Номер 2, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Решением уравнения $4\cos2x + 3\sin2x - 5 = 0$ является:

A) $\{\operatorname{arctg}3\}$;

B) $\{\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$;

C) $\{\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$;

D) $\{\operatorname{arctg}3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

Решение

Дано тригонометрическое уравнение: $4\cos{2x} + 3\sin{2x} - 5 = 0$

Для решения этого уравнения удобно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Поскольку аргументы синуса и косинуса равны $2x$, мы можем выразить их через тангенс половинного угла, то есть через $\tan{x}$. Введем замену $t = \tan{x}$. Тогда формулы двойного угла для синуса и косинуса выглядят следующим образом:

$\sin{2x} = \frac{2\tan{x}}{1 + \tan^2{x}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{2x} = \frac{1 - \tan^2{x}}{1 + \tan^2{x}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $4\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) + 3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $(1+t^2)$. Это преобразование является равносильным, так как $1+t^2 > 0$ при любом действительном значении $t$. $4(1-t^2) + 3(2t) - 5(1+t^2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить алгебраическое уравнение относительно $t$: $4 - 4t^2 + 6t - 5 - 5t^2 = 0$ $-9t^2 + 6t - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства: $9t^2 - 6t + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности: $(3t)^2 - 2 \cdot (3t) \cdot 1 + 1^2 = (3t - 1)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид: $(3t - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень: $3t - 1 = 0$ $3t = 1$ $t = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$: $\tan{x} = t \implies \tan{x} = \frac{1}{3}$

Общее решение для простейшего тригонометрического уравнения $\tan{x} = a$ дается формулой $x = \arctan{a} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \Z$). В нашем случае: $x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi n, n \in \Z$

Сравнивая полученное множество решений с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $\{\arctan{\frac{1}{3}} + \pi n, n \in \Z\}$.