Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.18. Вычислите значение выражения:

1) $\sin\left(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{1}{5}\right);$

2) $\cos\left(\arcsin\frac{1}{4} - \arccos\frac{1}{5}\right);$

3) $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}2 + \operatorname{arctg}4);$

4) $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}4 + \operatorname{arcctg}5).$

1) Для вычисления значения выражения $sin(arcsin\frac{1}{3} + arccos\frac{1}{5})$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$.

Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = arccos\frac{1}{5}$.

По определению арксинуса и арккосинуса:

$sin\alpha = sin(arcsin\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

$cos\beta = cos(arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, зная, что $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, на котором косинус неотрицателен, получаем:

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Аналогично, зная, что $\beta = arccos\frac{1}{5}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, на котором синус неотрицателен, получаем:

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Подставляем все значения в формулу синуса суммы:

$sin(arcsin\frac{1}{3} + arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{15} + \frac{4\sqrt{12}}{15} = \frac{1 + 4 \cdot 2\sqrt{3}}{15} = \frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$.

Ответ: $\frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$.

2) Для вычисления значения выражения $cos(arcsin\frac{1}{4} - arccos\frac{1}{5})$ воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{4}$ и $\beta = arccos\frac{1}{5}$.

По определению:

$sin\alpha = sin(arcsin\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$

$cos\beta = cos(arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Угол $\alpha = arcsin\frac{1}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, где $cos\alpha \ge 0$.

$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Угол $\beta = arccos\frac{1}{5}$ находится в промежутке $[0; \pi]$, где $sin\beta \ge 0$.

$sin\beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Подставляем значения в формулу косинуса разности:

$cos(arcsin\frac{1}{4} - arccos\frac{1}{5}) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{20} + \frac{2\sqrt{6}}{20} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{6}}{20}$.

3) Для вычисления значения выражения $tg(arctg2 + arctg4)$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

Пусть $\alpha = arctg2$ и $\beta = arctg4$.

По определению арктангенса:

$tg\alpha = tg(arctg2) = 2$

$tg\beta = tg(arctg4) = 4$

Подставляем значения в формулу:

$tg(arctg2 + arctg4) = \frac{2 + 4}{1 - 2 \cdot 4} = \frac{6}{1 - 8} = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$.

Ответ: $-\frac{6}{7}$.

4) Для вычисления значения выражения $ctg(arcctg4 + arcctg5)$ воспользуемся формулой котангенса суммы: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1}{ctg\beta + ctg\alpha}$.

Пусть $\alpha = arcctg4$ и $\beta = arcctg5$.

По определению арккотангенса:

$ctg\alpha = ctg(arcctg4) = 4$

$ctg\beta = ctg(arcctg5) = 5$

Подставляем значения в формулу:

$ctg(arcctg4 + arcctg5) = \frac{4 \cdot 5 - 1}{5 + 4} = \frac{20 - 1}{9} = \frac{19}{9}$.

Ответ: $\frac{19}{9}$.

17.19. Вычислите:

1) $tg(2arccos \frac{12}{13});$

2) $tg(arcsin \frac{4}{5} + \frac{3\pi}{2});$

3) $sin(2.5\pi + arctg \frac{3}{4}).$

1) Обозначим $α = \arccos\frac{12}{13}$. По определению арккосинуса, $\cos(α) = \frac{12}{13}$ и $0 \le α \le π$. Так как $\frac{12}{13} > 0$, то угол $α$ находится в первой четверти, то есть $0 \le α \le \frac{π}{2}$.

Нам необходимо вычислить $\text{tg}(2α)$. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2α) = \frac{2\text{tg}(α)}{1 - \text{tg}^2(α)} $

Для этого сначала найдем $\text{tg}(α)$. Из основного тригонометрического тождества $\text{sin}^2(α) + \text{cos}^2(α) = 1$ найдем $\text{sin}(α)$: $ \text{sin}^2(α) = 1 - \text{cos}^2(α) = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Поскольку $0 \le α \le \frac{π}{2}$, $\text{sin}(α)$ неотрицателен, поэтому $\text{sin}(α) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$. Теперь можем найти $\text{tg}(α)$: $ \text{tg}(α) = \frac{\text{sin}(α)}{\text{cos}(α)} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $

Подставим найденное значение $\text{tg}(α)$ в формулу для тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2α) = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144 - 25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119} $

Ответ: $ \frac{120}{119} $.

2) Обозначим $β = \arcsin\frac{4}{5}$. По определению арксинуса, $\text{sin}(β) = \frac{4}{5}$ и $-\frac{π}{2} \le β \le \frac{π}{2}$. Так как $\frac{4}{5} > 0$, то угол $β$ находится в первой четверти: $0 \le β \le \frac{π}{2}$.

Нам нужно вычислить $\text{tg}(\arcsin\frac{4}{5} + \frac{3π}{2}) = \text{tg}(β + \frac{3π}{2})$. Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(x + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(x)$. Следовательно, $\text{tg}(β + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(β)$.

Найдем $\text{ctg}(β)$. Мы знаем, что $\text{ctg}(β) = \frac{\text{cos}(β)}{\text{sin}(β)}$. Найдем $\text{cos}(β)$ из основного тригонометрического тождества: $ \text{cos}^2(β) = 1 - \text{sin}^2(β) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $

Поскольку $0 \le β \le \frac{π}{2}$, $\text{cos}(β)$ неотрицателен, поэтому $\text{cos}(β) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Теперь найдем $\text{ctg}(β)$: $ \text{ctg}(β) = \frac{\text{cos}(β)}{\text{sin}(β)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $

Таким образом, искомое значение равно: $ \text{tg}(β + \frac{3π}{2}) = -\text{ctg}(β) = -\frac{3}{4} $

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.

3) Обозначим $γ = \text{arctg}\frac{3}{4}$. По определению арктангенса, $\text{tg}(γ) = \frac{3}{4}$ и $-\frac{π}{2} < γ < \frac{π}{2}$. Так как $\frac{3}{4} > 0$, то угол $γ$ находится в первой четверти: $0 < γ < \frac{π}{2}$.

Нам нужно вычислить $\text{sin}(2,5π + \text{arctg}\frac{3}{4}) = \text{sin}(2,5π + γ)$. Преобразуем аргумент синуса: $2,5π = 2π + 0,5π = 2π + \frac{π}{2}$. $ \text{sin}(2,5π + γ) = \text{sin}(2π + \frac{π}{2} + γ) $

Используя периодичность синуса ($\text{sin}(x + 2π) = \text{sin}(x)$), получаем: $ \text{sin}(2π + \frac{π}{2} + γ) = \text{sin}(\frac{π}{2} + γ) $

Теперь воспользуемся формулой приведения $\text{sin}(\frac{π}{2} + x) = \text{cos}(x)$. Таким образом, $\text{sin}(\frac{π}{2} + γ) = \text{cos}(γ)$.

Найдем $\text{cos}(γ)$, зная, что $\text{tg}(γ) = \frac{3}{4}$. Используем тождество $1 + \text{tg}^2(γ) = \frac{1}{\text{cos}^2(γ)}$: $ \text{cos}^2(γ) = \frac{1}{1 + \text{tg}^2(γ)} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25} $

Поскольку $0 < γ < \frac{π}{2}$, $\text{cos}(γ)$ положителен, поэтому $\text{cos}(γ) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. Следовательно, искомое значение равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

17.20. Найдите область определения функции:

1) $arccos(x + 2) - arcsin(2x);$

2) $arccos(2x - 1) - arcsin(3x + 1);$

3) $arctg(x + 2) - arcsin(3x);$

4) $arcctg(2x - 1) - arctg(-3x).$

1) Область определения функции $y = \operatorname{arccos}(x + 2) - \arcsin(2x)$ находится как пересечение областей определения каждого из слагаемых: $y_1 = \operatorname{arccos}(x+2)$ и $y_2 = \arcsin(2x)$.

Область определения функций арккосинус и арксинус есть отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, аргументы этих функций должны принадлежать этому отрезку.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} -1 \le x+2 \le 1 \\ -1 \le 2x \le 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $-1 \le x+2 \le 1 \implies -1-2 \le x \le 1-2 \implies -3 \le x \le -1$. Решение: $x \in [-3, -1]$.

2) $-1 \le 2x \le 1 \implies -1/2 \le x \le 1/2$. Решение: $x \in [-0.5, 0.5]$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[-3, -1] \cap [-0.5, 0.5]$.

Эти два отрезка не имеют общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

2) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arccos}(2x - 1) - \arcsin(3x + 1)$.

Она определяется системой неравенств, исходя из областей определения арккосинуса и арксинуса:

$\begin{cases} -1 \le 2x-1 \le 1 \\ -1 \le 3x+1 \le 1 \end{cases}$

Решим эту систему:

1) $-1 \le 2x-1 \le 1 \implies -1+1 \le 2x \le 1+1 \implies 0 \le 2x \le 2 \implies 0 \le x \le 1$. Решение: $x \in [0, 1]$.

2) $-1 \le 3x+1 \le 1 \implies -1-1 \le 3x \le 1-1 \implies -2 \le 3x \le 0 \implies -2/3 \le x \le 0$. Решение: $x \in [-2/3, 0]$.

Найдем пересечение решений: $[0, 1] \cap [-2/3, 0]$.

Единственной общей точкой этих двух отрезков является число 0.

Ответ: $\{0\}$

3) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arctg}(x + 2) - \arcsin(3x)$.

Функция состоит из двух слагаемых: $y_1 = \operatorname{arctg}(x + 2)$ и $y_2 = \arcsin(3x)$.

1) Область определения арктангенса - все действительные числа. Поэтому выражение $\operatorname{arctg}(x + 2)$ определено для любого $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения арксинуса - отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться условие:

$-1 \le 3x \le 1$

$-1/3 \le x \le 1/3$. Решение: $x \in [-1/3, 1/3]$.

Область определения исходной функции - это пересечение областей определения ее слагаемых: $\mathbb{R} \cap [-1/3, 1/3]$.

Пересечением является отрезок $[-1/3, 1/3]$.

Ответ: $[-1/3, 1/3]$

4) Найдем область определения функции $y = \operatorname{arcctg}(2x - 1) - \operatorname{arctg}(-3x)$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1) Область определения функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg}(u)$ - все действительные числа, $u \in \mathbb{R}$. Выражение $2x-1$ может принимать любые действительные значения, поэтому $\operatorname{arcctg}(2x - 1)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

2) Область определения функции арктангенс $y = \operatorname{arctg}(v)$ - также все действительные числа, $v \in \mathbb{R}$. Выражение $-3x$ может принимать любые действительные значения, поэтому $\operatorname{arctg}(-3x)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку оба слагаемых определены для любого действительного числа $x$, область определения всей функции является пересечением множеств всех действительных чисел, то есть само множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

17.21. Найдите значение выражения:

1) $\text{sin}(\text{arctg}\frac{1}{3}+\text{arctg}\frac{1}{4})$;

2) $\text{cos}(\text{arctg}2 - \text{arccos}\frac{1}{5})$;

3) $\text{tg}(\text{arcsin}0,2 + \text{arctg}4)$;

4) $\text{ctg}(\text{arccos}0,4 - \text{arcctg}5)$.

1) Для нахождения значения выражения $sin(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4})$ воспользуемся подходом через тангенс суммы. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}$ и $\beta = \operatorname{arctg}\frac{1}{4}$. Тогда $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{3}$ и $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{4}$. Найдем тангенс суммы этих углов по формуле $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4+3}{12}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}$.Пусть $\gamma = \alpha + \beta$. Тогда $\operatorname{tg}\gamma = \frac{7}{11}$, и нам нужно найти $sin(\gamma)$.Так как $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$, то $\gamma \in (0, \pi)$. Поскольку $\operatorname{tg}\gamma > 0$, угол $\gamma$ находится в первой четверти.Зная тангенс, найдем синус по формуле $sin\gamma = \frac{\operatorname{tg}\gamma}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\gamma}}$ (знак плюс, так как $\gamma$ в первой четверти).$sin(\gamma) = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{1 + (\frac{7}{11})^2}} = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{1 + \frac{49}{121}}} = \frac{\frac{7}{11}}{\sqrt{\frac{121+49}{121}}} = \frac{\frac{7}{11}}{\frac{\sqrt{170}}{11}} = \frac{7}{\sqrt{170}} = \frac{7\sqrt{170}}{170}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{170}}{170}$.

2) Найдем значение выражения $cos(\operatorname{arctg}2 - \arccos\frac{1}{5})$.Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}2$ и $\beta = \arccos\frac{1}{5}$.Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.Из $\alpha = \operatorname{arctg}2$ следует, что $\operatorname{tg}\alpha = 2$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.Найдем $cos\alpha$ и $sin\alpha$:$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.$sin\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{2}{\sqrt{1+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.Из $\beta = \arccos\frac{1}{5}$ следует, что $cos\beta = \frac{1}{5}$ и угол $\beta$ находится в первой четверти $[0, \frac{\pi}{2}]$.Найдем $sin\beta$: $sin\beta = \sqrt{1-cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.Подставим найденные значения в формулу:$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{1}{5\sqrt{5}} + \frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{5}} = \frac{1+4\sqrt{6}}{5\sqrt{5}}$.Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{(1+4\sqrt{6})\sqrt{5}}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+4\sqrt{30}}{25}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}+4\sqrt{30}}{25}$.

3) Найдем значение выражения $\operatorname{tg}(\arcsin0,2 + \operatorname{arctg}4)$.Пусть $\alpha = \arcsin0,2 = \arcsin\frac{1}{5}$ и $\beta = \operatorname{arctg}4$.Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.Из $\alpha = \arcsin\frac{1}{5}$ следует, что $sin\alpha = \frac{1}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти. Найдем $cos\alpha = \sqrt{1-sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.Тогда $\operatorname{tg}\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1/5}{2\sqrt{6}/5} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$.Из $\beta = \operatorname{arctg}4$ следует, что $\operatorname{tg}\beta = 4$.Подставим значения в формулу:$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{12} + 4}{1 - \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot 4} = \frac{\frac{\sqrt{6}+48}{12}}{1 - \frac{4\sqrt{6}}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6}+48}{12}}{\frac{12-4\sqrt{6}}{12}} = \frac{\sqrt{6}+48}{12-4\sqrt{6}} = \frac{48+\sqrt{6}}{4(3-\sqrt{6})}$.Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(3+\sqrt{6})$:$\frac{(48+\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}{4(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})} = \frac{48 \cdot 3 + 48\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4(3^2 - (\sqrt{6})^2)} = \frac{144 + 51\sqrt{6} + 6}{4(9-6)} = \frac{150 + 51\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{150 + 51\sqrt{6}}{12}$.Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{50 + 17\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{50 + 17\sqrt{6}}{4}$.

4) Найдем значение выражения $\operatorname{ctg}(\arccos0,4 - \operatorname{arcctg}5)$.Пусть $\alpha = \arccos0,4 = \arccos\frac{2}{5}$ и $\beta = \operatorname{arcctg}5$.Воспользуемся формулой котангенса разности: $\operatorname{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{ctg}\alpha \operatorname{ctg}\beta + 1}{\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha}$.Из $\alpha = \arccos\frac{2}{5}$ следует, что $cos\alpha = \frac{2}{5}$ и угол $\alpha$ находится в первой четверти. Найдем $sin\alpha = \sqrt{1-cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.Тогда $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{2/5}{\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.Из $\beta = \operatorname{arcctg}5$ следует, что $\operatorname{ctg}\beta = 5$.Подставим значения в формулу:$\operatorname{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot 5 + 1}{5 - \frac{2}{\sqrt{21}}} = \frac{\frac{10}{\sqrt{21}} + 1}{5 - \frac{2}{\sqrt{21}}}$.Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$: $\frac{10 + \sqrt{21}}{5\sqrt{21} - 2}$.Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(5\sqrt{21} + 2)$:$\frac{(10 + \sqrt{21})(5\sqrt{21} + 2)}{(5\sqrt{21} - 2)(5\sqrt{21} + 2)} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{21} + 10 \cdot 2 + \sqrt{21} \cdot 5\sqrt{21} + \sqrt{21} \cdot 2}{(5\sqrt{21})^2 - 2^2} = \frac{50\sqrt{21} + 20 + 5 \cdot 21 + 2\sqrt{21}}{25 \cdot 21 - 4} = \frac{52\sqrt{21} + 20 + 105}{525 - 4} = \frac{125 + 52\sqrt{21}}{521}$.

Ответ: $\frac{125 + 52\sqrt{21}}{521}$.

17.22. Постройте график функции:

1) $y = 2\sin\frac{x}{2}$; 2) $y = 2\cos\left(\frac{x}{2} - \pi\right)$; 3) $y = \mathrm{tg}\frac{x}{2}$; 4) $y = \mathrm{ctg}\frac{3x}{2}$.

1) $y = 2\sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Построение графика $y = \sin\frac{x}{2}$.

Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем его растяжения вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза. Коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$. Период функции $T$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=\frac{1}{2}$. Таким образом, новый период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Все абсциссы точек графика $y = \sin x$ умножаются на 2. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в точку $(\pi, 1)$, точка $(\pi, 0)$ переходит в $(2\pi, 0)$.

2. Построение графика $y = 2\sin\frac{x}{2}$.

Этот график получается из графика $y = \sin\frac{x}{2}$ путем его растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза. Множитель 2 перед функцией означает, что амплитуда колебаний равна 2. Все ординаты точек графика $y = \sin\frac{x}{2}$ умножаются на 2. Область значений функции будет $[-2, 2]$. Например, точка $(\pi, 1)$ переходит в точку $(\pi, 2)$, точка $(3\pi, -1)$ переходит в $(3\pi, -2)$.

Основные свойства функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = [-2, 2]$.

- Период: $T = 4\pi$.

- Нули функции (пересечение с осью $Ox$): $\sin\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки максимума: $y=2$ при $\sin\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки минимума: $y=-2$ при $\sin\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = -\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$ и растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$. Период функции равен $4\pi$, амплитуда равна 2.

2) $y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi)$

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos\alpha$.

$y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi) = -2\cos\frac{x}{2}$.

Теперь построим график функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$ путем преобразований графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Построение графика $y = \cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = \cos x$ растяжением вдоль оси $Ox$ в 2 раза. Период увеличивается в 2 раза и становится равным $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

2. Построение графика $y = 2\cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = \cos\frac{x}{2}$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Область значений $[-2, 2]$.

3. Построение графика $y = -2\cos\frac{x}{2}$.

График получается из $y = 2\cos\frac{x}{2}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Основные свойства функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$:

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = [-2, 2]$.

- Период: $T = 4\pi$.

- Нули функции: $\cos\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки максимума: $y=2$ при $\cos\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

- Точки минимума: $y=-2$ при $\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(\frac{x}{2} - \pi)$ совпадает с графиком функции $y = -2\cos\frac{x}{2}$. Он получается из графика $y = \cos x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$, растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующим отражением относительно оси $Ox$. Период $T=4\pi$, амплитуда $A=2$.

3) $y = \tg\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = \tg\frac{x}{2}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

График $y = \tg\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ растяжением вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

1. Период функции.

Период базовой функции $y = \tg x$ равен $\pi$. Для функции $y = \tg\frac{x}{2}$ коэффициент $k = \frac{1}{2}$, поэтому новый период $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

2. Вертикальные асимптоты.

Асимптоты графика $y = \tg x$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \tg\frac{x}{2}$ асимптоты будут там, где аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Главная ветвь графика, которая для $y=\tg x$ находится между асимптотами $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$, для $y = \tg\frac{x}{2}$ будет находиться между асимптотами $x=-\pi$ и $x=\pi$.

3. Нули функции.

$\tg\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $2\pi$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \ctg\frac{3x}{2}$

Для построения графика функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \ctg x$.

График $y = \ctg\frac{3x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ сжатием вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в $\frac{3}{2}$ раза.

1. Период функции.

Период базовой функции $y = \ctg x$ равен $\pi$. Для функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ коэффициент $k = \frac{3}{2}$, поэтому новый период $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3/2} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Вертикальные асимптоты.

Асимптоты графика $y = \ctg x$ находятся в точках $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ асимптоты будут там, где аргумент котангенса равен $\pi n$:

$\frac{3x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Главная ветвь графика, которая для $y=\ctg x$ находится между асимптотами $x=0$ и $x=\pi$, для $y = \ctg\frac{3x}{2}$ будет находиться между асимптотами $x=0$ и $x=\frac{2\pi}{3}$.

3. Нули функции.

$\ctg\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \ctg\frac{3x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ сжатием в $\frac{3}{2}$ раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями $x = \frac{2\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

17.23. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите абсциссы их точек пересечения:

1) $y = 2\sin \frac{5x}{2}$ и $y = 3x$;

2) $y = \cos \frac{x}{2}$ и $y = 2 - 3x$;

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ и $y = x + 2$;

4) $y = \operatorname{ctg}(x - 2)$ и $y = 4 - x^2$.

1) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ и $y = 3x$ и решить уравнение $2\sin\frac{5x}{2} = 3x$.

Построение графиков:

- График функции $y = 3x$ – это прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0) с угловым коэффициентом 3.

- График функции $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ – это синусоида с амплитудой 2 (значения функции лежат в отрезке $[-2, 2]$) и периодом $T = \frac{2\pi}{5/2} = \frac{4\pi}{5}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $2\sin\frac{5x}{2} = 3x$.

1. Очевидно, что $x=0$ является корнем уравнения, так как $2\sin(0) = 0$ и $3 \cdot 0 = 0$. Это первая точка пересечения.

2. Так как значения синуса ограничены $| \sin(\alpha) | \le 1$, то для функции $y = 2\sin\frac{5x}{2}$ выполняется неравенство $|y| \le 2$. Следовательно, точки пересечения могут существовать только для тех $x$, для которых $|3x| \le 2$, то есть $-\frac{2}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.

3. Для $x \ne 0$ уравнение можно переписать в виде $\frac{\sin(5x/2)}{x} = \frac{3}{2}$. Умножив и разделив левую часть на $\frac{5}{2}$, получим: $5 \cdot \frac{\sin(5x/2)}{5x/2} = 3$, или $\frac{\sin u}{u} = \frac{3}{5}$, где $u = \frac{5x}{2}$.

4. Функция $h(u) = \frac{\sin u}{u}$ является чётной, её значение при $u \to 0$ равно 1. На интервале $(0, \pi]$ она монотонно убывает от 1 до 0. Так как $0 < 3/5 < 1$, уравнение $h(u) = 3/5$ имеет ровно один положительный корень $u_0$ и, в силу чётности, один отрицательный корень $-u_0$. Эти корни не выражаются через элементарные функции.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $x=0$, и два ненулевых корня $x_1 = \frac{2u_0}{5}$ и $x_2 = -\frac{2u_0}{5}$.

В рамках стандартной школьной программы, как правило, требуется найти только "очевидные" решения. Таким решением является $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

2) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = 2 - 3x$ и решить уравнение $\cos\frac{x}{2} = 2 - 3x$.

Построение графиков:

- График функции $y = 2 - 3x$ – это прямая линия, проходящая через точки (0, 2) и (2/3, 0).

- График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ – это косинусоида с амплитудой 1 (значения функции лежат в отрезке $[-1, 1]$) и периодом $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\cos\frac{x}{2} = 2 - 3x$.

1. Так как $|\cos\frac{x}{2}| \le 1$, точки пересечения могут существовать только при условии $|2 - 3x| \le 1$.

$-1 \le 2 - 3x \le 1 \implies -3 \le -3x \le -1 \implies 1 \le 3x \le 3 \implies \frac{1}{3} \le x \le 1$.

Следовательно, все решения должны находиться в отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$.

2. Проверим, есть ли в этом отрезке целочисленные или простые рациональные решения. Таких решений нет.

3. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos\frac{x}{2} + 3x - 2$. Нам нужно найти нули этой функции на отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$.

- На концах отрезка: $f(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{6}) - 1 < 0$ (так как $\cos\alpha < 1$ для $\alpha \ne 2\pi k$) и $f(1) = \cos(\frac{1}{2}) + 1 > 0$ (так как $\cos\alpha > -1$).

- Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, по теореме о промежуточных значениях, на интервале $(\frac{1}{3}, 1)$ есть хотя бы один корень.

- Найдем производную: $f'(x) = -\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} + 3$. Для $x \in [\frac{1}{3}, 1]$, аргумент $\frac{x}{2} \in [\frac{1}{6}, \frac{1}{2}]$. Этот интервал (в радианах) находится в первой четверти, где синус положителен. Тогда $\sin\frac{x}{2} \le \sin(\frac{1}{2}) < \sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$. Таким образом, $f'(x) = 3 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2} > 3 - \frac{1}{2}(0.5) = 2.75 > 0$.

- Так как производная $f'(x)$ строго положительна на отрезке $[\frac{1}{3}, 1]$, функция $f(x)$ на нем монотонно возрастает, а значит, может пересечь ось абсцисс только один раз.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень, который не может быть выражен аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет один корень, принадлежащий интервалу $(\frac{1}{3}, 1)$. Этот корень является решением трансцендентного уравнения $\cos\frac{x}{2} + 3x - 2 = 0$.

3) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \tg\frac{x}{2}$ и $y = x + 2$ и решить уравнение $\tg\frac{x}{2} = x + 2$.

Построение графиков:

- График функции $y = x + 2$ – это прямая линия, проходящая через точки (0, 2) и (-2, 0).

- График функции $y = \tg\frac{x}{2}$ – это тангенсоида с периодом $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\tg\frac{x}{2} = x + 2$.

1. Простые решения путем подстановки целых чисел или значений, связанных с $\pi$, отсутствуют.

2. Рассмотрим поведение функций. Прямая $y = x + 2$ – неограниченная, монотонно возрастающая функция. Функция $y = \tg\frac{x}{2}$ является периодической и на каждом интервале своей области определения, например, на $(-\pi, \pi)$, она возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

3. На каждом интервале вида $((2k-1)\pi, (2k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$, непрерывная функция $y = \tg\frac{x}{2}$ принимает все действительные значения. Прямая $y = x + 2$ также является непрерывной и возрастающей функцией. Следовательно, на каждом таком интервале графики обязательно пересекутся, причем ровно один раз.

Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество решений. Эти решения не могут быть выражены аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений.

4) Для нахождения абсцисс точек пересечения необходимо построить графики функций $y = \ctg(x - 2)$ и $y = 4 - x^2$ и решить уравнение $\ctg(x - 2) = 4 - x^2$.

Построение графиков:

- График функции $y = 4 - x^2$ – это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке (0, 4) и корнями в точках $x = \pm 2$.

- График функции $y = \ctg(x-2)$ – это котангенсоида, сдвинутая на 2 единицы вправо. Период функции равен $\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках, где $x - 2 = \pi k$, то есть $x = 2 + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение абсцисс:

Решаем уравнение $\ctg(x - 2) = 4 - x^2$.

1. Очевидных "хороших" решений нет. Заметим, что $x=2$ не является решением, так как $\ctg(2-2) = \ctg(0)$ не определен.

2. Рассмотрим поведение функций на интервалах между асимптотами котангенса, например, на $(2, 2+\pi)$.

- При $x \to 2^+$, $\ctg(x-2) \to +\infty$, а $4-x^2 \to 0$.

- При $x \to (2+\pi)^-$, $\ctg(x-2) \to -\infty$, а $4 - x^2 = 4-(2+\pi)^2 < 0$.

- Так как на интервале $(2, 2+\pi)$ график котангенса убывает от $+\infty$ до $-\infty$, а график параболы является непрерывной функцией, их графики обязательно пересекутся.

3. Аналогичная ситуация будет на каждом интервале $(2+k\pi, 2+(k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Парабола $y=4-x^2$ является непрерывной функцией на всей числовой оси, а котангенс на каждом таком интервале пробегает все значения от $+\infty$ до $-\infty$. Следовательно, на каждом таком интервале будет как минимум одна точка пересечения.

Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество решений, которые не выражаются аналитически в элементарных функциях.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений.

17.24. Решите уравнение:

1) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0;$

2) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0;$

3) $x^4 + 6x^2 - 16 = 0;$

4) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0.$

1) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$. Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:$t^2 + 2t - 8 = 0$.Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$.$t_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.$t_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 2$ подходит.Выполняем обратную замену:$x^2 = 2$.Отсюда получаем два корня: $x = \pm \sqrt{2}$.Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

2) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 2t - 8 = 0$.Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -8. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.Также можно найти корни через дискриминант:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$.$t_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.$t_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$.Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Используем только $t_1 = 4$.Выполняем обратную замену:$x^2 = 4$.Корни исходного уравнения: $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.Ответ: $-2; 2$.

3) $x^4 + 6x^2 - 16 = 0$.Выполним замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).Уравнение примет вид: $t^2 + 6t - 16 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение -16. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -8$.Либо через дискриминант:$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.$t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}$.$t_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$.$t_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$.Корень $t_2 = -8$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным. Остается $t_1 = 2$.Возвращаемся к переменной $x$:$x^2 = 2$.Отсюда $x = \pm \sqrt{2}$.Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

4) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$.Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).Получаем уравнение: $t^2 - 7t - 18 = 0$.Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -18. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -2$.Или через дискриминант:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.$t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{7 \pm 11}{2}$.$t_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9$.$t_2 = \frac{7 - 11}{2} = -2$.Корень $t_2 = -2$ является посторонним, так как $t \ge 0$. Используем $t_1 = 9$.Выполним обратную замену:$x^2 = 9$.Корни уравнения: $x = \pm \sqrt{9}$, то есть $x = \pm 3$.Ответ: $-3; 3$.

17.25. Используя способ введения новой переменной, найдите корни уравнения:

1) $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 8 = 0$;

2) $(x^2 + x)^2 - 3(x^2 + x) - 10 = 0$;

3) $x^2 + 6|x| - 16 = 0$;

4) $x + 7\sqrt{x} - 18 = 0$.

1) $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 8 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $t = 4$.

$x^2 - 2x = 4$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D_1 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 2x = -2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Поскольку $D_2 < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, корни исходного уравнения — это $1 - \sqrt{5}$ и $1 + \sqrt{5}$.

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

2) $(x^2 + x)^2 - 3(x^2 + x) - 10 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10, следовательно, $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 5$.

$x^2 + x = 5$

$x^2 + x - 5 = 0$

$D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 + x = -2$

$x^2 + x + 2 = 0$

$D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как $D_2 < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

3) $x^2 + 6|x| - 16 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в следующем виде:

$|x|^2 + 6|x| - 16 = 0$

Введем новую переменную $t = |x|$. Учтем, что модуль числа всегда неотрицателен, поэтому $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 6t - 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно -16. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -8$.

Проверим корни с учетом условия $t \ge 0$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t = 2$:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

4) $x + 7\sqrt{x} - 18 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ для $x \ge 0$, введем новую переменную $t = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 + 7t - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение -18. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -9$.

Проверим корни с учетом условия $t \ge 0$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 2$:

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Ответ: $4$.

1. Перечислите виды распределения дискретных случайных величин.

2. В каких случаях используют биномиальное распределение дискретной случайной величины X?

3. В каких случаях используют геометрическое распределение дискретной случайной величины X?

4. В каких случаях используют гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины X?

5. В чем заключается суть закона больших чисел?

1. Перечислите виды распределения дискретных случайных величин.

К основным и наиболее часто используемым видам распределений дискретных случайных величин относятся:

• Распределение Бернулли: описывает эксперимент с двумя исходами («успех»/«неудача»).

• Биномиальное распределение: моделирует число «успехов» в фиксированной серии независимых испытаний Бернулли.

• Геометрическое распределение: определяет количество испытаний до первого «успеха».

• Гипергеометрическое распределение: описывает число «успехов» в выборке без возвращения из конечной совокупности.

• Распределение Пуассона: моделирует количество событий, происходящих за фиксированный интервал времени или пространства, если эти события происходят с известной средней частотой и независимо друг от друга.

• Равномерное дискретное распределение: все возможные значения случайной величины равновероятны.

Ответ:

2. В каких случаях используют биномиальное распределение дискретной случайной величины X?

Биномиальное распределение используется для описания случайной величины $X$, представляющей собой число «успехов» в серии испытаний, при выполнении следующих четырёх условий:

1. Проводится фиксированное количество испытаний, $n$.

2. Все испытания являются независимыми друг от друга.

3. Каждое испытание имеет ровно два возможных исхода, условно называемых «успех» и «неудача».

4. Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, одинакова для всех испытаний.

Типичный пример: подсчет количества выпадений «орла» при 10 подбрасываниях монеты. Вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Ответ:

3. В каких случаях используют геометрическое распределение дискретной случайной величины X?

Геометрическое распределение используется, когда нас интересует номер первого «успешного» испытания в серии независимых испытаний Бернулли. Условия его применения таковы:

1. Проводится последовательность независимых испытаний.

2. Каждое испытание имеет два исхода: «успех» или «неудача».

3. Вероятность «успеха» $p$ постоянна для каждого испытания.

4. Случайная величина $X$ — это номер испытания, в котором был зафиксирован первый «успех».

Например, это распределение описывает количество бросков игральной кости до первого выпадения шестёрки. Вероятность того, что первый успех произойдет в $k$-м испытании, равна $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$.

Ответ:

4. В каких случаях используют гипергеометрическое распределение дискретной случайной величины X?

Гипергеометрическое распределение применяется для моделирования числа «успехов» в выборке, отобранной без возвращения из конечной совокупности. В отличие от биномиального, испытания здесь зависимы. Условия использования:

1. Имеется конечная совокупность, состоящая из $N$ элементов.

2. Совокупность разделена на две группы: $K$ элементов обладают интересующим нас признаком («успехи») и $N-K$ элементов им не обладают («неудачи»).

3. Из совокупности случайным образом извлекается выборка размером $n$ элементов, причем каждый элемент может быть выбран только один раз (без возвращения).

4. Случайная величина $X$ — это число элементов с искомым признаком («успехов») в полученной выборке.

Например, это распределение используется для расчета вероятности вытащить 2 белых шара из урны, содержащей 5 белых и 10 черных шаров, если всего извлекается 4 шара. Вероятность получить ровно $k$ успехов вычисляется по формуле: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.

Ответ:

5. В чем заключается суть закона больших чисел?

Закон больших чисел — это один из ключевых принципов теории вероятностей, который устанавливает связь между теоретическими и практическими характеристиками случайных процессов. Его суть заключается в следующем: среднее арифметическое результатов большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин сходится (приближается) к их общему математическому ожиданию (теоретическому среднему).

Иными словами, чем больше раз мы проводим эксперимент, тем ближе будет средний результат наших наблюдений к его предсказанному теоретическому значению. Например, при многократном бросании монеты частота выпадения «орла» (отношение числа выпавших «орлов» к общему числу бросков) будет стремиться к вероятности этого события, то есть к $0.5$.

Математически, если $X_1, X_2, \dots, X_n$ — независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[X_i] = \mu$, то их выборочное среднее $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ сходится к $\mu$ при $n \to \infty$. Этот закон служит теоретическим фундаментом для многих методов статистики и оправдывает использование выборочных средних для оценки истинных средних значений.

Ответ:

54.1. 1) Производится серия из 6 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,6$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях четыре раза.

2) Производится серия из 8 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,7$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях пять раз.

1) Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ – общее число испытаний;

$k$ – число появлений события;

$p$ – вероятность появления события в одном испытании;

$q$ – вероятность непоявления события в одном испытании, $q = 1 - p$;

$C_n^k$ – число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае у нас есть следующие параметры:

$n = 6$ (серия из 6 испытаний);

$k = 4$ (событие X должно появиться четыре раза);

$p = 0.6$ (вероятность события X);

$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Подставляем эти значения в формулу Бернулли:

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{6-4} = C_6^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^2$

Сначала вычислим число сочетаний $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 15$

Теперь вычислим степени:

$(0.6)^4 = 0.1296$

$(0.4)^2 = 0.16$

Перемножаем все полученные значения:

$P_6(4) = 15 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 = 0.31104$

Ответ: $0.31104$

2) Используем ту же формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

В этом случае параметры следующие:

$n = 8$ (серия из 8 испытаний);

$k = 5$ (событие X должно появиться пять раз);

$p = 0.7$ (вероятность события X);

$q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Подставляем значения в формулу:

$P_8(5) = C_8^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^{8-5} = C_8^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^3$

Вычислим число сочетаний $C_8^5$:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56$

Теперь вычислим степени:

$(0.7)^5 = 0.16807$

$(0.3)^3 = 0.027$

Перемножаем все значения:

$P_8(5) = 56 \cdot 0.16807 \cdot 0.027 = 0.25412184$

Ответ: $0.25412184$

54.2. Найдите вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости 4 очка выпадут ровно два раза.

54.2. Данная задача решается с использованием формулы Бернулли, поскольку мы имеем дело с серией из $n$ независимых испытаний (бросков кости), каждое из которых имеет два исхода: «успех» (выпадение 4 очков) или «неудача» (выпадение любого другого числа очков).

Определим параметры для формулы:

• общее число испытаний $n = 10$;

• количество «успехов», то есть выпадений четверки, $k = 2$;

• вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность того, что при одном броске выпадет 4) равна $p = \frac{1}{6}$;

• вероятность «неудачи» (вероятность того, что 4 не выпадет) равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим наши значения в формулу:

$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{10-2} = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8$

Сначала вычислим число сочетаний $C_{10}^2$, то есть количество способов, которыми могут выпасть две четверки в серии из десяти бросков:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Теперь подставим это значение обратно в формулу вероятности и выполним вычисления:

$P_{10}(2) = 45 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5^8}{6^8} = \frac{45}{36} \cdot \frac{5^8}{6^8}$

Сократим дробь $\frac{45}{36}$ на 9:

$P_{10}(2) = \frac{5}{4} \cdot \frac{5^8}{6^8} = \frac{5^9}{4 \cdot 6^8} = \frac{1953125}{4 \cdot 1679616} = \frac{1953125}{6718464}$

Приближенное значение этой вероятности составляет:

$P_{10}(2) \approx 0.2907$

Ответ: $\frac{1953125}{6718464}$

54.3. Монета подбрасывается четыре раза. Вероятность появления герба равна 0,5. Случайная величина $X$ — число появлений герба. Постройте ее ряд распределения.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу появлений герба при четырёх подбрасываниях монеты. Данная ситуация представляет собой последовательность из $n=4$ независимых испытаний (схема Бернулли).

Вероятность "успеха" (появления герба) в каждом испытании равна $p = 0.5$.

Вероятность "неудачи" (непоявления герба, то есть появления решки) равна $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения: $0, 1, 2, 3, 4$.

Для нахождения вероятностей этих значений воспользуемся формулой Бернулли:$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Выполним расчеты для каждого возможного значения $k$:

1. Если герб не выпал ни разу ($k=0$):

$P(X=0) = C_4^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625$.

2. Если герб выпал один раз ($k=1$):

$P(X=1) = C_4^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 0.25$.

3. Если герб выпал два раза ($k=2$):

$P(X=2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$.

4. Если герб выпал три раза ($k=3$):

$P(X=3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25$.

5. Если герб выпал четыре раза ($k=4$):

$P(X=4) = C_4^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{4-4} = 1 \cdot 0.0625 \cdot 1 = 0.0625$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0.0625 + 0.25 + 0.375 + 0.25 + 0.0625 = 1$.

Теперь составим ряд распределения для случайной величины $X$.

Ответ:

54.4. Студент колледжа сдает 6 экзаменов. Вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,5. Случайная величина $X$ — число сдавших экзаменов студентом. Постройте ряд распределения величины $X$.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу сданных студентом экзаменов. По условию, студент сдает $n=6$ экзаменов, и вероятность сдачи каждого экзамена $p=0,5$. Поскольку сдача каждого экзамена является независимым событием, мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Следовательно, случайная величина $X$ подчиняется биномиальному закону распределения.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $k$ (т.е. студент сдаст ровно $k$ экзаменов), вычисляется по формуле Бернулли: $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=6$ — число испытаний, $k$ — число "успехов" (сданных экзаменов), $p=0,5$ — вероятность "успеха", а $q=1-p=0,5$ — вероятность "неудачи" (несданного экзамена).

Подставим наши значения в формулу: $P(X=k) = C_6^k (0,5)^k (0,5)^{6-k} = C_6^k (0,5)^6 = C_6^k \cdot \frac{1}{64}$.

Возможные значения для $X$ — это целые числа от 0 до 6. Вычислим вероятности для каждого из этих значений, используя формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

При $k=0$: $P(X=0) = C_6^0 \cdot \frac{1}{64} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.

При $k=1$: $P(X=1) = C_6^1 \cdot \frac{1}{64} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.

При $k=2$: $P(X=2) = C_6^2 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.

При $k=3$: $P(X=3) = C_6^3 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.

При $k=4$: $P(X=4) = C_6^4 \cdot \frac{1}{64} = C_6^2 \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.

При $k=5$: $P(X=5) = C_6^5 \cdot \frac{1}{64} = C_6^1 \cdot \frac{1}{64} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.

При $k=6$: $P(X=6) = C_6^6 \cdot \frac{1}{64} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.

Ряд распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, в которой перечислены все возможные значения $X$ и соответствующие им вероятности.

Ответ:

54.5. В ящике 5 желтых шаров и 3 красных. Вытаскиваем 4 шара. Рассмотрим событие $A$ — появление желтого шара. Составьте ряд распределения случайной величины $A$.

Пусть случайная величина A — это количество желтых шаров среди 4 вытащенных. Всего в ящике находится $5 + 3 = 8$ шаров.

Найдем возможные значения, которые может принимать случайная величина A. Мы вытаскиваем 4 шара. Поскольку в ящике всего 3 красных шара, мы не можем вытащить 4 красных шара. Это означает, что как минимум $4 - 3 = 1$ шар будет желтым. Максимальное количество желтых шаров, которое можно вытащить, ограничено общим количеством вытаскиваемых шаров, то есть 4. Таким образом, возможные значения для A: {1, 2, 3, 4}.

Для построения ряда распределения нужно найти вероятности $P(A=k)$ для каждого возможного значения $k$.

Общее число элементарных исходов — это количество способов выбрать 4 шара из 8. Оно равно числу сочетаний из 8 по 4:

$N = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Число благоприятствующих исходов для события $A=k$ (вытащено $k$ желтых и $4-k$ красных шаров) находится по правилу произведения для сочетаний: $N_k = C_5^k \cdot C_3^{4-k}$.

Вероятность события $A=k$ вычисляется по классической формуле вероятности (гипергеометрическое распределение):

$P(A=k) = \frac{N_k}{N} = \frac{C_5^k \cdot C_3^{4-k}}{C_8^4}$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$:

1. Вероятность вытащить 1 желтый шар (и 3 красных), $k=1$:

$P(A=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_3^3}{70} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$.

2. Вероятность вытащить 2 желтых шара (и 2 красных), $k=2$:

$P(A=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_3^2}{70} = \frac{\frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{3!}{2!1!}}{70} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$.

3. Вероятность вытащить 3 желтых шара (и 1 красный), $k=3$:

$P(A=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_3^1}{70} = \frac{\frac{5!}{3!2!} \cdot 3}{70} = \frac{10 \cdot 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$.

4. Вероятность вытащить 4 желтых шара (и 0 красных), $k=4$:

$P(A=4) = \frac{C_5^4 \cdot C_3^0}{70} = \frac{5 \cdot 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$\sum P(A=k) = \frac{5}{70} + \frac{30}{70} + \frac{30}{70} + \frac{5}{70} = \frac{70}{70} = 1$.

Все расчеты верны. Теперь можно составить искомый ряд распределения.

Ответ:

Ряд распределения случайной величины A:

54.6. В классе 21 учащийся, из них 5 девочек. Для посещения музея наудачу выбирают трех учащихся. Составьте ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — числа девочек из отобранных учащихся. Найдите математическое ожидание величины $X$.

В классе 21 учащийся: 5 девочек и $21 - 5 = 16$ мальчиков. Для посещения музея случайным образом выбирают 3 учащихся.Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу девочек среди трех отобранных учащихся. Возможные значения, которые может принимать $X$: 0, 1, 2, 3.

Общее число способов выбрать 3 учащихся из 21 равно числу сочетаний $C_{21}^3$:$C_{21}^3 = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 10 \times 19 = 1330$.Это общее число равновозможных исходов.

Составьте ряд распределения дискретной случайной величины X — числа девочек из отобранных учащихся.

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$, используя классическое определение вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n = 1330$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

Вероятность $P(X=k)$ того, что будет выбрано $k$ девочек (и, соответственно, $3-k$ мальчиков), вычисляется по формуле:$P(X=k) = \frac{C_5^k \times C_{16}^{3-k}}{C_{21}^3}$.

• $P(X=0)$: выбрано 0 девочек и 3 мальчика. $P(X=0) = \frac{C_5^0 \times C_{16}^3}{1330} = \frac{1 \times \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}}{1330} = \frac{560}{1330} = \frac{56}{133}$.
• $P(X=1)$: выбрана 1 девочка и 2 мальчика. $P(X=1) = \frac{C_5^1 \times C_{16}^2}{1330} = \frac{5 \times \frac{16 \times 15}{2 \times 1}}{1330} = \frac{5 \times 120}{1330} = \frac{600}{1330} = \frac{60}{133}$.
• $P(X=2)$: выбраны 2 девочки и 1 мальчик. $P(X=2) = \frac{C_5^2 \times C_{16}^1}{1330} = \frac{\frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 16}{1330} = \frac{10 \times 16}{1330} = \frac{160}{1330} = \frac{16}{133}$.
• $P(X=3)$: выбраны 3 девочки и 0 мальчиков. $P(X=3) = \frac{C_5^3 \times C_{16}^0}{1330} = \frac{\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1}{1330} = \frac{10 \times 1}{1330} = \frac{10}{1330} = \frac{1}{133}$.

Сделаем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.$\frac{56}{133} + \frac{60}{133} + \frac{16}{133} + \frac{1}{133} = \frac{56+60+16+1}{133} = \frac{133}{133} = 1$.

Таким образом, ряд распределения случайной величины $X$ имеет вид:

$X_i$ | 0 | 1 | 2 | 3

--- | --- | --- | --- | ---

$p_i$ | $\frac{56}{133}$ | $\frac{60}{133}$ | $\frac{16}{133}$ | $\frac{1}{133}$

Ответ: Ряд распределения величины X задается вероятностями: $P(X=0) = \frac{56}{133}$, $P(X=1) = \frac{60}{133}$, $P(X=2) = \frac{16}{133}$, $P(X=3) = \frac{1}{133}$.

Найдите математическое ожидание величины X.

Математическое ожидание $E(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:$E(X) = \sum_{i} x_i p_i$.Подставим в формулу значения $X$ и соответствующие им вероятности:

$E(X) = 0 \times \frac{56}{133} + 1 \times \frac{60}{133} + 2 \times \frac{16}{133} + 3 \times \frac{1}{133}$

$E(X) = 0 + \frac{60}{133} + \frac{32}{133} + \frac{3}{133} = \frac{60 + 32 + 3}{133} = \frac{95}{133}$

Сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $95 = 5 \times 19$, $133 = 7 \times 19$.$E(X) = \frac{5 \times 19}{7 \times 19} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $E(X) = \frac{5}{7}$.