Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему решением уравнения $arccos(x^2 - 1) = arccos(x - x^2)$ являются числа -0,5 и 1?

Для объяснения, почему числа $-0,5$ и $1$ являются решениями уравнения $arccos(x^2 - 1) = arccos(x - x^2)$, необходимо выполнить два основных действия: решить уравнение, которое получается из равенства аргументов, и затем проверить, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Функция $y = \arccos(t)$ является монотонной на всей своей области определения. Это означает, что если $\arccos(a) = \arccos(b)$, то это возможно только при условии, что $a = b$. Применяя это свойство к данному уравнению, получаем:

$x^2 - 1 = x - x^2$

Это алгебраическое уравнение, которое мы можем решить. Перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 - 1 - x + x^2 = 0$

$2x^2 - x - 1 = 0$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Теперь находим корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$

Таким образом, мы выяснили, что только числа $1$ и $-0,5$ могут быть решениями.

Шаг 3: Проверка корней по Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Аргумент функции $arccos$ должен лежать в диапазоне от $-1$ до $1$. Это значит, что для корней исходного уравнения должны выполняться оба условия:

$\begin{cases} -1 \le x^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le x - x^2 \le 1 \end{cases}$

Проверим, подходят ли наши найденные корни под эти условия.

Проверка для $x = 1$:

Подставляем $x=1$ в систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le 1^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le 1 - 1^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le 0 \le 1 \\ -1 \le 0 \le 1 \end{cases}$

Оба неравенства верны. Следовательно, $x = 1$ является решением.

Проверка для $x = -0,5$:

Подставляем $x=-0,5$ в систему неравенств:

$\begin{cases} -1 \le (-0,5)^2 - 1 \le 1 \\ -1 \le (-0,5) - (-0,5)^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le 0,25 - 1 \le 1 \\ -1 \le -0,5 - 0,25 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le -0,75 \le 1 \\ -1 \le -0,75 \le 1 \end{cases}$

Оба неравенства также верны. Следовательно, $x = -0,5$ тоже является решением.

Ответ: Числа $-0,5$ и $1$ являются решениями, так как они, во-первых, единственные числа, которые удовлетворяют равенству аргументов $x^2 - 1 = x - x^2$, и, во-вторых, оба этих числа удовлетворяют области допустимых значений функции арккосинус, то есть при их подстановке выражения $x^2 - 1$ и $x - x^2$ принимают значения в отрезке $[-1, 1]$.

ОБЪЯСНИТЕ

Используя формулы $tgactga = 1$, $sin^2\alpha = \frac{1}{ctg^2\alpha + 1}$, $cos^2\alpha = \frac{1}{tg^2\alpha + 1}$, $sin^2\alpha = \frac{tg^2\alpha}{tg^2\alpha + 1}$, $cos^2\alpha = \frac{ctg^2\alpha}{ctg^2\alpha + 1}$, как получили, соответственно, следующие равносильные уравнения:

$arctg f(x) = arcctgg(x) \iff f(x) g(x) = 1$;

$arcsin f(x) = arcctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1}$;

$arctg f(x) = arccos g(x) \iff \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x)$;

$arcsin f(x) = arctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1}$;

$arccos f(x) = arcctg g(x) \iff f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} ?$

Все представленные равносильные уравнения получаются путем введения общего угла $ \alpha $ для левой и правой частей исходного равенства и последующего использования указанных тригонометрических тождеств. Общий принцип следующий:

1. Вводится угол $ \alpha $, равный значению аркфункций: например, $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $.

2. Из этого равенства выражаются $ f(x) $ и $ g(x) $ через тригонометрические функции угла $ \alpha $: например, $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha $, $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha $.

3. Эти выражения подставляются в одно из предложенных в условии тригонометрических тождеств, что и доказывает равносильность.

Рассмотрим каждое уравнение подробно.

$ \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f(x)g(x) = 1 $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Исходя из определения арктангенса и арккотангенса, получаем: $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha $ Теперь воспользуемся исходной формулой $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $. Подставим в нее полученные выражения для $ f(x) $ и $ g(x) $: $ f(x) \cdot g(x) = 1 $ Стоит отметить, что равенство $ \operatorname{arctg} z = \operatorname{arcctg} w $ возможно только для $ \alpha \in (0, \pi/2) $, так как область значений арктангенса $ (-\pi/2, \pi/2) $, а арккотангенса $ (0, \pi) $. В этом интервале $ \operatorname{tg} \alpha > 0 $ и $ \operatorname{ctg} \alpha > 0 $, так что $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $.

Ответ: $ f(x) g(x) = 1 $

$ \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Из определения арксинуса и арккотангенса следует: $ f(x) = \sin \alpha \implies f^2(x) = \sin^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{ctg}^2 \alpha $ Используем тригонометрическое тождество из условия: $ \sin^2 \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1} $. Подставляем в него выражения для $ f^2(x) $ и $ g^2(x) $: $ f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{1}{g^2(x) + 1} $

$ \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arccos} g(x) \Leftrightarrow \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arccos} g(x) $. Из определений арктангенса и арккосинуса имеем: $ f(x) = \operatorname{tg} \alpha \implies f^2(x) = \operatorname{tg}^2 \alpha $ $ g(x) = \cos \alpha \implies g^2(x) = \cos^2 \alpha $ Возьмем тождество из условия: $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1} $. Подставив наши выражения, получим: $ g^2(x) = \frac{1}{f^2(x) + 1} $

Ответ: $ \frac{1}{f^2(x) + 1} = g^2(x) $

$ \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcsin} f(x) = \operatorname{arctg} g(x) $. Тогда: $ f(x) = \sin \alpha \implies f^2(x) = \sin^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{tg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{tg}^2 \alpha $ Используем формулу из условия: $ \sin^2 \alpha = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{\operatorname{tg}^2 \alpha + 1} $. Производим замену: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

$ \operatorname{arccos} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) \Leftrightarrow f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arccos} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x) $. Тогда: $ f(x) = \cos \alpha \implies f^2(x) = \cos^2 \alpha $ $ g(x) = \operatorname{ctg} \alpha \implies g^2(x) = \operatorname{ctg}^2 \alpha $ Используем соответствующее тождество из условия: $ \cos^2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1} $. Подставляем выражения для $ f^2(x) $ и $ g^2(x) $: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

Ответ: $ f^2(x) = \frac{g^2(x)}{g^2(x) + 1} $

2. Заполните таблицу 53, задающую закон распределения случайной величины X.

Таблица 53

X 20 25 30 35 40

P 0,15 0,25 0,25 A 0,15

Значение A равно:

A) 0,25;

B) 0,2;

C) 0,15;

D) 0,1.

Значение А равно:

Таблица задает закон распределения дискретной случайной величины X. Согласно основному свойству распределения вероятностей, сумма всех вероятностей $P$ для всех возможных значений случайной величины $X$ должна быть равна единице.

Это свойство можно выразить формулой: $\sum p_i = 1$.

Используя данные из таблицы, составим уравнение:

$P(X=20) + P(X=25) + P(X=30) + P(X=35) + P(X=40) = 1$

$0,15 + 0,25 + 0,25 + A + 0,15 = 1$

Сначала сложим все известные вероятности:

$0,15 + 0,25 + 0,25 + 0,15 = 0,80$

Теперь подставим полученную сумму в наше уравнение:

$0,80 + A = 1$

Чтобы найти значение A, вычтем 0,80 из 1:

$A = 1 - 0,80$

$A = 0,2$

Таким образом, значение A равно 0,2. Это соответствует варианту ответа B).

Ответ: B) 0,2.

3. В корзине находятся 5 синих шаров и 3 красных. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления синего шара. Найдите вероятность появления синего шара при третьем вынимании шара из корзины:

A) $\frac{5}{64}$;

B) $\frac{5}{56}$;

C) $\frac{2}{37}$;

D) $\frac{3}{35}$.

В корзине изначально находится 5 синих и 3 красных шара, всего $5+3=8$ шаров. Мы ищем вероятность того, что первый синий шар будет вынут третьим по счету. Это означает, что первые два вынутых шара должны быть красными, а третий — синим. Поскольку шары вынимаются без возвращения, вероятности на каждом шаге зависят от результатов предыдущих шагов.

Вероятность того, что первый вынутый шар будет красным, равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров:$P_1(\text{красный}) = \frac{3}{8}$

После того как вынут один красный шар, в корзине останется 7 шаров: 5 синих и 2 красных. Вероятность того, что второй вынутый шар также будет красным, равна:$P_2(\text{красный}) = \frac{2}{7}$

После того как вынуты два красных шара, в корзине останется 6 шаров: 5 синих и 1 красный. Вероятность того, что третий вынутый шар будет синим, равна:$P_3(\text{синий}) = \frac{5}{6}$

Общая вероятность того, что произойдет вся эта последовательность событий (Красный, Красный, Синий), вычисляется как произведение вероятностей каждого из этих шагов:$P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{6}$Выполним умножение:$P = \frac{3 \times 2 \times 5}{8 \times 7 \times 6} = \frac{30}{336}$Теперь сократим полученную дробь. Можно заметить, что $3 \times 2 = 6$, и сократить шестерки в числителе и знаменателе:$P = \frac{5}{8 \times 7} = \frac{5}{56}$Ответ: $\frac{5}{56}$

4. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,6. Составьте закон распределения числа попаданий. Найдите наибольшее значение вероятности попаданий:

A) 0,216;

B) 0,26;

C) 0,3;

D) 0,31.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу попаданий в мишень при трех выстрелах. Это серия из $n=3$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0.6$. Вероятность неудачи (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Данная ситуация описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Составьте закон распределения числа попаданий.

Для этого вычислим вероятности для всех возможных значений числа попаданий $k \in \{0, 1, 2, 3\}$.

- Вероятность не попасть ни разу ($k=0$):

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064$.

- Вероятность попасть ровно один раз ($k=1$):

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 0.288$.

- Вероятность попасть ровно два раза ($k=2$):

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 0.432$.

- Вероятность попасть все три раза ($k=3$):

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216$.

Законом распределения является набор этих вероятностей для каждого значения случайной величины.

Найдите наибольшее значение вероятности попаданий:

Сравниваем полученные вероятности: $0.064$, $0.288$, $0.432$, $0.216$.

Наибольшее из этих значений — $0.432$. Оно соответствует наиболее вероятному исходу — двум попаданиям.

Среди предложенных вариантов (А) 0,216; B) 0,26; C) 0,3; D) 0,31) нет правильного. Вариант А) 0.216 является вероятностью трех попаданий, но не наибольшей. Таким образом, в предложенных вариантах ответа, скорее всего, содержится ошибка.

Ответ: 0.432

5. Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения (табл. 54):

Таблица 54

X 2 3 4

P 0,2 0,4 0,4

Найдите математическое ожидание величины $X$:

A) 3,0; B) 3,1; C) 2,8; D) 3,2.

Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины X представляет собой средневзвешенное значение всех ее возможных значений, где в качестве весов выступают вероятности этих значений. Оно вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Согласно таблице распределения, имеем следующие значения и вероятности:

Значение $x_1 = 2$ с вероятностью $p_1 = 0,2$;

Значение $x_2 = 3$ с вероятностью $p_2 = 0,4$;

Значение $x_3 = 4$ с вероятностью $p_3 = 0,4$.

Для корректности ряда распределения сумма всех вероятностей должна быть равна 1:

$0,2 + 0,4 + 0,4 = 1,0$

Условие выполняется. Теперь подставим данные в формулу для расчета математического ожидания:

$M(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3$

$M(X) = 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,4$

Выполним последовательно арифметические действия:

$M(X) = 0,4 + 1,2 + 1,6$

$M(X) = 3,2$

Таким образом, математическое ожидание данной случайной величины равно 3,2. Это соответствует варианту D).

Ответ: D) 3,2.

6. Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения (табл. 55):

Таблица 55

Найдите дисперсию величины $X$:

A) 0,56; B) 0,64; C) 0,66; D) 0,58.

Дисперсия $D(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

где $M(X)$ – математическое ожидание (среднее значение) величины $X$, а $M(X^2)$ – математическое ожидание квадрата величины $X$.

Шаг 1: Вычисление математического ожидания $M(X)$

Математическое ожидание находится как сумма произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

$M(X) = \sum x_i p_i = 2 \cdot 0,4 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,2 = 0,8 + 1,2 + 0,8 = 2,8$.

Шаг 2: Вычисление математического ожидания квадрата случайной величины $M(X^2)$

Аналогично, находим $M(X^2)$ как сумму произведений квадратов значений случайной величины на их вероятности:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 2^2 \cdot 0,4 + 3^2 \cdot 0,4 + 4^2 \cdot 0,2 = 4 \cdot 0,4 + 9 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 = 1,6 + 3,6 + 3,2 = 8,4$.

Шаг 3: Вычисление дисперсии $D(X)$

Теперь подставляем найденные значения в формулу для дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 8,4 - (2,8)^2 = 8,4 - 7,84 = 0,56$.

Найденное значение дисперсии соответствует варианту ответа А.

Ответ: A) 0,56

7. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения вероятностей (табл. 56, 57):

Таблица 56

X: 2, 3

P: 0,6, 0,4

Таблица 57

Y: 2, 4

P: 0,6, 0,4

Найдите математическое ожидание случайной величины $Z = 3X + 4Y$:

A) 18,2; B) 18,4; C) 19,4; D) 20,4.

Для нахождения математического ожидания случайной величины $Z = 3X + 4Y$ воспользуемся свойством линейности математического ожидания. Согласно этому свойству, математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно линейной комбинации их математических ожиданий:

$M(Z) = M(3X + 4Y) = 3M(X) + 4M(Y)$

Сначала необходимо вычислить математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$ по отдельности, используя их законы распределения, представленные в таблицах.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M = \sum x_i p_i$, где $x_i$ — возможные значения величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Найдем математическое ожидание для случайной величины $X$ по данным из Таблицы 56:

$M(X) = 2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,2 = 2,4$

Далее найдем математическое ожидание для случайной величины $Y$ по данным из Таблицы 57:

$M(Y) = 2 \cdot 0,6 + 4 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,6 = 2,8$

Наконец, подставим вычисленные значения $M(X)$ и $M(Y)$ в формулу для $M(Z)$:

$M(Z) = 3 \cdot M(X) + 4 \cdot M(Y) = 3 \cdot 2,4 + 4 \cdot 2,8$

$M(Z) = 7,2 + 11,2 = 18,4$

Таким образом, искомое математическое ожидание равно 18,4, что соответствует варианту B).

Ответ: 18,4