Номер 21.1, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (21.1–21.4):

21.1. 1) $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$; 2) $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$; 4) $\sin x > -1$.

1) Решите неравенство $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения этого тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Сначала найдём значения $x$, для которых соответствующее равенство $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ является верным. Решениями этого уравнения являются $x = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычисляем: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

На единичной окружности синус угла соответствует ординате (y-координате) точки. Неравенство $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех точек окружности, ординаты которых больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, расположенной выше прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Концами этой дуги являются точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, решение неравенства на одном обороте — это интервал $(\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.

Учитывая периодичность функции синуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается как: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решите неравенство $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Граничные значения $x$, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, были найдены в предыдущем пункте: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности нам нужны точки, ординаты которых меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, расположенной ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эта дуга начинается в точке $\frac{2\pi}{3}$ и, если двигаться против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{\pi}{3}$ следующего оборота. Угол на следующем обороте можно записать как $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

Таким образом, решение для одного периода можно записать как интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$. С учётом периодичности, общее решение неравенства: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) Решите неравенство $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Его решениями являются $x = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычисляем: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Неравенство $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, ординаты которых больше или равны $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, расположенной выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, включая концы дуги.

Дуга начинается в точке $-\frac{\pi}{4}$ и заканчивается в точке $\frac{5\pi}{4}$. Поскольку неравенство нестрогое, концы дуги включаются в решение.

Решение для одного периода: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Общее решение с учетом периода $2\pi$ имеет вид: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Решите неравенство $\sin x > -1$.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного $x$ всегда выполняется условие $\sin x \ge -1$.

Данное в задаче неравенство строгое: $\sin x > -1$. Это означает, что оно выполняется для всех значений $x$, за исключением тех, при которых $\sin x$ принимает свое минимальное значение, то есть $\sin x = -1$.

Найдем значения $x$, для которых $\sin x = -1$. Это уравнение имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решением неравенства $\sin x > -1$ являются все действительные числа, кроме этих точек.

Ответ: $x \ne -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.