Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

19.13. Найдите корни уравнения, принадлежащие указанному интер-
валу:

1) $ \sin(x - 450^\circ) - \cos(3x - 180^\circ) = 0, \quad 0^\circ < x < 180^\circ; $

2) $ \sin(x + 270^\circ) - \cos(3x + 720^\circ), \quad 40^\circ < x < 90^\circ; $

3) $ \cos(-5x - 180^\circ) - \sin(4x + 630^\circ), \quad 0^\circ < x < 90^\circ; $

4) $ \cos(4x - 180^\circ) - \sin(2x + 90^\circ) = 0, \quad 180^\circ < x < 270^\circ. $

1) Решим уравнение $sin(x - 450^{\circ}) - cos(3x - 180^{\circ}) = 0$ на интервале $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$.

Сначала упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения и периодичность.

Для первого слагаемого: $sin(x - 450^{\circ}) = sin(x - 90^{\circ} - 360^{\circ}) = sin(x - 90^{\circ}) = -sin(90^{\circ} - x) = -cos(x)$.

Для второго слагаемого: $cos(3x - 180^{\circ}) = cos(-(180^{\circ} - 3x)) = cos(180^{\circ} - 3x) = -cos(3x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$-cos(x) - (-cos(3x)) = 0$

$-cos(x) + cos(3x) = 0$

$cos(3x) = cos(x)$

Это уравнение распадается на две серии решений:

а) $3x = x + 360^{\circ}k$, где $k$ – целое число.

$2x = 360^{\circ}k$

$x = 180^{\circ}k$

б) $3x = -x + 360^{\circ}n$, где $n$ – целое число.

$4x = 360^{\circ}n$

$x = 90^{\circ}n$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$.

Из серии $x = 180^{\circ}k$: при $k=1$ получаем $x=180^{\circ}$, что не входит в интервал. При других целых $k$ корни также не попадают в интервал.

Из серии $x = 90^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=90^{\circ}$. Этот корень принадлежит указанному интервалу. При $n=2$ получаем $x=180^{\circ}$, что не входит в интервал.

Следовательно, единственный корень на заданном интервале – это $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.

2) Решим уравнение $sin(x + 270^{\circ}) - cos(3x + 720^{\circ}) = 0$ на интервале $40^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Упростим выражения:

$sin(x + 270^{\circ}) = -cos(x)$.

$cos(3x + 720^{\circ}) = cos(3x + 2 \cdot 360^{\circ}) = cos(3x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(x) - cos(3x) = 0$

$cos(3x) = -cos(x)$

Используя формулу $cos(180^{\circ} - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:

$cos(3x) = cos(180^{\circ} - x)$

Решения этого уравнения:

а) $3x = 180^{\circ} - x + 360^{\circ}k$

$4x = 180^{\circ} + 360^{\circ}k$

$x = 45^{\circ} + 90^{\circ}k$

б) $3x = -(180^{\circ} - x) + 360^{\circ}n$

$3x = x - 180^{\circ} + 360^{\circ}n$

$2x = -180^{\circ} + 360^{\circ}n$

$x = -90^{\circ} + 180^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $40^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Из серии $x = 45^{\circ} + 90^{\circ}k$: при $k=0$ получаем $x=45^{\circ}$. Этот корень подходит. При $k=1$, $x=135^{\circ}$, что не подходит.

Из серии $x = -90^{\circ} + 180^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=90^{\circ}$, что не входит в интервал (строгое неравенство).

Единственный корень на заданном интервале – $45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

3) Решим уравнение $cos(-5x - 180^{\circ}) - sin(4x + 630^{\circ}) = 0$ на интервале $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Упростим выражения:

$cos(-5x - 180^{\circ}) = cos(5x + 180^{\circ}) = -cos(5x)$.

$sin(4x + 630^{\circ}) = sin(4x + 270^{\circ} + 360^{\circ}) = sin(4x + 270^{\circ}) = -cos(4x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(5x) - (-cos(4x)) = 0$

$-cos(5x) + cos(4x) = 0$

$cos(4x) = cos(5x)$

Это уравнение имеет две серии решений:

а) $5x = 4x + 360^{\circ}k$

$x = 360^{\circ}k$

б) $5x = -4x + 360^{\circ}n$

$9x = 360^{\circ}n$

$x = 40^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$.

Из серии $x = 360^{\circ}k$ нет корней в данном интервале.

Из серии $x = 40^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x=40^{\circ}$, что подходит. При $n=2$ получаем $x=80^{\circ}$, что тоже подходит. При $n=3$ получаем $x=120^{\circ}$, что не подходит.

Корни, принадлежащие указанному интервалу: $40^{\circ}$ и $80^{\circ}$.

Ответ: $40^{\circ}, 80^{\circ}$.

4) Решим уравнение $cos(4x - 180^{\circ}) - sin(2x + 90^{\circ}) = 0$ на интервале $180^{\circ} < x < 270^{\circ}$.

Упростим выражения:

$cos(4x - 180^{\circ}) = cos(180^{\circ} - 4x) = -cos(4x)$.

$sin(2x + 90^{\circ}) = cos(2x)$.

Подставляем в уравнение:

$-cos(4x) - cos(2x) = 0$

$cos(4x) + cos(2x) = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos((\alpha+\beta)/2)cos((\alpha-\beta)/2)$:

$2cos((4x+2x)/2)cos((4x-2x)/2) = 0$

$2cos(3x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $cos(3x) = 0$

$3x = 90^{\circ} + 180^{\circ}k$

$x = 30^{\circ} + 60^{\circ}k$

б) $cos(x) = 0$

$x = 90^{\circ} + 180^{\circ}n$

Найдем корни в интервале $180^{\circ} < x < 270^{\circ}$.

Из серии $x = 30^{\circ} + 60^{\circ}k$:

При $k=3$ получаем $x = 30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$. Этот корень подходит.

При $k=4$ получаем $x = 30^{\circ} + 240^{\circ} = 270^{\circ}$, что не входит в интервал.

Из серии $x = 90^{\circ} + 180^{\circ}n$: при $n=1$ получаем $x = 90^{\circ} + 180^{\circ} = 270^{\circ}$, что не входит в интервал.

Единственный корень на заданном интервале – $210^{\circ}$.

Ответ: $210^{\circ}$.

19.14. Решите уравнение, используя способ понижения степени и формулы приведения:

1) $cos^2(7\pi + x) = \frac{1}{2};$

2) $sin^2(4,5\pi - x) = \frac{3}{4};$

3) $tg^2(5\pi + 3x) = 3;$

4) $cos^2(7,5\pi - 2x) - \frac{3}{4} = 0.$

1) Исходное уравнение: $cos^2(7π + x) = \frac{1}{2}$.

Сначала применим формулу приведения. Так как период функции косинус равен $2π$, мы можем отбросить целое число периодов из аргумента: $7π = 6π + π$.

$cos(7π + x) = cos(6π + π + x) = cos(π + x)$.

По формуле приведения $cos(π + α) = -cos(α)$, поэтому $cos(π + x) = -cos(x)$.

Подставим это в исходное уравнение: $(-cos(x))^2 = \frac{1}{2}$, что равносильно $cos^2(x) = \frac{1}{2}$.

Теперь используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2(α) = \frac{1 + cos(2α)}{2}$.

Применив ее, получаем: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на 2: $1 + cos(2x) = 1$.

Отсюда $cos(2x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого имеет вид $2x = \frac{π}{2} + πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти x: $x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πn}{2}$, $n ∈ ℤ$.

2) Исходное уравнение: $sin^2(4,5π - x) = \frac{3}{4}$.

Сначала применим формулу приведения. Представим $4,5π$ как $4π + \frac{π}{2}$.

$sin(4,5π - x) = sin(4π + \frac{π}{2} - x) = sin(\frac{π}{2} - x)$.

По формуле приведения $sin(\frac{π}{2} - α) = cos(α)$, поэтому $sin(4,5π - x) = cos(x)$.

Уравнение принимает вид: $(cos(x))^2 = \frac{3}{4}$, или $cos^2(x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени $cos^2(α) = \frac{1 + cos(2α)}{2}$.

Получаем: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$.

Умножим обе части на 4: $2(1 + cos(2x)) = 3$, что равносильно $2 + 2cos(2x) = 3$.

Отсюда $2cos(2x) = 1$, и $cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $2x = ±\frac{π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим на 2, чтобы найти x: $x = ±\frac{π}{6} + πn$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{6} + πn$, $n ∈ ℤ$.

3) Исходное уравнение: $tg^2(5π + 3x) = 3$.

Сначала применим формулу приведения. Период тангенса равен $π$, поэтому $tg(5π + 3x) = tg(3x)$.

Уравнение принимает вид: $tg^2(3x) = 3$.

Используем формулу понижения степени для тангенса: $tg^2(α) = \frac{1 - cos(2α)}{1 + cos(2α)}$.

Применив ее к нашему уравнению, получаем: $\frac{1 - cos(2 \cdot 3x)}{1 + cos(2 \cdot 3x)} = 3$.

$\frac{1 - cos(6x)}{1 + cos(6x)} = 3$.

Избавимся от знаменателя, умножив на него обе части (при условии $1 + cos(6x) ≠ 0$):

$1 - cos(6x) = 3(1 + cos(6x))$.

$1 - cos(6x) = 3 + 3cos(6x)$.

Перенесем слагаемые с косинусом в одну сторону, а числа в другую:

$1 - 3 = 3cos(6x) + cos(6x)$.

$-2 = 4cos(6x)$.

$cos(6x) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $6x = ±arccos(-\frac{1}{2}) + 2πn = ±\frac{2π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим на 6, чтобы найти x: $x = ±\frac{2π}{18} + \frac{2πn}{6} = ±\frac{π}{9} + \frac{πn}{3}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{9} + \frac{πn}{3}$, $n ∈ ℤ$.

4) Исходное уравнение: $cos^2(7,5π - 2x) - \frac{3}{4} = 0$.

Перепишем уравнение в виде: $cos^2(7,5π - 2x) = \frac{3}{4}$.

Применим формулу приведения. Представим $7,5π$ как $8π - \frac{π}{2}$.

$cos(7,5π - 2x) = cos(8π - \frac{π}{2} - 2x) = cos(-(\frac{π}{2} + 2x))$.

Так как косинус — четная функция ($cos(-α) = cos(α)$), то $cos(-(\frac{π}{2} + 2x)) = cos(\frac{π}{2} + 2x)$.

По формуле приведения $cos(\frac{π}{2} + α) = -sin(α)$, получаем $cos(\frac{π}{2} + 2x) = -sin(2x)$.

Подставим это в уравнение: $(-sin(2x))^2 = \frac{3}{4}$, что равносильно $sin^2(2x) = \frac{3}{4}$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2(α) = \frac{1 - cos(2α)}{2}$.

В нашем случае $α = 2x$, поэтому $2α = 4x$. Получаем: $\frac{1 - cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$.

Умножим обе части на 4: $2(1 - cos(4x)) = 3$.

$2 - 2cos(4x) = 3$.

$-2cos(4x) = 1$, откуда $cos(4x) = -\frac{1}{2}$.

Решением этого уравнения является $4x = ±\frac{2π}{3} + 2πn$, где $n ∈ ℤ$.

Разделим обе части на 4: $x = ±\frac{2π}{12} + \frac{2πn}{4} = ±\frac{π}{6} + \frac{πn}{2}$, где $n ∈ ℤ$.

Ответ: $x = ±\frac{π}{6} + \frac{πn}{2}$, $n ∈ ℤ$.

19.15. Решите уравнение и запишите корни, принадлежащие указанному интервалу:

1) $$\frac{\cos 7x}{\sin 2x} - 1 = 0$$$, $70^\circ < x < 150^\circ$;

2) $$\frac{\sin 2x}{\cos 3x} - 1 = 0$$$, $0^\circ < x < 180^\circ$;

3) $$\frac{\sin 24x}{\cos 6x} - 1 = 0$$$, $10^\circ < x < 30^\circ$;

4) $$\frac{\cos 3x}{\sin 2x} - 1 = 0$$$, $180^\circ < x < 270^\circ$.

1) Исходное уравнение: $\frac{\cos 7x}{\sin 2x} - 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $\frac{\cos 7x}{\sin 2x} = 1$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 7x = \sin 2x \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\cos 7x = \cos(90^\circ - 2x)$

Равенство косинусов выполняется в двух случаях:

Случай A: $7x = 90^\circ - 2x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$9x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 10^\circ + 40^\circ k$

Случай Б: $7x = -(90^\circ - 2x) + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$7x = -90^\circ + 2x + 360^\circ k$

$5x = -90^\circ + 360^\circ k$

$x = -18^\circ + 72^\circ k$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $70^\circ < x < 150^\circ$, и проверим для них условие $\sin 2x \neq 0$.

Для серии $x = 10^\circ + 40^\circ k$:

$70^\circ < 10^\circ + 40^\circ k < 150^\circ$

$60^\circ < 40^\circ k < 140^\circ$

$1.5 < k < 3.5$

Целые значения $k$: 2, 3.

При $k=2$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 2 = 90^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 90^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$. Этот корень не подходит.

При $k=3$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 3 = 130^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 130^\circ) = \sin(260^\circ) \neq 0$. Этот корень подходит.

Для серии $x = -18^\circ + 72^\circ k$:

$70^\circ < -18^\circ + 72^\circ k < 150^\circ$

$88^\circ < 72^\circ k < 168^\circ$

$\frac{88}{72} < k < \frac{168}{72}$

$1.22... < k < 2.33...$

Целое значение $k$: 2.

При $k=2$, $x = -18^\circ + 72^\circ \cdot 2 = 126^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 126^\circ) = \sin(252^\circ) \neq 0$. Этот корень подходит.

Ответ: $126^\circ, 130^\circ$.

2) Исходное уравнение: $\frac{\sin 2x}{\cos 3x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 2x = \cos 3x \\ \cos 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\cos(90^\circ - 2x) = \cos 3x$

Равенство косинусов выполняется в двух случаях:

Случай A: $90^\circ - 2x = 3x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$5x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 18^\circ - 72^\circ k$ (или $x = 18^\circ + 72^\circ k$)

Случай Б: $90^\circ - 2x = -3x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -90^\circ + 360^\circ k$

Найдем корни, принадлежащие интервалу $0^\circ < x < 180^\circ$, и проверим для них условие $\cos 3x \neq 0$. Условие $\cos 3x = 0$ выполняется при $3x = 90^\circ + 180^\circ n$, т.е. $x = 30^\circ + 60^\circ n$.

Для серии $x = 18^\circ + 72^\circ k$:

$0^\circ < 18^\circ + 72^\circ k < 180^\circ$

$-18^\circ < 72^\circ k < 162^\circ$

$-0.25 < k < 2.25$

Целые значения $k$: 0, 1, 2.

При $k=0$, $x = 18^\circ$. Проверим знаменатель: $\cos(3 \cdot 18^\circ) = \cos(54^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

При $k=1$, $x = 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$. Этот корень совпадает с видом $30^\circ + 60^\circ n$ при $n=1$, поэтому $\cos(3 \cdot 90^\circ) = 0$. Корень не подходит.

При $k=2$, $x = 18^\circ + 144^\circ = 162^\circ$. Проверим знаменатель: $\cos(3 \cdot 162^\circ) = \cos(486^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = -90^\circ + 360^\circ k$ ни при каком целом $k$ корень не попадает в заданный интервал.

Ответ: $18^\circ, 162^\circ$.

3) Исходное уравнение: $\frac{\sin 24x}{\cos 6x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 24x = \cos 6x \\ \cos 6x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos(90^\circ - 24x) = \cos 6x$.

Случай A: $90^\circ - 24x = 6x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$30x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 3^\circ - 12^\circ k$ (или $x = 3^\circ + 12^\circ k$)

Случай Б: $90^\circ - 24x = -6x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$18x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 5^\circ - 20^\circ k$ (или $x = 5^\circ + 20^\circ k$)

Найдем корни в интервале $10^\circ < x < 30^\circ$. Условие $\cos 6x = 0$ выполняется при $x = 15^\circ + 30^\circ n$.

Для серии $x = 3^\circ + 12^\circ k$:

$10^\circ < 3^\circ + 12^\circ k < 30^\circ$

$7^\circ < 12^\circ k < 27^\circ$

$0.58... < k < 2.25$

Целые значения $k$: 1, 2.

При $k=1$, $x = 3^\circ + 12^\circ = 15^\circ$. При этом значении $\cos(6 \cdot 15^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$. Корень не подходит.

При $k=2$, $x = 3^\circ + 24^\circ = 27^\circ$. $\cos(6 \cdot 27^\circ) = \cos(162^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = 5^\circ + 20^\circ k$:

$10^\circ < 5^\circ + 20^\circ k < 30^\circ$

$5^\circ < 20^\circ k < 25^\circ$

$0.25 < k < 1.25$

Целое значение $k$: 1.

При $k=1$, $x = 5^\circ + 20^\circ = 25^\circ$. $\cos(6 \cdot 25^\circ) = \cos(150^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Ответ: $25^\circ, 27^\circ$.

4) Исходное уравнение: $\frac{\cos 3x}{\sin 2x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 3x = \sin 2x \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решение уравнения $\cos 3x = \sin 2x$ аналогично пункту 2):

$\cos 3x = \cos(90^\circ - 2x)$

Случай A: $3x = 90^\circ - 2x + 360^\circ k \implies 5x = 90^\circ + 360^\circ k \implies x = 18^\circ + 72^\circ k$.

Случай Б: $3x = -(90^\circ - 2x) + 360^\circ k \implies x = -90^\circ + 360^\circ k$.

Найдем корни в интервале $180^\circ < x < 270^\circ$. Условие $\sin 2x \neq 0$ означает, что $x \neq 90^\circ n$.

Для серии $x = 18^\circ + 72^\circ k$:

$180^\circ < 18^\circ + 72^\circ k < 270^\circ$

$162^\circ < 72^\circ k < 252^\circ$

$2.25 < k < 3.5$

Целое значение $k$: 3.

При $k=3$, $x = 18^\circ + 72^\circ \cdot 3 = 18^\circ + 216^\circ = 234^\circ$. Этот корень не является кратным $90^\circ$, поэтому $\sin(2 \cdot 234^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = -90^\circ + 360^\circ k$:

$180^\circ < -90^\circ + 360^\circ k < 270^\circ$

$270^\circ < 360^\circ k < 360^\circ$

$0.75 < k < 1$

Целых значений $k$ в этом диапазоне нет.

Ответ: $234^\circ$.

19.16. Найдите число корней уравнения графическим способом:

1) $ \cos(2x - 1) = x^2 - 2x + 5; $

2) $ \cos(2x + 1) = 3 - x^2 - 3x; $

3) $ \sin(x + 2) = 3 - x^2 - 2x; $

2) $ \text{tg}(x + 2) = 3 - 2x. $

1) Чтобы найти число корней уравнения $cos(2x - 1) = x^2 - 2x + 5$ графическим способом, необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = cos(2x - 1)$ и $y = x^2 - 2x + 5$.

Для этого проанализируем области значений этих функций.

1. Функция $y = cos(2x - 1)$. Область значений косинуса — это отрезок от -1 до 1, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = x^2 - 2x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы, чтобы определить её наименьшее значение.

Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

Ордината вершины: $y_0 = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y = x^2 - 2x + 5$ равно 4, а её область значений $E(y) = [4; +\infty)$.

Сравнивая области значений двух функций, видим, что они не пересекаются: $E(cos(2x-1)) \cap E(x^2-2x+5) = [-1; 1] \cap [4; +\infty) = \emptyset$.

Это означает, что графики данных функций не имеют ни одной общей точки.

Ответ: 0.

2) Рассмотрим уравнение $cos(2x + 1) = 3 - x^2 - 3x$. Построим в одной системе координат графики функций $y = cos(2x + 1)$ и $y = -x^2 - 3x + 3$.

1. Область значений функции $y = cos(2x + 1)$ — это отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = -x^2 - 3x + 3$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты её вершины:

$x_0 = -(-3) / (2 \cdot (-1)) = -1.5$.

$y_0 = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 3 = -2.25 + 4.5 + 3 = 5.25$.

Область значений параболы: $E(y) = (-\infty; 5.25]$.

Области значений функций пересекаются по отрезку $[-1; 1]$, следовательно, у уравнения могут быть корни. Графики могут пересечься только в тех точках, где значения параболы лежат в отрезке $[-1; 1]$.

Найдем, при каких $x$ выполняется неравенство $-1 \le -x^2 - 3x + 3 \le 1$.

Решая систему неравенств, получаем, что значения параболы находятся в "полосе" $y \in [-1; 1]$ при $x \in [-4; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; 1]$.

Приблизительные значения границ: $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3.56$ и $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0.56$.

Получаем два интервала для $x$: $[-4; -3.56]$ и $[0.56; 1]$.

На первом интервале $[-4; -3.56]$ парабола возрастает от -1 до 1. График косинуса также проходит через эту область. Анализ значений на концах интервала показывает, что на этом отрезке есть одна точка пересечения.

На втором интервале $[0.56; 1]$ парабола убывает от 1 до -1. Анализ значений на концах этого интервала также показывает наличие одной точки пересечения.

Итого, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим уравнение $sin(x + 2) = 3 - x^2 - 2x$. Построим графики функций $y = sin(x + 2)$ и $y = -x^2 - 2x + 3$.

1. Область значений функции $y = sin(x + 2)$ — это отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = -x^2 - 2x + 3$ — парабола с ветвями вниз. Координаты её вершины:

$x_0 = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = -1$.

$y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Область значений параболы: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Области значений функций пересекаются по отрезку $[-1; 1]$. Корни могут существовать только для тех $x$, для которых значения параболы лежат в отрезке $[-1; 1]$.

Решая двойное неравенство $-1 \le -x^2 - 2x + 3 \le 1$, получаем, что это условие выполняется для $x \in [-1 - \sqrt{5}; -1 - \sqrt{3}] \cup [-1 + \sqrt{3}; -1 + \sqrt{5}]$.

Приблизительные значения границ: $-1-\sqrt{5} \approx -3.24$, $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$, $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$, $-1+\sqrt{5} \approx 1.24$.

На первом интервале (приблизительно $[-3.24; -2.73]$) парабола возрастает от -1 до 1. Сравнивая значения синуса и параболы на концах этого отрезка, можно заключить, что графики пересекаются один раз.

На втором интервале (приблизительно $[0.73; 1.24]$) парабола убывает от 1 до -1. Аналогичный анализ показывает, что и на этом отрезке есть одна точка пересечения.

Таким образом, всего существует две точки пересечения графиков.

Ответ: 2.

2) Рассмотрим уравнение $tg(x + 2) = 3 - 2x$. Построим графики функций $y = tg(x + 2)$ и $y = 3 - 2x$.

1. Функция $y = 3 - 2x$ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом (-2), то есть она монотонно убывает на всей области определения.

2. Функция $y = tg(x + 2)$ — это тангенс, график которого смещен на 2 единицы влево. График состоит из бесконечного числа ветвей. Каждая ветвь является непрерывной и монотонно возрастающей функцией на своем интервале определения. Интервалы разделены вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} - 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На каждом таком интервале область значений тангенса — $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку на каждом интервале между асимптотами функция тангенса возрастает от $-\infty$ до $+\infty$, а прямая $y = 3-2x$ убывает, то их графики обязательно пересекутся, причем ровно один раз на каждом таком интервале.

Так как число ветвей тангенса (и интервалов между асимптотами) бесконечно, то и число точек пересечения будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много.

19.17. Найдите корни уравнения:

1) $\cos \frac{3\pi}{x^2} = 0;$

2) $\sin^2 \frac{\pi x}{2} = \frac{1}{2};$

3) $\sin(2x) \cdot \tan x = 0, \text{ при } 90^\circ < x \le 180^\circ.$

1) Дано уравнение $\cos\frac{3\pi}{x^2} = 0$.

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, $\frac{3\pi}{x^2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим обе части на $\pi$ (при условии, что $x \ne 0$):

$\frac{3}{x^2} = \frac{1}{2} + n = \frac{1 + 2n}{2}$.

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{6}{1 + 2n}$.

Поскольку $x^2$ должно быть положительным числом ($x^2 > 0$), то и выражение $\frac{6}{1 + 2n}$ должно быть положительным. Так как числитель 6 положителен, знаменатель также должен быть положителен:

$1 + 2n > 0 \implies 2n > -1 \implies n > -\frac{1}{2}$.

Поскольку $n$ — целое число, это условие означает, что $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$ ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$).

Извлекая квадратный корень, находим $x$:

$x = \pm \sqrt{\frac{6}{1 + 2n}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{6}{1 + 2n}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

2) Дано уравнение $\sin^2\frac{\pi x}{2} = \frac{1}{2}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\sin\frac{\pi x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются углы, для которых синус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это углы вида $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, аргумент синуса равен:

$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{x}{2} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$.

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin(2x) \cdot \operatorname{tg}x = 0$ при условии $90^\circ < x \le 180^\circ$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда $\cos x = 0$. Это происходит при $x = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Заданный интервал $(90^\circ, 180^\circ]$ не содержит точек, где $\cos x = 0$.

Заменим $\sin(2x)$ по формуле двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ и $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$2\sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 0$.

С учетом ОДЗ ($\cos x \neq 0$), мы можем сократить $\cos x$ в числителе и знаменателе:

$2\sin^2 x = 0$.

$\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = 180^\circ k$ (или $x = \pi k$ в радианах), где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, которые принадлежат заданному промежутку $90^\circ < x \le 180^\circ$. Подставим различные целые значения $k$: при $k=0$ получаем $x = 0^\circ$, что не входит в промежуток; при $k=1$ получаем $x = 180^\circ$, что удовлетворяет условию $90^\circ < 180^\circ \le 180^\circ$; при $k=2$ получаем $x = 360^\circ$, что также не входит в промежуток.

Таким образом, единственным корнем уравнения на заданном промежутке является $x=180^\circ$. Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ: $\cos(180^\circ) = -1 \neq 0$. Условие выполнено.

Ответ: $180^\circ$.

19.18. Графическим способом решите уравнение:

1) $ \arccos x = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $;

2) $ \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $;

3) $ 2\arcsin x = \pi + 1 - x $.

1) Для решения уравнения $ \arccos x = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \arccos x $ и $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $.

График функции $ y = \arccos x $ — это кривая, определённая на отрезке $ [-1; 1] $, со значениями в отрезке $ [0; \pi] $. Функция является убывающей. Ключевые точки графика: $ (-1, \pi) $, $ (0, \frac{\pi}{2}) $, $ (1, 0) $.

График функции $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $, так как при $ x=0 $ функция принимает максимальное значение $ y(0) = \frac{\pi}{2} $.

При построении графиков видно, что они пересекаются в одной точке — в вершине параболы. Координаты этой точки $ (0, \frac{\pi}{2}) $. Проверим, принадлежит ли эта точка графику первой функции: $ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $. Так как точка принадлежит обоим графикам, абсцисса этой точки является решением уравнения.

Можно показать, что других решений нет. На интервале $ (-1, 0) $ функция $ y = \arccos x $ убывает, а функция $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ возрастает, следовательно, они не могут пересечься, так как "приближаются" к общей точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На интервале $ (0, 1) $ обе функции убывают. Однако, можно заметить, что $ y = \arccos x $ убывает быстрее, чем парабола, поэтому, выйдя из общей точки, их графики больше не пересекаются. Таким образом, $ x=0 $ — единственный корень.

Ответ: $ x=0 $.

2) Для решения уравнения $ \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $ построим графики функций $ y = \operatorname{arctg} x $ и $ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $.

График функции $ y = \operatorname{arctg} x $ — это арктангенсоида, строго возрастающая функция, определённая для всех $ x \in (-\infty, \infty) $, со значениями в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. График проходит через начало координат $ (0, 0) $ и точку $ (1, \frac{\pi}{4}) $.

График функции $ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом $ k = -\frac{\pi}{4} $, то есть функция является строго убывающей. Прямая пересекает ось OY в точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $ и ось OX в точке $ (2, 0) $.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли очевидные точки пересечения. Подставим $ x=1 $ в оба уравнения:

$ y(1) = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $

$ y(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4} $

Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке $ (1, \frac{\pi}{4}) $.

Поскольку это единственно возможная точка пересечения, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ x=1 $.

3) Для решения уравнения $ 2\arcsin x = \pi + 1 - x $ преобразуем его к виду $ \arcsin x = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $. Построим графики функций $ y = \arcsin x $ и $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $.

График функции $ y = \arcsin x $ — это кривая, определённая на отрезке $ [-1; 1] $, со значениями в отрезке $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $. Функция является строго возрастающей. Ключевые точки: $ (-1, -\frac{\pi}{2}) $, $ (0, 0) $, $ (1, \frac{\pi}{2}) $.

График функции $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом $ k = -\frac{1}{2} $, то есть функция является строго убывающей.

Так как функция $ y = \arcsin x $ строго возрастает, а функция $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $ строго убывает, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим значения функций на концах области определения $ [-1, 1] $.

При $ x = 1 $:

$ y(1) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $

$ y(1) = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $

Значения совпадают. Следовательно, графики пересекаются в точке $ (1, \frac{\pi}{2}) $, и $ x=1 $ является решением уравнения.

Поскольку это единственно возможная точка пересечения, других корней нет.

Ответ: $ x=1 $.

19.19. Найдите число корней уравнения:

1) $3x - 1 = \text{ctg}0.2x;$

2) $x^2 - 4x = \text{tg}0.4x;$

3) $x^2 - 2 = \sin\frac{x}{2};$

4) $1 - x^2 = \cos\frac{x}{2}.$

1) $3x - 1 = \text{ctg}(0,2x)$

Для нахождения числа корней уравнения воспользуемся графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3x - 1$ и $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y_1(x) = 3x - 1$ — это прямая линия, которая возрастает на всей своей области определения.

График функции $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$ — это периодическая функция (котангенсоида). Ее период равен $T = \frac{\pi}{0,2} = 5\pi$. Область определения функции $y_2(x)$ — все действительные числа, кроме тех, где $0,2x = k\pi$, то есть $x \neq 5k\pi$, где $k$ — любое целое число. На каждом из интервалов $(5k\pi, 5(k+1)\pi)$ функция $y_2(x)$ непрерывна и строго убывает, а ее область значений — все действительные числа, от $+\infty$ до $-\infty$.

Рассмотрим один из таких интервалов, например, $(0, 5\pi)$. На этом интервале функция $y_1(x) = 3x - 1$ строго возрастает. Функция $y_2(x) = \text{ctg}(0,2x)$ строго убывает. Поскольку возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза на интервале, на интервале $(0, 5\pi)$ может быть не более одного корня.

Проверим значения на концах интервала:

$\lim_{x \to 0^+} y_2(x) = +\infty$, а $y_1(0) = -1$.

$\lim_{x \to (5\pi)^-} y_2(x) = -\infty$, а $y_1(5\pi) = 15\pi - 1 > 0$.

Так как на интервале $(0, 5\pi)$ непрерывная функция $f(x) = y_1(x) - y_2(x)$ меняет знак (отрицательна вблизи $0$ и положительна вблизи $5\pi$), то на этом интервале существует как минимум один корень. А так как на этом интервале $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то корень ровно один.

Поскольку функция $y_2(x)$ является периодической и имеет бесконечное число таких ветвей (для каждого целого $k$), а прямая $y_1(x)$ уходит в бесконечность в обе стороны, то на каждом из бесконечного числа интервалов $(5k\pi, 5(k+1)\pi)$ будет ровно одна точка пересечения. Следовательно, уравнение имеет бесконечное число корней.

Ответ: бесконечно много.

2) $x^2 - 4x = \text{tg}(0,4x)$

Рассмотрим графики функций $y_1(x) = x^2 - 4x$ и $y_2(x) = \text{tg}(0,4x)$.

График $y_1(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх.

График $y_2(x) = \text{tg}(0,4x)$ — это периодическая функция (тангенсоида). Период $T = \frac{\pi}{0,4} = 2,5\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $0,4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{0,8} + \frac{k\pi}{0,4} = (1,25 + 2,5k)\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На каждом интервале между асимптотами, $I_k = ((1,25 + 2,5k)\pi, (1,25 + 2,5(k+1))\pi)$, функция $y_2(x)$ непрерывна и строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола $y_1(x)$ также является непрерывной функцией.

Рассмотрим разность функций $f(x) = y_1(x) - y_2(x) = x^2 - 4x - \text{tg}(0,4x)$ на любом из этих интервалов $I_k$.

Найдем пределы $f(x)$ на границах интервала $I_k$:

$\lim_{x \to ((1,25 + 2,5k)\pi)^+} f(x) = (x^2 - 4x) - (-\infty) = +\infty$.

$\lim_{x \to ((1,25 + 2,5(k+1))\pi)^-} f(x) = (x^2 - 4x) - (+\infty) = -\infty$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на каждом интервале $I_k$ и принимает на его концах значения разных знаков (условно, от $+\infty$ до $-\infty$), то по теореме о промежуточном значении на каждом таком интервале существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$. Так как количество таких интервалов бесконечно (для всех $k \in \mathbb{Z}$), то и число корней уравнения бесконечно.

Ответ: бесконечно много.

3) $x^2 - 2 = \sin\frac{x}{2}$

Рассмотрим функции $y_1(x) = x^2 - 2$ и $y_2(x) = \sin\frac{x}{2}$.

Область значений функции синуса $y_2(x)$ — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, корни уравнения могут существовать только для тех $x$, для которых значения функции $y_1(x)$ также принадлежат этому отрезку.

$-1 \le x^2 - 2 \le 1$

Решим эту двойную систему неравенств:

1) $x^2 - 2 \ge -1 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2) $x^2 - 2 \le 1 \implies x^2 \le 3 \implies |x| \le \sqrt{3}$, то есть $x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств дает нам $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$. Таким образом, корни могут существовать только в этих двух интервалах.

Рассмотрим интервал $[1, \sqrt{3}]$. Пусть $f(x) = x^2 - 2 - \sin\frac{x}{2}$.

$f(1) = 1^2 - 2 - \sin(0,5) = -1 - \sin(0,5)$. Поскольку $0,5$ радиан находится в первой четверти, $\sin(0,5) > 0$, значит $f(1) < 0$.

$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 - 2 - \sin\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sin\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ радиан (меньше $\pi/2$), то $0 < \sin\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, значит $f(\sqrt{3}) > 0$.

Так как $f(x)$ непрерывна и меняет знак на концах отрезка $[1, \sqrt{3}]$, на нем есть хотя бы один корень. Найдем производную: $f'(x) = 2x - \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$. На отрезке $[1, \sqrt{3}]$, $2x \ge 2$, а $\frac{x}{2} \in [0,5, \sqrt{3}/2]$, то есть в первой четверти, где косинус положителен и меньше 1. Тогда $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} < 0,5$. Значит, $f'(x) > 2 - 0,5 = 1,5 > 0$. Функция $f(x)$ строго возрастает, следовательно, корень на этом отрезке ровно один.

Рассмотрим интервал $[-\sqrt{3}, -1]$.

$f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^2 - 2 - \sin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \sin\frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.

$f(-1) = (-1)^2 - 2 - \sin(-\frac{1}{2}) = -1 + \sin(0,5) < 0$.

$f(x)$ непрерывна и меняет знак, значит, есть корень. Производная $f'(x) = 2x - \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$. На отрезке $[-\sqrt{3}, -1]$, $2x \le -2$. Косинус — четная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos\frac{x}{2} > 0$. Тогда $f'(x) = 2x - (\text{положительное число}) < -2 < 0$. Функция строго убывает, следовательно, корень на этом отрезке тоже ровно один.

Итого, мы имеем два корня.

Ответ: 2.

4) $1 - x^2 = \cos\frac{x}{2}$

Рассмотрим функции $y_1(x) = 1 - x^2$ и $y_2(x) = \cos\frac{x}{2}$.

Область значений функции $y_2(x)$ — отрезок $[-1, 1]$. Корни могут существовать только при условии $-1 \le 1 - x^2 \le 1$.

1) $1 - x^2 \le 1 \implies -x^2 \le 0 \implies x^2 \ge 0$, что верно для всех $x$.

2) $1 - x^2 \ge -1 \implies 2 \ge x^2 \implies |x| \le \sqrt{2}$.

Таким образом, корни могут лежать только на отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Заметим, что обе функции, $y_1(x) = 1 - x^2$ и $y_2(x) = \cos\frac{x}{2}$, являются четными. Это означает, что их графики симметричны относительно оси OY. Если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ тоже является корнем.

Проверим $x=0$: $y_1(0) = 1 - 0^2 = 1$, $y_2(0) = \cos(0) = 1$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.

Рассмотрим интервал $(0, \sqrt{2}]$. В точке $x=0$ графики не просто пересекаются, а касаются, так как $y_1(0) = y_2(0) = 1$ является максимальным значением для обеих функций на всей числовой оси.

Рассмотрим разность функций $f(x) = 1 - x^2 - \cos\frac{x}{2}$. Мы знаем, что $f(0)=0$.

Найдем производную: $f'(x) = -2x + \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Для $x > 0$ известно неравенство $\sin u < u$. Применим его для $u = x/2$: $\sin\frac{x}{2} < \frac{x}{2}$.

Тогда $f'(x) = -2x + \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} < -2x + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right) = -2x + \frac{x}{4} = -\frac{7x}{4}$.

На интервале $(0, \sqrt{2}]$, $x>0$, поэтому $f'(x) < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[0, \sqrt{2}]$.

Поскольку $f(0)=0$ и функция $f(x)$ убывает при $x>0$, то для всех $x \in (0, \sqrt{2}]$ будет выполняться $f(x) < 0$. Значит, на этом интервале других корней нет.

В силу четности функций, на интервале $[-\sqrt{2}, 0)$ также нет корней.

Единственным корнем уравнения является $x=0$.

Ответ: 1.