Номер 20.11, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.11. Решите уравнение разложением на множители:

1) $ \sin^3 x(1 + \text{ctg } x) + \cos^3 x(1 + \text{tg } x) = 2\sqrt{\sin x \cos x} $;

2) $ \sin 2x + 5(\sin x + \cos x) = -1 $;

3) $ \cos x + \sin x - \sqrt{1 - 2\cos^2 x} = 0 $;

4) $ 1 + \sin 2x = 7(\cos x + \sin x) $.

1) Исходное уравнение: $sin^3x(1 + ctgx) + cos^3x(1 + tgx) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Для существования $ctgx$ необходимо, чтобы $sinx \neq 0$.

Для существования $tgx$ необходимо, чтобы $cosx \neq 0$.

Для существования $\sqrt{sinx cosx}$ необходимо, чтобы $sinx cosx \ge 0$.

Совмещая эти условия, получаем, что $sinx > 0$ и $cosx > 0$, что соответствует первой четверти координатной плоскости.

Преобразуем выражения в скобках:

$1 + ctgx = 1 + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sinx + cosx}{sinx}$

$1 + tgx = 1 + \frac{sinx}{cosx} = \frac{cosx + sinx}{cosx}$

Подставим их в исходное уравнение:

$sin^3x \cdot \frac{sinx + cosx}{sinx} + cos^3x \cdot \frac{cosx + sinx}{cosx} = 2\sqrt{sinx cosx}$

$sin^2x(sinx + cosx) + cos^2x(sinx + cosx) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Вынесем общий множитель $(sinx + cosx)$ за скобки:

$(sinx + cosx)(sin^2x + cos^2x) = 2\sqrt{sinx cosx}$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:

$sinx + cosx = 2\sqrt{sinx cosx}$

Так как по ОДЗ $sinx > 0$ и $cosx > 0$, обе части уравнения положительны. Возведем обе части в квадрат:

$(sinx + cosx)^2 = (2\sqrt{sinx cosx})^2$

$sin^2x + 2sinx cosx + cos^2x = 4sinx cosx$

$1 + 2sinx cosx = 4sinx cosx$

$1 = 2sinx cosx$

Используя формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$, получаем:

$sin2x = 1$

Решением этого уравнения является серия:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($sinx > 0$ и $cosx > 0$).

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.

При $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. $sin(\frac{5\pi}{4}) < 0$, $cos(\frac{5\pi}{4}) < 0$. Этот корень не подходит.

Подходят только те корни, где $n$ — четное число. Пусть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin2x + 5(sinx + cosx) = -1$

Введем замену: пусть $t = sinx + cosx$.

Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = (sinx + cosx)^2 = sin^2x + 2sinx cosx + cos^2x = 1 + sin2x$.

Отсюда выразим $sin2x = t^2 - 1$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + 5t = -1$

$t^2 + 5t = 0$

$t(t+5) = 0$

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -5$.

Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t = 0$

$sinx + cosx = 0$

Заметим, что $cosx \neq 0$, так как если $cosx=0$, то $sinx = \pm 1$, и равенство не выполняется. Разделим обе части на $cosx$:

$tgx + 1 = 0$

$tgx = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $t = -5$

$sinx + cosx = -5$

Используя метод вспомогательного угла, преобразуем левую часть: $sinx + cosx = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx + \frac{1}{\sqrt{2}}cosx) = \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Область значений выражения $\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $-5$ не принадлежит этому отрезку ($-5 < -\sqrt{2}$), уравнение $sinx + cosx = -5$ не имеет решений.

Таким образом, единственным решением является серия корней из первого случая.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cosx + sinx - \sqrt{1 - 2cos^2x} = 0$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$1 - 2cos^2x \ge 0 \implies 2cos^2x \le 1 \implies cos^2x \le \frac{1}{2}$.

Перенесем корень в правую часть:

$cosx + sinx = \sqrt{1 - 2cos^2x}$

Так как правая часть неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $cosx + sinx \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(cosx + sinx)^2 = 1 - 2cos^2x$

$cos^2x + 2sinx cosx + sin^2x = 1 - 2cos^2x$

$1 + 2sinx cosx = 1 - 2cos^2x$

$2sinx cosx = -2cos^2x$

$2sinx cosx + 2cos^2x = 0$

$2cosx(sinx + cosx) = 0$

Это уравнение распадается на два:

Случай 1: $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Проверим эти корни по условиям ОДЗ и $cosx + sinx \ge 0$.

Если $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$), то $cosx=0$, $sinx=1$.

ОДЗ: $1 - 2(0)^2 = 1 \ge 0$ (верно).

Условие: $0+1 = 1 \ge 0$ (верно). Значит, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ является решением.

Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$ ($m \in \mathbb{Z}$), то $cosx=0$, $sinx=-1$.

ОДЗ: $1 - 2(0)^2 = 1 \ge 0$ (верно).

Условие: $0+(-1) = -1 \ge 0$ (неверно). Это посторонние корни.

Случай 2: $sinx + cosx = 0$

$tgx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти корни по условиям.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, имеем $cos^2x = (\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $1 - 2(\frac{1}{2}) = 0 \ge 0$ (верно).

Условие: $sinx + cosx = 0 \ge 0$ (верно).

Следовательно, вся серия $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ является решением.

Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $1 + sin2x = 7(cosx + sinx)$

Как и в задании 2, введем замену: пусть $t = cosx + sinx$.

Тогда $1 + sin2x = (sinx+cosx)^2 = t^2$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 = 7t$

$t^2 - 7t = 0$

$t(t - 7) = 0$

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$.

Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t = 0$

$cosx + sinx = 0$

Разделив на $cosx \neq 0$, получим:

$1 + tgx = 0$

$tgx = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $t = 7$

$cosx + sinx = 7$

Мы знаем, что область значений функции $y = cosx + sinx$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Так как $7 > \sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственным решением является серия корней из первого случая.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.