Страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.13. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\text{arctg}x;$

2) $y = -\text{arcctg}x;$

3) $y = 2 - \text{arcctg}(-x);$

4) $y = -\text{arcctg}(-x).$

Для решения всех пунктов задачи необходимо знать область значений функции арккотангенс. Областью значений функции $f(t) = \text{arcctg}(t)$ является интервал $(0, \pi)$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется строгое двойное неравенство $0 < \text{arcctg}(t) < \pi$.

1) $y = 2\text{arcctg}(x)$

Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \text{arcctg}(x) < \pi$

Чтобы найти область значений функции $y = 2\text{arcctg}(x)$, необходимо умножить все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot 0 < 2 \cdot \text{arcctg}(x) < 2 \cdot \pi$

$0 < y < 2\pi$

Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(0, 2\pi)$.

Ответ: $E(y) = (0, 2\pi)$.

2) $y = -\text{arcctg}(x)$

Возьмем за основу неравенство для области значений арккотангенса:

$0 < \text{arcctg}(x) < \pi$

Для нахождения области значений функции $y = -\text{arcctg}(x)$ умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 0 > -1 \cdot \text{arcctg}(x) > -1 \cdot \pi$

$0 > y > -\pi$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-\pi < y < 0$

Таким образом, область значений функции — это интервал $(-\pi, 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\pi, 0)$.

3) $y = 2 - \text{arcctg}(-x)$

Сначала определим область значений выражения $\text{arcctg}(-x)$. Так как переменная $x$ может принимать любые действительные значения, то и выражение $-x$ также может принимать любые действительные значения. Следовательно, область значений $\text{arcctg}(-x)$ совпадает с областью значений $\text{arcctg}(x)$ и равна $(0, \pi)$.

Пусть $u = \text{arcctg}(-x)$, тогда $0 < u < \pi$.

Наша функция примет вид $y = 2 - u$.

Найдем область значений для $-u$, умножив неравенство для $u$ на -1:

$-\pi < -u < 0$

Теперь прибавим 2 ко всем частям полученного неравенства:

$2 - \pi < 2 - u < 2 + 0$

$2 - \pi < y < 2$

В качестве альтернативного решения можно использовать тождество $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:

$y = 2 - (\pi - \text{arcctg}(x)) = 2 - \pi + \text{arcctg}(x)$

Так как $0 < \text{arcctg}(x) < \pi$, прибавим ко всем частям константу $(2 - \pi)$:

$0 + (2 - \pi) < \text{arcctg}(x) + (2 - \pi) < \pi + (2 - \pi)$

$2 - \pi < y < 2$

Область значений функции — это интервал $(2 - \pi, 2)$.

Ответ: $E(y) = (2 - \pi, 2)$.

4) $y = -\text{arcctg}(-x)$

Как и в пункте 3, область значений выражения $\text{arcctg}(-x)$ есть интервал $(0, \pi)$.

Пусть $u = \text{arcctg}(-x)$, тогда $0 < u < \pi$.

Функция имеет вид $y = -u$.

Умножим неравенство для $u$ на -1, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные:

$-1 \cdot 0 > -1 \cdot u > -1 \cdot \pi$

$0 > y > -\pi$

Запишем в стандартном виде:

$-\pi < y < 0$

Также можно воспользоваться тождеством $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:

$y = -(\pi - \text{arcctg}(x)) = \text{arcctg}(x) - \pi$

Зная, что $0 < \text{arcctg}(x) < \pi$, вычтем $\pi$ из всех частей неравенства:

$0 - \pi < \text{arcctg}(x) - \pi < \pi - \pi$

$-\pi < y < 0$

Область значений данной функции — это интервал $(-\pi, 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\pi, 0)$.

16.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \text{arctg } x, & \text{если } x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \text{arcctg } x, & \text{если } x \le 1, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \arctan(x), & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 0$, функция имеет вид $y = \arctan(x)$.

Это график функции арктангенс для неположительных значений аргумента.

- Область значений для этой части: $(-\pi/2, 0]$.

- График проходит через точку $(0, 0)$, так как $\arctan(0) = 0$.

- Другая контрольная точка: при $x = -1$, $y = \arctan(-1) = -\pi/4$.

- При $x \to -\infty$, $y \to -\pi/2$. Следовательно, прямая $y = -\pi/2$ является горизонтальной асимптотой графика слева.

- На промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает.

2. При $x > 0$, функция имеет вид $y = \sqrt{x}$.

Это стандартный график функции квадратного корня для положительных значений аргумента.

- График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x = y^2$.

- Предел функции при $x \to 0^+$ равен $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(4, 2)$.

- На промежутке $(0, \infty)$ функция возрастает.

3. Сшивка графиков в точке $x = 0$.

- Значение функции в точке $x=0$ определяется первой формулой: $f(0) = \arctan(0) = 0$.

- Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \arctan(x) = 0$.

- Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке $x=0$, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: График функции состоит из двух частей, плавно соединяющихся в точке (0, 0). При $x \le 0$ это часть графика $y=\arctan(x)$, которая приближается к асимптоте $y=-\pi/2$ при $x \to -\infty$ и доходит до начала координат. При $x > 0$ это ветвь параболы $y=\sqrt{x}$, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1) и (4, 2).

2) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \operatorname{arccot}(x), & \text{если } x \le 1 \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика этой функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 1$, функция имеет вид $y = \operatorname{arccot}(x)$.

Это график функции арккотангенс на промежутке $(-\infty, 1]$.

- Область значений для этой части: $[\pi/4, \pi)$.

- Граничная точка: при $x = 1$, $y = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$. Точка $(1, \pi/4)$ принадлежит графику.

- Другие контрольные точки: при $x=0$, $y=\operatorname{arccot}(0)=\pi/2$; при $x=-1$, $y=\operatorname{arccot}(-1)=3\pi/4$.

- При $x \to -\infty$, $y \to \pi$. Следовательно, прямая $y = \pi$ является горизонтальной асимптотой графика слева.

- На промежутке $(-\infty, 1]$ функция убывает.

2. При $x > 1$, функция имеет вид $y = \sqrt{x-1}$.

Это график функции квадратного корня, сдвинутый на 1 единицу вправо.

- График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x-1 = y^2$.

- Предел функции при $x \to 1^+$ равен $\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ является началом этой части графика, но сама точка не включается (она "выколота").

- Контрольные точки: $(2, 1)$ (т.к. $\sqrt{2-1}=1$), $(5, 2)$ (т.к. $\sqrt{5-1}=2$).

- На промежутке $(1, \infty)$ функция возрастает.

3. Сшивка графиков в точке $x = 1$.

- Значение функции в точке $x=1$ определяется первой формулой: $f(1) = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$.

- Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \operatorname{arccot}(x) = \pi/4$.

- Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = 0$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($\pi/4 \neq 0$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух несвязанных частей. При $x \le 1$ это часть графика $y=\operatorname{arccot}(x)$, которая приближается к асимптоте $y=\pi$ при $x \to -\infty$ и заканчивается в точке $(1, \pi/4)$. При $x > 1$ это ветвь параболы $y=\sqrt{x-1}$, которая начинается из выколотой точки $(1, 0)$ и уходит вверх и вправо, проходя через точки (2, 1) и (5, 2). В точке $x=1$ происходит скачок.

16.15. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } |x| \le 0, \\ \sqrt{|x|}, & \text{если } |x| > 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1) Рассмотрим данную кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } |x| \le 0 \\ \sqrt{|x|}, & \text{если } |x| > 0 \end{cases}$.

Сначала проанализируем условия, при которых задана каждая часть функции.

Первое условие: $|x| \le 0$. Модуль числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется только в одном случае: когда $|x| = 0$, то есть $x=0$. Таким образом, первая часть функции определена только в одной точке.

При $x=0$ значение функции равно $y = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Это точка на графике с координатами $(0, \frac{\pi}{2})$.

Второе условие: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. То есть, для $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

При $x \neq 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{|x|}$.

Разобьем эту часть на два случая:

- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня, ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$. При $x \to 0^+$, $y \to 0$.

- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{-x}$. Этот график является зеркальным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$. При $x \to 0^-$, $y \to 0$.

Для построения итогового графика объединим полученные результаты:

1. На координатной плоскости отмечаем изолированную точку $(0, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

2. Для всех $x > 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$.

3. Для всех $x < 0$ строим график функции $y = \sqrt{-x}$.

4. В точке $x=0$ на графике функции $y = \sqrt{|x|}$ будет разрыв (выколотая точка), так как эта функция не определена в нуле по второму условию. Эта выколотая точка находится в начале координат $(0, 0)$.

Итоговый график состоит из двух ветвей функции $y = \sqrt{|x|}$ с выколотой точкой в начале координат и одной изолированной точки $(0, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции состоит из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ при $x \neq 0$ (две ветви, симметричные относительно оси Oy) и отдельной точки $(0, \frac{\pi}{2})$.

2) Рассмотрим данную кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Построим график, анализируя каждую часть функции отдельно.

Часть 1: $y = \operatorname{arctg} x$ при $x \le 0$.

Это часть графика функции арктангенс, расположенная в левой полуплоскости, включая ось ординат.

- Область определения этого куска: $(-\infty, 0]$.

- График проходит через точку $(0, \operatorname{arctg} 0) = (0, 0)$. Эта точка является концом данной части графика.

- При $x \to -\infty$, значение функции стремится к $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, прямая $y = -\frac{\pi}{2}$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

- Контрольная точка: при $x=-1$, $y = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Часть 2: $y = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$ при $x > 0$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.

- Область определения этого куска: $(0, \infty)$.

- Поведение на границе области определения: при $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0^+$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, значит $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

- Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, значит $y \to 0-1 = -1$. Прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

- Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения — $(1, 0)$.

Объединение графиков:

1. Для $x \le 0$ рисуем кривую, которая начинается от горизонтальной асимптоты $y = -\frac{\pi}{2}$ слева, возрастает, проходит через точку $(-1, -\frac{\pi}{4})$ и заканчивается в точке $(0, 0)$.

2. Для $x > 0$ рисуем кривую, которая уходит в $+\infty$ при приближении к оси Oy справа, убывает, пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y = -1$ при $x \to +\infty$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Слева значение функции равно 0, а справа она стремится к $+\infty$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Для $x \le 0$ это график $y = \operatorname{arctg} x$, который начинается от асимптоты $y = -\pi/2$ и доходит до точки $(0,0)$. Для $x > 0$ это график $y = \frac{1}{\sqrt{x}}-1$, который имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$. В точке $x=0$ происходит разрыв.

16.16. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = |\text{arctg } x|;$

2) $y = |2 - \text{arctg } x|;$

3) $y = -2\text{arctg } |-x|;$

4) $y = |\text{arctg}x + \frac{\pi}{2}|.$

1) $y = |\text{arctg } x|$

Для построения графика функции $y = |\text{arctg } x|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \text{arctg } x$. Это возрастающая функция, определенная на всей числовой оси. Ее область значений $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. График проходит через начало координат. Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

2. График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox.

Для функции $y_1 = \text{arctg } x$:

- При $x \ge 0$, имеем $\text{arctg } x \ge 0$. Следовательно, $|\text{arctg } x| = \text{arctg } x$. На этом промежутке график совпадает с графиком $y = \text{arctg } x$.

- При $x < 0$, имеем $\text{arctg } x < 0$. Следовательно, $|\text{arctg } x| = -\text{arctg } x$. На этом промежутке график получается отражением графика $y = \text{arctg } x$ относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 0)$. График симметричен относительно оси Oy (функция четная). Горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$ — это $y = \frac{\pi}{2}$.

Исследуем на монотонность.

- На промежутке $(-\infty, 0]$ функция задается формулой $y = -\text{arctg } x$. Ее производная $y' = - \frac{1}{1+x^2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- На промежутке $[0, +\infty)$ функция задается формулой $y = \text{arctg } x$. Ее производная $y' = \frac{1}{1+x^2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $y = |2 - \text{arcctg } x|$

Построим график, последовательно выполняя преобразования.

1. Базовая функция $y_1 = \text{arcctg } x$. Это убывающая функция, определенная на $\mathbb{R}$, с областью значений $(0; \pi)$.

2. Построим график $y_2 = -\text{arcctg } x$. Он получается отражением графика $y_1$ относительно оси Ox. Это возрастающая функция с областью значений $(-\pi; 0)$.

3. Построим график $y_3 = 2 - \text{arcctg } x$. Он получается сдвигом графика $y_2$ вверх на 2 единицы. Это возрастающая функция. Ее область значений $(2-\pi; 2)$. Горизонтальные асимптоты: $y = 2-\pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 2$ при $x \to +\infty$.

4. Теперь построим график $y = |2 - \text{arcctg } x|$. Часть графика $y_3$, где $y_3 \ge 0$, остается без изменений. Часть, где $y_3 < 0$, отражается симметрично относительно оси Ox.

Найдем, где $y_3$ меняет знак: $2 - \text{arcctg } x = 0 \implies \text{arcctg } x = 2 \implies x = \text{ctg}(2)$. Так как $2 \in (0, \pi)$, такое значение $x$ существует. При $x \ge \text{ctg}(2)$, $\text{arcctg } x \le 2$, поэтому $2 - \text{arcctg } x \ge 0$. При $x < \text{ctg}(2)$, $\text{arcctg } x > 2$, поэтому $2 - \text{arcctg } x < 0$.

Таким образом, $y(x) = \begin{cases} 2 - \text{arcctg } x, & x \ge \text{ctg}(2) \\ \text{arcctg } x - 2, & x < \text{ctg}(2) \end{cases}$.

График имеет "излом" в точке $(\text{ctg}(2), 0)$. Горизонтальные асимптоты: $y = \pi - 2$ при $x \to -\infty$ и $y=2$ при $x \to +\infty$.

Исследуем на монотонность.

- На промежутке $(-\infty, \text{ctg}(2)]$ функция задается формулой $y = \text{arcctg } x - 2$. Ее производная $y' = -\frac{1}{1+x^2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- На промежутке $[\text{ctg}(2), +\infty)$ функция задается формулой $y = 2 - \text{arcctg } x$. Ее производная $y' = -(-\frac{1}{1+x^2}) = \frac{1}{1+x^2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \text{ctg}(2)]$ и возрастает на промежутке $[\text{ctg}(2), +\infty)$.

3) $y = -2\text{arcctg}|-x|$

Сначала упростим выражение. Так как $|-x| = |x|$, то функция имеет вид $y = -2\text{arcctg}|x|$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = -2\text{arcctg}|-x| = -2\text{arcctg}|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -2\text{arcctg}(x)$.

1. График $y_1 = \text{arcctg}(x)$ для $x \ge 0$ — это убывающая кривая, идущая из точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox при $x \to +\infty$.

2. График $y_2 = 2\text{arcctg}(x)$ получается растяжением графика $y_1$ в 2 раза вдоль оси Oy. Кривая идет из точки $(0, \pi)$.

3. График $y = -2\text{arcctg}(x)$ получается отражением графика $y_2$ относительно оси Ox. Для $x \ge 0$ это возрастающая кривая, идущая из точки $(0, -\pi)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox ($y=0$) при $x \to +\infty$.

Отражая эту часть графика относительно оси Oy, получаем вторую ветвь для $x < 0$. Она убывает от асимптоты $y=0$ при $x \to -\infty$ до точки минимума $(0, -\pi)$.

Исследуем на монотонность.

- При $x < 0$, $y = -2\text{arcctg}(-x)$. Производная $y' = -2 \cdot \left(-\frac{1}{1+(-x)^2}\right) \cdot (-1) = -\frac{2}{1+x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$.

- При $x > 0$, $y = -2\text{arcctg}(x)$. Производная $y' = -2 \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{2}{1+x^2} > 0$. Функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $y = |\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}|$

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $f(x) = \text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции $y_1 = \text{arctg } x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Это означает, что $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg } x < \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < \text{arctg } x + \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 < \text{arctg } x + \frac{\pi}{2} < \pi$

Таким образом, выражение $\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$ всегда положительно. Следовательно, модуль можно опустить:

$y = |\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}| = \text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$.

График этой функции получается из графика $y = \text{arctg } x$ сдвигом вверх на $\frac{\pi}{2}$.

Функция $y = \text{arctg } x$ является возрастающей на всей своей области определения. Сдвиг вверх не меняет характера монотонности.

Исследуем на монотонность с помощью производной:

$y' = (\text{arctg } x + \frac{\pi}{2})' = \frac{1}{1+x^2}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$, то $1+x^2 > 0$, и, следовательно, $y' = \frac{1}{1+x^2} > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Значит, функция возрастает на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

16.17. Докажите тождество:

1) $2\cot a \cdot \tan(3\pi + a) - 2\sin(-a) \cdot \cos a + \cos(270^\circ - 2a) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) - 2\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = 2;$

2) $1- \cos 4a + \frac{1}{1+\tan^2 2\alpha} - (1- \cos^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 2\alpha} + \tan 3a \cdot \tan(90^\circ - 3a) = 2.$

1) Докажем, что данное выражение не является тождеством. Для этого преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы приведения и основные тождества.

Исходное выражение: $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\pi + \alpha) - 2\text{sin}(-\alpha) \cdot \text{cos}\alpha + \text{cos}(270^\circ - 2\alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 2\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2})$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\pi + \alpha)$. Используя периодичность тангенса ($\text{tg}(x+k\pi)=\text{tg}x$, где $k$ — целое число), получаем $\text{tg}(3\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$. Тогда выражение равно $2\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 2 \cdot 1 = 2$.

2. $-2\text{sin}(-\alpha) \cdot \text{cos}\alpha$. Синус — нечетная функция, поэтому $\text{sin}(-\alpha) = -\text{sin}\alpha$. Выражение становится $-2(-\text{sin}\alpha)\text{cos}\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha = \text{sin}(2\alpha)$.

3. $\text{cos}(270^\circ - 2\alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. По формулам приведения: $\text{cos}(270^\circ - 2\alpha) = \text{cos}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\text{sin}(2\alpha)$ и $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \text{ctg}(2\alpha)$. Тогда произведение равно $-\text{sin}(2\alpha) \cdot \text{ctg}(2\alpha) = -\text{sin}(2\alpha) \cdot \frac{\text{cos}(2\alpha)}{\text{sin}(2\alpha)} = -\text{cos}(2\alpha)$.

4. $-2\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2})$. Косинус — четная функция, $\text{cos}(x) = \text{cos}(-x)$, поэтому $\text{cos}(2\alpha - \frac{\pi}{2}) = \text{cos}(-(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)) = \text{cos}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. По формуле приведения $\text{cos}(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \text{sin}(2\alpha)$. Таким образом, выражение равно $-2\text{sin}(2\alpha)$.

Теперь сложим все упрощенные части:

$2 + \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha) - 2\text{sin}(2\alpha) = 2 - \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha)$.

Полученное выражение $2 - \text{sin}(2\alpha) - \text{cos}(2\alpha)$ не равно 2 для всех значений $\alpha$. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $2 - \text{sin}(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \text{cos}(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2 - \text{sin}(\frac{\pi}{2}) - \text{cos}(\frac{\pi}{2}) = 2 - 1 - 0 = 1$.

Поскольку $1 \neq 2$, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, данное равенство не является тождеством.

2) Докажем, что данное выражение также не является тождеством. Преобразуем его левую часть.

Исходное выражение: $1- \text{cos}4\alpha + \frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha} - (1-\text{cos}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha} + \text{tg}3\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - 3\alpha)$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. $1- \text{cos}4\alpha$. Используя формулу косинуса двойного угла $\text{cos}2x = 1 - 2\text{sin}^2x$, получаем $1 - \text{cos}4\alpha = 1 - (1 - 2\text{sin}^2(2\alpha)) = 2\text{sin}^2(2\alpha)$.

2. $\frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha}$. По основному тригонометрическому тождеству $1+\text{tg}^2x = \frac{1}{\text{cos}^2x}$. Следовательно, $\frac{1}{1+\text{tg}^2 2\alpha} = \text{cos}^2(2\alpha)$.

3. $-(1-\text{cos}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha}$. По основному тригонометрическому тождеству $1-\text{cos}^2x = \text{sin}^2x$. Выражение становится $-(\text{sin}^22\alpha)\cdot\frac{1}{\text{sin}^2 2\alpha} = -1$.

4. $\text{tg}3\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - 3\alpha)$. По формуле приведения $\text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}x$. Выражение равно $\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}3\alpha = 1$.

Теперь сложим все упрощенные части:

$2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha) - 1 + 1 = 2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha)$.

Используя тождество $\text{sin}^2x + \text{cos}^2x = 1$, преобразуем выражение:

$2\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha) = \text{sin}^2(2\alpha) + (\text{sin}^2(2\alpha) + \text{cos}^2(2\alpha)) = \text{sin}^2(2\alpha) + 1$.

Полученное выражение $1 + \text{sin}^2(2\alpha)$ не равно 2 для всех значений $\alpha$. Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $1 + \text{sin}^2(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 1 + \text{sin}^2(\frac{\pi}{3}) = 1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Поскольку $\frac{7}{4} \neq 2$, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, данное равенство не является тождеством.

16.18. Упростите выражение:

1) $1 + 2\text{tg}3a \cdot \text{ctg}(\pi - 3a) + \text{sin}^2 \frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2 \frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2 \frac{2\alpha}{3}$;

2) $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha) + \frac{\text{sin}^4 \alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4 \alpha}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$;

16.19. Постройте графики функции:

1) Для упрощения выражения $1 + 2\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}(\pi - 3\alpha) + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$ применим тригонометрические формулы и тождества.

1. Используем формулу приведения для котангенса: $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$.

Тогда слагаемое $2\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}(\pi - 3\alpha)$ примет вид: $2\text{tg}3\alpha \cdot (-\text{ctg}3\alpha)$

2. Используем основное тригонометрическое тождество $\text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1$.

$2\text{tg}3\alpha \cdot (-\text{ctg}3\alpha) = -2(\text{tg}3\alpha \cdot \text{ctg}3\alpha) = -2 \cdot 1 = -2$.

3. Рассмотрим последнюю часть выражения: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + \text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$.

Вынесем общий множитель $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}$ за скобки: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \left( \text{ctg}^2\frac{2\alpha}{3} + 1 \right)$

4. Используем еще одно основное тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\text{sin}^2x}$.

Тогда выражение в скобках равно $\frac{1}{\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}}$.

5. Подставим это обратно: $\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3} \cdot \frac{1}{\text{sin}^2\frac{2\alpha}{3}} = 1$.

6. Теперь сложим все части выражения: $1 + (-2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha) + \frac{\text{sin}^4\alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4\alpha}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$ разобьем его на части.

1. Упростим первое слагаемое $\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{tg}(\pi + \alpha)$.

Используем формулы приведения:

$\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}\alpha$ (III четверть, тангенс положительный, функция меняется на кофункцию).

$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (III четверть, тангенс положительный, функция не меняется).

Тогда произведение равно: $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$.

2. Упростим второе слагаемое (дробь).

Рассмотрим числитель: $\text{sin}^4\alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \text{cos}^4\alpha$.

Сгруппируем члены: $(\text{sin}^4\alpha - \text{cos}^4\alpha) + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha$.

Разложим разность квадратов: $\text{sin}^4\alpha - \text{cos}^4\alpha = (\text{sin}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha)(\text{sin}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha)$.

Используя тождества $\text{sin}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha = 1$ и $\text{cos}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha = \text{cos}2\alpha$, получаем: $(\text{sin}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha) \cdot 1 = -(\text{cos}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha) = -\text{cos}2\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла: $2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha = \text{sin}2\alpha$.

Таким образом, числитель равен: $-\text{cos}2\alpha + \text{sin}2\alpha$.

3. Рассмотрим знаменатель: $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.

Используем формулу приведения: $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg}x$.

Знаменатель равен $\text{tg}2\alpha$.

4. Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\text{tg}2\alpha}$

5. Подставим все упрощенные части в исходное выражение: $1 + \frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\text{tg}2\alpha}$.

6. Можно продолжить упрощение, заменив $\text{tg}2\alpha = \frac{\text{sin}2\alpha}{\text{cos}2\alpha}$: $1 + \frac{\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha}{\frac{\text{sin}2\alpha}{\text{cos}2\alpha}} = 1 + (\text{sin}2\alpha - \text{cos}2\alpha) \cdot \frac{\text{cos}2\alpha}{\text{sin}2\alpha} = 1 + \frac{\text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$.

Приводя к общему знаменателю: $\frac{\text{sin}2\alpha}{\text{sin}2\alpha} + \frac{\text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha} = \frac{\text{sin}2\alpha + \text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$.

Ответ: $\frac{\text{sin}2\alpha + \text{sin}2\alpha\text{cos}2\alpha - \text{cos}^2(2\alpha)}{\text{sin}2\alpha}$

16.19. Постройте график функции:

1) $y = [\sin x];$

2) $y = [\cos x];$

3) $y = [\sqrt{x}].$

1) $y = [\sin x]$

Функция $[a]$, называемая "целая часть числа" или "антье", возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $a$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-1.5] = -2$.

Для построения графика функции $y = [\sin x]$ сначала проанализируем функцию $z = \sin x$. Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение выражения $[\sin x]$ может быть только одним из целых чисел: $-1$, $0$ или $1$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ функция $y$ принимает эти значения:

1. $y = 1$: Это происходит, когда $\sin x = 1$. Решением этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На графике это будут изолированные точки с ординатой 1.

2. $y = 0$: Это происходит, когда $0 \le \sin x < 1$. Неравенство $\sin x \ge 0$ выполняется на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Из этих отрезков нужно исключить точки, где $\sin x = 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

3. $y = -1$: Это происходит, когда $-1 \le \sin x < 0$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$.

Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим её график на промежутке $[0, 2\pi)$.

- Если $x \in [0, \pi]$, то $\sin x \ge 0$. При этом $\sin x = 1$ только в точке $x = \pi/2$. Значит, на отрезке $[0, \pi]$ функция $y=[\sin x]$ равна 0, за исключением точки $x=\pi/2$, где она равна 1.

- Если $x \in (\pi, 2\pi)$, то $\sin x < 0$, следовательно, $-1 \le \sin x < 0$. Значит, на этом интервале $y=[\sin x]$ равна -1.

Ответ: График функции $y = [\sin x]$ является кусочно-постоянным. Он состоит из бесконечной последовательности следующих элементов:

• изолированных точек вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• горизонтальных отрезков на прямой $y=0$, заданных на объединении промежутков $[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

• горизонтальных интервалов на прямой $y=-1$, заданных на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$.

2) $y = [\cos x]$

Аналогично предыдущему пункту, используем определение функции "целая часть". Область значений функции $z = \cos x$ также является отрезком $[-1, 1]$, поэтому функция $y = [\cos x]$ может принимать только целые значения $-1$, $0$ и $1$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ достигаются эти значения:

1. $y = 1$: Это происходит, когда $\cos x = 1$. Решением являются точки $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На графике это изолированные точки.

2. $y = 0$: Это происходит, когда $0 \le \cos x < 1$. Неравенство $\cos x \ge 0$ выполняется на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$. Из этих отрезков нужно исключить точки, где $\cos x = 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ за исключением точек $x = 2\pi k$.

3. $y = -1$: Это происходит, когда $-1 \le \cos x < 0$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим её график на промежутке $[0, 2\pi)$.

- При $x=0$ имеем $\cos 0 = 1$, так что $y=1$. Это точка $(0,1)$.

- Если $x \in (0, \pi/2]$, то $0 \le \cos x < 1$, следовательно $y=0$.

- Если $x \in (\pi/2, 3\pi/2)$, то $-1 \le \cos x < 0$, следовательно $y=-1$.

- Если $x \in [3\pi/2, 2\pi)$, то $0 \le \cos x < 1$, следовательно $y=0$.

Ответ: График функции $y = [\cos x]$ является кусочно-постоянным и представляет собой сдвинутую версию графика из предыдущего пункта. Он состоит из:

• изолированных точек вида $(2\pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• горизонтальных полуинтервалов и интервалов на прямой $y=0$, например, $(0, \pi/2]$ и $[3\pi/2, 2\pi)$ на периоде $[0, 2\pi)$.

• горизонтальных интервалов на прямой $y=-1$, например, $(\pi/2, 3\pi/2)$ на периоде $[0, 2\pi)$.График периодичен с периодом $2\pi$.

3) $y = [\sqrt{x}]$

Область определения функции $z = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Область значений — $z \ge 0$. Функция $y=[\sqrt{x}]$ будет принимать все целые неотрицательные значения $n \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Найдем, при каких значениях $x$ функция $y$ принимает значение $n$, где $n$ — целое неотрицательное число.

Равенство $y = [\sqrt{x}] = n$ по определению целой части эквивалентно двойному неравенству:

$n \le \sqrt{x} < n+1$

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы выразить $x$:

$n^2 \le (\sqrt{x})^2 < (n+1)^2$

$n^2 \le x < (n+1)^2$

Теперь мы можем построить график, придавая $n$ различные целые неотрицательные значения:

- Если $n=0$, то $y=0$ при $0^2 \le x < (0+1)^2$, то есть $0 \le x < 1$.

- Если $n=1$, то $y=1$ при $1^2 \le x < (1+1)^2$, то есть $1 \le x < 4$.

- Если $n=2$, то $y=2$ при $2^2 \le x < (2+1)^2$, то есть $4 \le x < 9$.

- Если $n=3$, то $y=3$ при $3^2 \le x < (3+1)^2$, то есть $9 \le x < 16$.

И так далее.

Ответ: График функции $y = [\sqrt{x}]$ представляет собой бесконечную совокупность горизонтальных отрезков ("ступенек"), расположенных друг над другом. Каждая ступенька начинается с целого значения на оси $y$ и простирается вправо. Для каждого целого $n \ge 0$, график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=n$ для значений $x$ из полуинтервала $[n^2, (n+1)^2)$. Левый конец отрезка, точка $(n^2, n)$, принадлежит графику, а правый конец, точка $((n+1)^2, n)$, — не принадлежит. Длина каждой следующей ступеньки увеличивается.

53.7. Найдите математическое ожидание и дисперсию, используя закон распределения случайной величины, заданный таблицей 41.

Таблица 41

Математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности. Формула для расчета: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Для заданных в таблице значений вычисляем:

$M(X) = 2 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,4 + 7 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,2 = 0,4 + 2,0 + 1,4 + 2,0 = 5,8$.

Ответ: 5,8.

Дисперсия

Дисперсия $D(X)$ является мерой разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Она вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ по формуле $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$:

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,4 + 7^2 \cdot 0,2 + 10^2 \cdot 0,2 = 4 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,4 + 49 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,2 = 0,8 + 10,0 + 9,8 + 20,0 = 40,6$.

Теперь, используя найденные значения $M(X) = 5,8$ и $M(X^2) = 40,6$, вычисляем дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 40,6 - (5,8)^2 = 40,6 - 33,64 = 6,96$.

Ответ: 6,96.

53.8. Дискретная случайная величина $X$ задана законом распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины $2X$ (табл. 42).

Таблица 42

Для решения задачи необходимо найти математическое ожидание $M(2X)$ и дисперсию $D(2X)$. Мы можем сделать это, используя свойства математического ожидания и дисперсии, предварительно рассчитав $M(X)$ и $D(X)$ для случайной величины $X$.

Закон распределения случайной величины $X$ задан таблицей:

Сначала вычислим числовые характеристики для случайной величины $X$.

1. Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$: $M(X) = 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 6 \cdot 0,5 = 0,8 + 1,5 + 3,0 = 5,3$

2. Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Для этого сначала найдем $M(X^2)$: $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 + 6^2 \cdot 0,5$ $M(X^2) = 16 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 + 36 \cdot 0,5 = 3,2 + 7,5 + 18,0 = 28,7$

Теперь вычисляем дисперсию $D(X)$: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 28,7 - (5,3)^2 = 28,7 - 28,09 = 0,61$

Теперь, зная $M(X)$ и $D(X)$, найдем искомые характеристики для величины $2X$.

Математическое ожидание величины 2X

Используем свойство математического ожидания $M(cX) = c \cdot M(X)$, где $c$ - константа. В нашем случае $c=2$: $M(2X) = 2 \cdot M(X) = 2 \cdot 5,3 = 10,6$

Ответ: $M(2X) = 10,6$.

Дисперсия величины 2X

Используем свойство дисперсии $D(cX) = c^2 \cdot D(X)$, где $c$ - константа. В нашем случае $c=2$: $D(2X) = 2^2 \cdot D(X) = 4 \cdot D(X) = 4 \cdot 0,61 = 2,44$

Ответ: $D(2X) = 2,44$.

53.9. Вычислите $M(X+Y)$, $D(X+Y)$, если независимые случайные величины $X$ и $Y$ распределены по следующему закону (табл. 43, 44):

Таблица 43

Значения $X$: 6, 12, 14, 20

Вероятности $P$: 0,25, 0,3, 0,2, 0,25

Таблица 44

Значения $Y$: 3, 8, 12, 16

Вероятности $P$: 0,2, 0,3, 0,2, 0,3

M(X+Y)

Для нахождения математического ожидания суммы случайных величин используется свойство аддитивности математического ожидания: $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$. Это свойство справедливо для любых случайных величин, в том числе и для независимых, как указано в условии задачи.

Сначала вычислим математическое ожидание для каждой случайной величины отдельно.

Для случайной величины X (согласно Таблице 43):

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:

$M(X) = \sum x_i p_i = 6 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,3 + 14 \cdot 0,2 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 3,6 + 2,8 + 5,0 = 12,9$

Для случайной величины Y (согласно Таблице 44):

$M(Y) = \sum y_i p_i = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,2 + 16 \cdot 0,3 = 0,6 + 2,4 + 2,4 + 4,8 = 10,2$

Теперь, зная $M(X)$ и $M(Y)$, мы можем найти $M(X+Y)$:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,9 + 10,2 = 23,1$

Ответ: $M(X+Y) = 23,1$

D(X+Y)

Поскольку случайные величины X и Y независимы, дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$.

Вычислим дисперсию для каждой случайной величины по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для случайной величины X:

Сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 6^2 \cdot 0,25 + 12^2 \cdot 0,3 + 14^2 \cdot 0,2 + 20^2 \cdot 0,25 = 36 \cdot 0,25 + 144 \cdot 0,3 + 196 \cdot 0,2 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 43,2 + 39,2 + 100 = 191,4$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 191,4 - (12,9)^2 = 191,4 - 166,41 = 24,99$

Для случайной величины Y:

Сначала найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 12^2 \cdot 0,2 + 16^2 \cdot 0,3 = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 144 \cdot 0,2 + 256 \cdot 0,3 = 1,8 + 19,2 + 28,8 + 76,8 = 126,6$

Теперь вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 126,6 - (10,2)^2 = 126,6 - 104,04 = 22,56$

Наконец, зная $D(X)$ и $D(Y)$, мы можем найти $D(X+Y)$:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 24,99 + 22,56 = 47,55$

Ответ: $D(X+Y) = 47,55$

53.10. Заданы законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле (табл. 45, 46):

Таблица 45

X 8 8 10

P 0,3 0,2 0,5

Таблица 46

Y 8 9 10

P 0,5 0,2 0,3

Какой стрелок точнее попадает в цель?

Чтобы определить, какой из двух стрелков точнее попадает в цель, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения: математическое ожидание и дисперсию (или среднеквадратическое отклонение). Математическое ожидание покажет среднее количество очков, которое набирает стрелок, а дисперсия — насколько сильно его результаты отклоняются от среднего, то есть его стабильность.

Анализ стрельбы первого стрелка (случайная величина X)

Закон распределения для первого стрелка (таблица 45) имеет две колонки со значением 8. Для корректного анализа необходимо объединить вероятности для этого значения: $P(X=8) = 0,3 + 0,2 = 0,5$. Таким образом, закон распределения для первого стрелка выглядит так: $P(X=8) = 0,5$ и $P(X=10) = 0,5$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$ (средний результат):

$M(X) = \sum x_i p_i = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4 + 5 = 9$.

Теперь найдем дисперсию $D(X)$, которая характеризует разброс значений. Для этого сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 64 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$.

Дисперсия вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$:

$D(X) = 82 - 9^2 = 82 - 81 = 1$.

Анализ стрельбы второго стрелка (случайная величина Y)

Закон распределения для второго стрелка (таблица 46): $P(Y=8)=0,5$, $P(Y=9)=0,2$ и $P(Y=10)=0,3$.

Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,5 + 9 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,3 = 4 + 1,8 + 3 = 8,8$.

Найдем дисперсию $D(Y)$. Сначала вычислим $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 9^2 \cdot 0,2 + 10^2 \cdot 0,3 = 64 \cdot 0,5 + 81 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,3 = 32 + 16,2 + 30 = 78,2$.

Дисперсия $D(Y)$ равна:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 78,2 - (8,8)^2 = 78,2 - 77,44 = 0,76$.

Сравнение и вывод

Сравним полученные характеристики:

1. Математическое ожидание: $M(X) = 9$, $M(Y) = 8,8$. Так как $M(X) > M(Y)$, первый стрелок в среднем набирает больше очков.

2. Дисперсия: $D(X) = 1$, $D(Y) = 0,76$. Так как $D(Y) < D(X)$, результаты второго стрелка более стабильны и имеют меньший разброс. Меньшая дисперсия говорит о большей "кучности" или точности в смысле постоянства.

Таким образом, первый стрелок более результативен, а второй — более стабилен. В задачах такого типа, если не оговорено иное, главным критерием "лучшей" стрельбы является математическое ожидание, так как оно отражает средний результат на длинной дистанции. Более высокий средний балл — показатель более высокого мастерства.

Ответ: Первый стрелок попадает в цель точнее (результативнее), так как его математическое ожидание (среднее количество очков) равно 9, что больше, чем у второго стрелка (8,8).

53.11. Найдите величины $M(X)$, $D(X)$, $M(2X + 5)$, если закон распределения случайной величины задан таблицей 47.

Таблица 47

M(X)

Математическое ожидание (M(X)), или среднее значение, дискретной случайной величины X вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Прежде всего, убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,3 + 0,1 + 0,5 + 0,1 = 1$.

Теперь подставим значения из таблицы распределения в формулу математического ожидания:

$M(X) = 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,1 = 0,6 + 0,3 + 2,0 + 0,5 = 3,4$.

Ответ: $M(X) = 3,4$.

D(X)

Дисперсия (D(X)) характеризует разброс значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Для этого сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$. Оно вычисляется по формуле:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

Вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,1 = 1,2 + 0,9 + 8,0 + 2,5 = 12,6$.

Теперь, используя ранее найденное значение $M(X) = 3,4$, вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 12,6 - (3,4)^2 = 12,6 - 11,56 = 1,04$.

Ответ: $D(X) = 1,04$.

M(2X + 5)

Для нахождения математического ожидания линейного преобразования случайной величины $Y = aX + b$ используется свойство линейности математического ожидания:

$M(aX + b) = aM(X) + b$

В данном случае постоянные $a = 2$ и $b = 5$. Мы уже вычислили, что $M(X) = 3,4$.

Применим это свойство:

$M(2X + 5) = 2 \cdot M(X) + 5 = 2 \cdot 3,4 + 5 = 6,8 + 5 = 11,8$.

Ответ: $M(2X + 5) = 11,8$.