2)) = 4 / (-4) = -1$.

$y_в = g(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 5)$.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 4x + 3 = 0$ или $2x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{40}) / (2 \cdot 2) = (-4 \pm 2\sqrt{10}) / 4 = (-2 \pm \sqrt{10}) / 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$.

4. Построение графика $y = |-2x^2 - 4x + 3|$:

Парабола $g(x)$ находится выше оси Ox на интервале между корнями $(x_1, x_2)$, эта часть графика остается без изменений. Вершина $(-1, 5)$ также остается на месте.

Части параболы, где $x \le x_1$ и $x \ge x_2$, находятся ниже оси Ox, их мы отражаем симметрично относительно оси Ox.

Промежутки монотонности для $y = |-2x^2 - 4x + 3|$ определяются по итоговому графику:

- На промежутке $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}]$ исходная функция возрастала и была отрицательной. После отражения она убывает.

- На промежутке $[\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, -1]$ исходная функция возрастала и была положительной. Она остается возрастающей.

- На промежутке $[-1, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}]$ исходная функция убывала и была положительной. Она остается убывающей.

- На промежутке $[\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$ исходная функция убывала и была отрицательной. После отражения она возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}]$ и $[-1, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}]$; функция возрастает на промежутках $[\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, -1]$ и $[\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.