Номер 21.20, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.20. Постройте график и запишите промежутки монотонности функции:

1) $y = x^2 - 2x - 1;$

2) $y = -x^2 + 2x + 2;$

3) $y = 2x^2 - 4x - 3.$

1) $y = x^2 - 2x - 1$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a=1 > 0$).

Для построения графика найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины вычисляется подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 2(0) - 1 = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.

С осью OX (при $y=0$): $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Точки пересечения: $(1 - \sqrt{2}, 0)$ и $(1 + \sqrt{2}, 0)$.

Для более точного построения графика найдем еще несколько точек. Например, точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии параболы $x=1$. Ее координаты $(2, -1)$.

На основе этих точек (вершина $(1, -2)$, точки $(0, -1)$, $(2, -1)$, $(1-\sqrt{2}, 0)$, $(1+\sqrt{2}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности определяются по вершине параболы. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a=-1 < 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = -(0)^2 + 2(0) + 2 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.

С осью OX (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 2 = 0$, или $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.

Симметричная точке $(0, 2)$ относительно оси $x=1$ точка имеет координаты $(2, 2)$.

На основе этих точек (вершина $(1, 3)$, точки $(0, 2)$, $(2, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности. Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

3) $y = 2x^2 - 4x - 3$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля ($a=2 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = 2(1)^2 - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$.

Вершина параболы находится в точке $(1, -5)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x=0$): $y = 2(0)^2 - 4(0) - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

С осью OX (при $y=0$): $2x^2 - 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 0)$ и $(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 0)$.

Симметричная точке $(0, -3)$ относительно оси $x=1$ точка имеет координаты $(2, -3)$.

На основе этих точек (вершина $(1, -5)$, точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 0)$, $(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, 0)$) строим параболу.

Промежутки монотонности. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.