Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

19.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{1}{\sin x - \frac{1}{2}};$

2) $y = \sqrt{9x - 14 - x^2} + \frac{1}{\sin x}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{1}{\sin x - \frac{1}{2}}$ находится из системы условий:

$$\begin{cases}6x - x^2 \ge 0, \\\sin x - \frac{1}{2} \ne 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство: $6x - x^2 \ge 0$.

$x(6 - x) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(6 - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $f(x) = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Решением неравенства является промежуток $x \in [0, 6]$.

2. Решим второе условие: $\sin x - \frac{1}{2} \ne 0$, то есть $\sin x \ne \frac{1}{2}$.

Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решения $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения $x$ нужно исключить из области определения.

3. Найдем, какие из исключаемых точек принадлежат отрезку $[0, 6]$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

- при $k=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0,52$. Так как $0 \le \frac{\pi}{6} \le 6$, это значение исключается.

- при $k=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \approx 2,62$. Так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le 6$, это значение исключается.

- при $k=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6,8$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, 6]$.

Другие целые значения $k$ также дадут корни за пределами отрезка $[0, 6]$.

Таким образом, из отрезка $[0, 6]$ необходимо исключить точки $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x \in [0; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}; 6]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{9x - 14 - x^2} + \frac{1}{\sin x}$ находится из системы условий:

$$\begin{cases}9x - 14 - x^2 \ge 0, \\\sin x \ne 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство: $9x - 14 - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 9x + 14 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 9x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Решением неравенства является промежуток $x \in [2, 7]$.

2. Решим второе условие: $\sin x \ne 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения $x$ нужно исключить из области определения.

3. Найдем, какие из исключаемых точек принадлежат отрезку $[2, 7]$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

- при $k=1$: $x = \pi \approx 3,14$. Так как $2 \le \pi \le 7$, это значение исключается.

- при $k=2$: $x = 2\pi \approx 6,28$. Так как $2 \le 2\pi \le 7$, это значение исключается.

- при $k=3$: $x = 3\pi \approx 9,42$. Это значение не принадлежит отрезку $[2, 7]$.

При $k \le 0$ значения $x$ также не принадлежат отрезку $[2, 7]$.

Таким образом, из отрезка $[2, 7]$ необходимо исключить точки $\pi$ и $2\pi$.

Ответ: $x \in [2; \pi) \cup (\pi; 2\pi) \cup (2\pi; 7]$.

19.21. Постройте график функции:

1) $y = \cos \left(\frac{\pi}{3} + x\right) + 2$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 2$;

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$;

4) $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$.

1) $y = \cos(\frac{\pi}{3} + x) + 2$

Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида, проходящая через точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$. Период функции равен $2\pi$.

2. Построим график функции $y_2 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \cos(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево. Например, точка $(0, 1)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ - в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$, точка $(\pi, -1)$ - в точку $(\pi - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{2\pi}{3}, -1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$. Этот график получается из графика $y_2 = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх. Все точки графика смещаются на 2 единицы вверх. Новая ось колебаний - прямая $y=2$. Область значений функции будет $[1, 3]$. Например, точка $(-\frac{\pi}{3}, 1)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{3}, 3)$, точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$ - в точку $(\frac{\pi}{6}, 2)$, точка $(\frac{2\pi}{3}, -1)$ - в точку $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \cos(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

2) $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$

Для построения графика функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида, проходящая через точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$. Период функции равен $2\pi$.

2. Построим график функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \sin(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ - в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{5\pi}{6}, 1)$, точка $(\pi, 0)$ - в точку $(\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

3. Построим искомый график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$. Этот график получается из графика $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вниз. Все точки графика смещаются на 2 единицы вниз. Новая ось колебаний - прямая $y=-2$. Область значений функции будет $[-3, -1]$. Например, точка $(\frac{\pi}{3}, 0)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{3}, -2)$, точка $(\frac{5\pi}{6}, 1)$ - в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$, точка $(\frac{4\pi}{3}, 0)$ - в точку $(\frac{4\pi}{3}, -2)$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3}) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

3) $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$

Для построения графика функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{tg}(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \text{tg}(x)$. Это тангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построим график функции $y_2 = \text{tg}\frac{x}{3}$. Этот график получается из графика $y_1 = \text{tg}(x)$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (Ox) в 3 раза. Период функции увеличится в 3 раза и станет равен $T' = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся соответственно: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$. Точка $(0,0)$ останется на месте, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$. Этот график получается из графика $y_2 = \text{tg}\frac{x}{3}$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Точка $(0, 0)$ перейдет в $(0, 3)$, точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 4)$. Асимптоты $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$ останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\frac{x}{3} + 3$ получается из графика $y = \text{tg}(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх по оси Oy.

4) $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$

Для построения графика функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3} + 3$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \text{ctg}(x)$. Это котангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Построим график функции $y_2 = \text{ctg}\frac{x}{3}$. Этот график получается из графика $y_1 = \text{ctg}(x)$ путем растяжения вдоль оси абсцисс (Ox) в 3 раза. Период функции увеличится в 3 раза и станет равен $T' = 3\pi$. Вертикальные асимптоты сместятся соответственно: $\frac{x}{3} = \pi n \implies x = 3\pi n$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 1)$.

3. Построим искомый график функции $y = \text{ctg}\frac{x}{3} + 3$. Этот график получается из графика $y_2 = \text{ctg}\frac{x}{3}$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ перейдет в $(\frac{3\pi}{2}, 3)$, точка $(\frac{3\pi}{4}, 1)$ - в $(\frac{3\pi}{4}, 4)$. Асимптоты $x = 3\pi n$ останутся без изменений.

Ответ: График функции $y = 3 + \text{ctg}\frac{x}{3}$ получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх по оси Oy.

19.22. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

1) $y = 2\sin(x + \pi)$ и прямой $y = -0.5$;

2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$ и прямой $y = \sqrt{3}$.

1) Чтобы найти абсциссы точек пересечения, необходимо приравнять правые части уравнений функций:

$2\sin(x + \pi) = -0,5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(x + \pi) = -\frac{0,5}{2}$

$\sin(x + \pi) = -0,25$

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.

$-\sin(x) = -0,25$

Умножим обе части на -1:

$\sin(x) = 0,25$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого записывается в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(0,25) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin(0,25) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Аналогично первому пункту, приравняем правые части уравнений:

$2\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$. В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса равно $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$. Подставим его в уравнение:

$x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Это дает две серии решений. Рассмотрим каждую из них.

Первая серия (со знаком «+»):

$x_1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Вторая серия (со знаком «–»):

$x_2 = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.