Страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \arccos x$ (рис. 16.8).

Рис. 16.8

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Глядя на график, мы видим, что кривая существует только для значений $x$, находящихся в промежутке от -1 до 1 включительно. Это проекция графика на ось Ox.

Ответ: $x \in [-1; 1]$

Область (множество) значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Из графика видно, что значения функции лежат в диапазоне от 0 до $\pi$ включительно. Это проекция графика на ось Oy.

Ответ: $y \in [0; \pi]$

Четность (нечетность)

Функция является четной, если ее график симметричен относительно оси Oy. Функция является нечетной, если ее график симметричен относительно начала координат. График функции $y = \arccos x$ не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Например, $\arccos(1) = 0$, а $\arccos(-1) = \pi$. Так как $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, то есть не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, то функция является функцией общего вида.

Ответ: ни четная, ни нечетная

Монотонность

На графике видно, что с увеличением аргумента $x$ от -1 до 1 значение функции $y$ уменьшается от $\pi$ до 0. Следовательно, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке $[-1; 1]$

Наибольшее значение

Наибольшее значение функции — это максимальное значение по оси Oy, которое достигается на графике. Из графика видно, что самая высокая точка графика имеет координаты $(-1, \pi)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $\pi$.

Ответ: $y_{наиб.} = \pi$ (достигается при $x = -1$)

Наименьшее значение

Наименьшее значение функции — это минимальное значение по оси Oy, которое достигается на графике. Из графика видно, что самая низкая точка графика имеет координаты $(1, 0)$. Таким образом, наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: $y_{наим.} = 0$ (достигается при $x = 1$)

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). На графике это точка пересечения с осью Ox. Мы видим, что график пересекает ось Ox в точке, где $x=1$.

Ответ: $x = 1$

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y=\arccos x$ (рис. 16.7)?

Рис. 16.7

График функции $y = \arccos x$ строится на основе графика функции $y = \cos x$, так как арккосинус является обратной функцией к косинусу. Построение основано на том, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

1. Изначально рассматривается функция $y = \cos x$. Эта функция периодическая, поэтому для нахождения обратной функции ее область определения необходимо ограничить. Выбирается такой промежуток, на котором функция будет монотонной (то есть либо только возрастать, либо только убывать). Стандартно для функции $y = \cos x$ выбирают отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке функция косинуса непрерывна и монотонно убывает от $1$ до $-1$. На рисунке этот участок графика показан жирной черной линией.

2. Область определения и область значений для обратной функции $y = \arccos x$ меняются местами по сравнению с исходной функцией $y = \cos x$ на отрезке $[0, \pi]$. Таким образом:

- Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

- Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$.

3. Для построения графика $y = \arccos x$ (серая кривая на рисунке) необходимо симметрично отразить относительно прямой $y=x$ участок графика $y = \cos x$, соответствующий отрезку $[0, \pi]$. Это равносильно тому, что для каждой точки $(a, b)$ на графике косинуса, на график арккосинуса наносится точка с координатами $(b, a)$.

Рассмотрим ключевые точки:

- Точка $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(1, 0)$ на графике $y=\arccos x$.

- Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, \frac{\pi}{2})$ на графике $y=\arccos x$.

- Точка $(\pi, -1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(-1, \pi)$ на графике $y=\arccos x$.

Соединив эти новые точки плавной кривой, мы и получаем график функции $y = \arccos x$.

Ответ: График функции $y = \arccos x$ построен путем симметричного отражения графика функции $y = \cos x$, взятого на отрезке $[0, \pi]$, относительно прямой $y=x$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \text{arctgx}$, используя график функции $y = \text{tgx}$ (рис. 16.9), рассматривают только часть тангенсоиды (рис. 16.10)?

Рис. 16.9

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$. По определению, обратная функция может существовать только для обратимой функции. Основным свойством обратимой функции является ее монотонность, то есть она должна быть строго возрастающей или строго убывающей на всей своей области определения. Если функция монотонна, то каждому значению функции $y$ соответствует только одно значение аргумента $x$.

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{tg} x$, который называется тангенсоидой (рис. 16.9). Эта функция является периодической с периодом $T = \pi$. Из-за периодичности одному и тому же значению $y$ соответствует бесконечное множество значений $x$ (например, $\operatorname{tg} 0 = 0$, $\operatorname{tg} \pi = 0$, $\operatorname{tg} (k\pi) = 0$ для любого целого $k$). Это означает, что функция $y = \operatorname{tg} x$ на всей своей области определения не является монотонной и, следовательно, не является обратимой.

Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо сузить ее область определения до такого интервала, на котором она будет монотонной. Для тангенса принято выбирать интервал, на котором функция строго возрастает и который симметричен относительно начала координат. Таким интервалом является главная ветвь тангенсоиды — участок на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

На этом интервале функция $y = \operatorname{tg} x$:

1. Является строго возрастающей.

2. Каждому значению аргумента $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению $y$ из $(-\infty; +\infty)$ соответствует единственное значение $x$ из $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Именно для этой, ограниченной на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, функции $y = \operatorname{tg} x$ и вводится обратная функция $y = \operatorname{arctg} x$. График обратной функции $y = \operatorname{arctg} x$ симметричен графику исходной функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \operatorname{arctg} x$ рассматривают только часть тангенсоиды, потому что функция $y = \operatorname{tg} x$ является обратимой (имеет обратную функцию) только на интервалах своей монотонности. По соглашению выбирается главная ветвь на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \operatorname{tg} x$ строго возрастает.

52.13. Дискретная случайная величина $X$ задана законом распределения.

Таблица 34

$X$ | 2,0 | 2,4 | 2,8 | 3,2 | 3,4

$P$ | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,2

Постройте многоугольник распределения величины $X$.

Многоугольник распределения дискретной случайной величины — это графическое представление ее закона распределения. Для построения многоугольника распределения необходимо в прямоугольной декартовой системе координат построить точки, абсциссами которых являются возможные значения случайной величины $x_i$, а ординатами — соответствующие им вероятности $p_i$. Затем эти точки последовательно соединяются отрезками прямых.

Согласно таблице, закон распределения случайной величины X задается следующими парами значений и вероятностей:

Значение $x_1 = 2.0$ с вероятностью $p_1 = 0.1$

Значение $x_2 = 2.4$ с вероятностью $p_2 = 0.2$

Значение $x_3 = 2.8$ с вероятностью $p_3 = 0.3$

Значение $x_4 = 3.2$ с вероятностью $p_4 = 0.3$

Значение $x_5 = 3.4$ с вероятностью $p_5 = 0.2$

Таким образом, для построения многоугольника распределения нужно отметить на координатной плоскости точки с координатами $(x_i, p_i)$:

$M_1(2.0, 0.1)$

$M_2(2.4, 0.2)$

$M_3(2.8, 0.3)$

$M_4(3.2, 0.3)$

$M_5(3.4, 0.2)$

Далее необходимо последовательно соединить эти точки отрезками. Полученная ломаная линия $M_1M_2M_3M_4M_5$ является искомым многоугольником распределения.

Примечание: Сумма указанных вероятностей равна $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.3 + 0.2 = 1.1$, что не равно 1. В корректно составленной задаче сумма всех вероятностей дискретной случайной величины должна быть равна 1. Однако, для построения графика используются предоставленные в условии данные.

Ответ: Многоугольник распределения — это ломаная линия, которая последовательно соединяет точки с координатами $(2.0, 0.1)$, $(2.4, 0.2)$, $(2.8, 0.3)$, $(3.2, 0.3)$ и $(3.4, 0.2)$. По оси абсцисс откладываются значения случайной величины X, а по оси ординат — их вероятности P.

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

52.14. Понятие случайной величины в научный обиход ввел С. Пуассон — знаменитый французский физик и математик. Строго формализованное определение случайной величины дал в конце 20-х годов прошлого века А. Н. Колмогоров — советский математик, один из крупнейших математиков XX в.

Симеон Пуассон
(1781–1840)

Колмогоров Андрей Николаевич
(1903–1987)

Понятие случайной величины является одним из фундаментальных в теории вероятностей. Оно служит мостом между результатами случайного эксперимента и числами, позволяя применять к случайным явлениям мощный аппарат математического анализа. Формирование этого понятия — результат работы нескольких поколений математиков.

Впервые в научный обиход понятие случайной величины ввёл выдающийся французский физик и математик Симеон Дени Пуассон (1781–1840). В своих работах по теории вероятностей он оперировал величинами, значения которых зависят от исхода случайного события. Это было интуитивное, неформальное введение, которое, тем не менее, позволило ему решить множество важных задач и открыть, в частности, распределение, названное его именем — распределение Пуассона.

Однако для превращения теории вероятностей в строгую математическую дисциплину требовалось формальное, аксиоматическое основание. Эту задачу решил один из крупнейших математиков XX века, советский ученый Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987). В конце 20-х годов прошлого века (его знаменитая монография «Основные понятия теории вероятностей» вышла в 1933 году) он предложил систему аксиом, которая легла в основу современной теории вероятностей. В рамках этой системы Колмогоров дал строгое определение случайной величины.

Согласно этому определению, случайная величина — это не любая переменная, а функция $X$, определённая на пространстве элементарных событий $\Omega$. Эта функция ставит в соответствие каждому элементарному событию $\omega$ (элементу множества $\Omega$) некоторое действительное число $X(\omega)$. Например, при двукратном подбрасывании монеты пространство элементарных событий $\Omega = \{\text{ОО, ОР, РО, РР}\}$. Мы можем определить случайную величину $Y$ как «число выпавших орлов». Тогда $Y(\text{ОО}) = 2$, $Y(\text{ОР}) = 1$, $Y(\text{РО}) = 1$ и $Y(\text{РР}) = 0$. Такое определение позволяет исследовать свойства случайной величины (например, её математическое ожидание или дисперсию) методами математического анализа.

Таким образом, путь от интуитивной идеи С. Пуассона до строгого аксиоматического определения А. Н. Колмогорова ознаменовал превращение теории вероятностей из набора прикладных рецептов в полноценную и строгую область математики.

Ответ: Понятие случайной величины в научный оборот ввёл французский учёный С. Пуассон. Строгое формализованное определение, которое используется в современной математике, было дано в конце 1920-х годов советским математиком А. Н. Колмогоровым, который построил аксиоматический фундамент теории вероятностей.

52.15. Найдите производную функции:

1) $y=(5x-1)^5+5x^2+\tan2x;$

2) $y=2(3x^2-x)^4-\cos2x-7x^6-5.$

1) Для функции $y = (5x-1)^5 + 5x^2 + \text{tg}(2x)$ найдем производную, используя правило дифференцирования суммы, то есть найдем производную каждого слагаемого и сложим результаты.Производная первого слагаемого, $(5x-1)^5$, является производной сложной функции. По правилу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, получаем: $((5x-1)^5)' = 5(5x-1)^{4} \cdot (5x-1)' = 5(5x-1)^4 \cdot 5 = 25(5x-1)^4$.Производная второго слагаемого, $5x^2$, находится по правилу степенной функции: $(5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.Производная третьего слагаемого, $\text{tg}(2x)$, также является производной сложной функции. По правилу $(\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u'$, получаем: $(\text{tg}(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.Сложив полученные производные, получаем итоговый результат:$y' = 25(5x-1)^4 + 10x + \frac{2}{\cos^2(2x)}$.Ответ: $y' = 25(5x-1)^4 + 10x + \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

2) Для функции $y = 2(3x^2 - x)^4 - \cos(2x) - 7x^6 - 5$ найдем производную, дифференцируя каждое слагаемое.Производная первого слагаемого, $2(3x^2 - x)^4$, находится по правилу производной сложной функции: $(2(3x^2 - x)^4)' = 2 \cdot 4(3x^2 - x)^3 \cdot (3x^2-x)' = 8(3x^2 - x)^3(6x-1)$.Производная второго слагаемого, $-\cos(2x)$: $(-\cos(2x))' = -(-\sin(2x)) \cdot (2x)' = 2\sin(2x)$.Производная третьего слагаемого, $-7x^6$: $(-7x^6)' = -7 \cdot 6x^5 = -42x^5$.Производная константы $-5$ равна нулю.Собрав все части вместе, получаем:$y' = 8(6x-1)(3x^2-x)^3 + 2\sin(2x) - 42x^5$.Ответ: $y' = 8(6x-1)(3x^2-x)^3 + 2\sin(2x) - 42x^5$.

52.16. Дан график производной функции (рис. 52.3).

Запишите точки максимума и минимума функции.

Рис. 52.3

На изображении представлен график производной функции $y=f'(x)$. Точки экстремума (максимума и минимума) исходной функции $f(x)$ определяются по поведению ее производной.

Точки экстремума функции находятся там, где ее производная равна нулю или не существует, и при этом меняет свой знак. В данном случае производная существует на всей числовой оси. Найдем точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. Это точки пересечения графика производной с осью абсцисс $Ox$.Из графика видно, что $f'(x) = 0$ при $x = -2$, $x = -1$ и $x = 2$.

Теперь проанализируем, как меняется знак производной при переходе через эти точки, чтобы определить, какие из них являются точками максимума, а какие — точками минимума.

Точки максимума

Точка максимума функции — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Это соответствует переходу функции $f(x)$ от возрастания к убыванию.

На графике видно, что в точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» (график расположен выше оси $Ox$ на интервале $(-2, -1)$) на «−» (график расположен ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 2)$).

Следовательно, $x = -1$ является точкой максимума функции.

Точки минимума

Точка минимума функции — это точка, в которой производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Это соответствует переходу функции $f(x)$ от убывания к возрастанию.

Рассмотрим точку $x = -2$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «−» (график ниже оси $Ox$ при $x < -2$) на «+» (график выше оси $Ox$ на интервале $(-2, -1)$). Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.

Рассмотрим точку $x = 2$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «−» (график ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 2)$) на «+» (график выше оси $Ox$ при $x > 2$). Следовательно, $x = 2$ также является точкой минимума.

Таким образом, функция имеет две точки минимума.

Ответ: точка максимума $x = -1$; точки минимума $x = -2$ и $x = 2$.

52.17. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 5 - 2x^2 + x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.

1) $y = 5 - 2x^2 + x^4$

Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить ее знак. Промежутки, где производная положительна, соответствуют возрастанию функции, а где отрицательна — убыванию.

1. Область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Перепишем функцию для удобства: $y = x^4 - 2x^2 + 5$.

$y' = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

- На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(3) = -24 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 1)$: возьмем $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$: возьмем $x = 2$. $y'(2) = 4(2)(2^2 - 1) = 8(3) = 24 > 0$. Функция возрастает.

5. Запишем промежутки монотонности, включая концы интервалов, так как функция непрерывна.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

2) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$

1. Область определения функции. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = \frac{1}{2}x - 2x^{-1}$.

$y' = (\frac{1}{2}x - 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2(-1)x^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Попробуем решить уравнение $y'=0$.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{2}{x^2} = -\frac{1}{2}$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть $\frac{2}{x^2}$ всегда положительна, а правая — отрицательна.

4. Так как критических точек нет, знак производной постоянен на каждом из интервалов области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Проверим знак производной $y' = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}$. Для любого $x \neq 0$, $x^2 > 0$, следовательно $\frac{2}{x^2} > 0$. Сумма двух положительных чисел $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{x^2}$ всегда положительна. Таким образом, $y' > 0$ на всей области определения функции.

5. Функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) $y = -\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$

1. Область определения функции. Функция не определена при $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = -\frac{1}{3}x + 3x^{-1}$.

$y' = (-\frac{1}{3}x + 3x^{-1})' = -\frac{1}{3} + 3(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Решим уравнение $y'=0$.

$-\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0$

$-\frac{3}{x^2} = \frac{1}{3}$

$x^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных решений.

4. Критических точек нет, поэтому знак производной постоянен на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак производной $y' = -\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$. Вынесем минус за скобки: $y' = -(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^2})$. Для любого $x \neq 0$, $x^2 > 0$, значит $\frac{3}{x^2} > 0$. Выражение в скобках $(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^2})$ является суммой двух положительных чисел и всегда положительно. Так как перед скобками стоит знак минус, производная $y'$ всегда отрицательна на всей области определения.

5. Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.