Страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите теорему о корне для случая, если $y = f(x)$ — убывающая функция.

Теорема о корне для убывающей функции

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a, b]$, и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$, то на интервале $(a, b)$ существует единственный корень уравнения $f(x) = 0$.

Доказательство

Доказательство состоит из двух ключевых частей: доказательства существования корня и доказательства его единственности.

1. Существование корня

По условию теоремы, функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и $f(a) \cdot f(b) < 0$. Это означает, что значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки. Эти условия в точности соответствуют условиям теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Согласно этой теореме, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке внутри этого отрезка. Следовательно, существует как минимум одна точка $c$, принадлежащая интервалу $(a, b)$, для которой выполняется равенство $f(c) = 0$.

Таким образом, существование по крайней мере одного корня доказано.

Замечание: Поскольку функция $f(x)$ убывает, из неравенства $a < b$ следует, что $f(a) > f(b)$. Тогда условие $f(a) \cdot f(b) < 0$ однозначно определяет, что $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

2. Единственность корня

Теперь докажем, что такой корень может быть только один. Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что на интервале $(a, b)$ существуют два различных корня уравнения $f(x) = 0$. Обозначим их как $c_1$ и $c_2$. Пусть для определенности $c_1 < c_2$.

По определению корня, мы имеем:

$f(c_1) = 0$

$f(c_2) = 0$

Из этого следует, что $f(c_1) = f(c_2)$.

Однако по условию теоремы функция $f(x)$ является строго убывающей на отрезке $[a, b]$. По определению строго убывающей функции, для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то должно выполняться строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Применив это определение к нашим корням $c_1$ и $c_2$, из того, что $c_1 < c_2$, должно следовать, что $f(c_1) > f(c_2)$.

Но мы получили, что $f(c_1) = f(c_2) = 0$, что привело бы к ложному утверждению $0 > 0$. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных корней было неверным. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня на интервале $(a, b)$.

Заключение

Из первой части доказательства мы установили, что существует как минимум один корень. Из второй части мы установили, что существует не более одного корня. Объединяя эти два вывода, мы заключаем, что на интервале $(a, b)$ существует ровно один (единственный) корень уравнения $f(x) = 0$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказательство основано на двух положениях. Во-первых, по теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях, для непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, гарантируется существование как минимум одного корня. Во-вторых, свойство строгой убывающей функции (если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$) исключает возможность существования более одного корня, что доказывается методом от противного. Таким образом, при заданных условиях корень существует и он единственный.

Почему в выражении $ \arcsin a $ для числа $ a $ вводятся ограничения $ |a| \le 1 $?

Ограничение $|a| \le 1$ для выражения $\arcsin(a)$ напрямую следует из определения арксинуса как функции, обратной к синусу, и из свойств самой функции синуса. Давайте разберем это по шагам.

1. Определение функции синус и ее область значений

Функция синус, $y = \sin(x)$, сопоставляет углу (или вещественному числу) $x$ значение, которое, с геометрической точки зрения, является ординатой точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Независимо от того, какой угол $x$ мы возьмем, его синус всегда будет находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Другими словами, область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Математически это записывается так:

$-1 \le \sin(x) \le 1$ для любого $x \in R$.

Не существует такого угла, синус которого был бы, например, равен 2 или -1.5.

Ответ: Область значений функции $y=\sin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Определение функции арксинус как обратной функции

Арксинус числа $a$ (записывается как $\arcsin(a)$) — это такой угол $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

То есть, равенство $y = \arcsin(a)$ по определению означает, что выполняются два условия:

1. $\sin(y) = a$

2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Арксинус является обратной функцией к функции синуса, но не на всей числовой прямой, а на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, где синус монотонен.

Ответ: $\arcsin(a)$ — это угол, синус которого равен $a$.

3. Связь областей определения и значений для обратных функций

Ключевое свойство взаимно обратных функций заключается в том, что область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции.

В нашем случае:

• Исходная функция: $y = \sin(x)$
• Область ее значений: $[-1, 1]$
• Обратная функция: $y = \arcsin(a)$

Поскольку значения $\sin(x)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то и аргумент $a$ для функции $\arcsin(a)$ может принимать значения только из этого отрезка.

Ответ: Область определения функции $\arcsin(a)$ должна совпадать с областью значений функции $\sin(x)$, то есть быть отрезком $[-1, 1]$.

Вывод

Итак, мы ищем $\arcsin(a)$. Это значит, мы ищем угол, синус которого равен $a$. Так как синус любого угла не может быть больше 1 и меньше -1, то и число $a$, для которого мы ищем арксинус, обязано находиться в этих же границах. Условие $-1 \le a \le 1$ в точности соответствует записи $|a| \le 1$. Если бы мы попытались найти, например, $\arcsin(2)$, мы бы искали угол $y$, для которого $\sin(y) = 2$, что невозможно. Поэтому такое выражение не определено.

Ответ: Ограничение $|a| \le 1$ является следствием того, что область значений функции синус, для которой арксинус является обратной функцией, есть отрезок $[-1, 1]$. Аргумент арксинуса $a$ по определению не может выходить за пределы этого отрезка.

51.5.1) $f(x) = 4x^2$, $[-1; 1];$

2) $f(x) = -2x^3$, $[-1; 1].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

$f'(x) = (4x^2)' = 8x$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.

$f'(x) = 0 \implies 8x = 0 \implies x = 0$.

3. Убедиться, что критическая точка принадлежит заданному отрезку.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

4. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка.

$f(0) = 4 \cdot 0^2 = 0$.

$f(-1) = 4 \cdot (-1)^2 = 4 \cdot 1 = 4$.

$f(1) = 4 \cdot 1^2 = 4 \cdot 1 = 4$.

5. Сравнить полученные значения.

Наименьшее значение из $\{0, 4, 4\}$ равно 0.

Наибольшее значение из $\{0, 4, 4\}$ равно 4.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0, наибольшее значение равно 4.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -2x^3$ на отрезке $[-1; 1]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

$f'(x) = (-2x^3)' = -6x^2$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.

$f'(x) = 0 \implies -6x^2 = 0 \implies x = 0$.

3. Убедиться, что критическая точка принадлежит заданному отрезку.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

4. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка.

$f(0) = -2 \cdot 0^3 = 0$.

$f(-1) = -2 \cdot (-1)^3 = -2 \cdot (-1) = 2$.

$f(1) = -2 \cdot 1^3 = -2 \cdot 1 = -2$.

5. Сравнить полученные значения.

Наименьшее значение из $\{0, 2, -2\}$ равно -2.

Наибольшее значение из $\{0, 2, -2\}$ равно 2.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно -2, наибольшее значение равно 2.

51.6.1) Число 25 разложите на два слагаемых так, чтобы значение их произведения было наибольшим.

2) Число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы значение суммы их квадратов было наибольшим.

3) На какие два положительных слагаемых надо разложить число 147, чтобы значение произведения одного из них на квадратный корень из другого было наибольшим?

1) Пусть число 25 разложено на два слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 25$. Отсюда можно выразить $y = 25 - x$.

Нам нужно найти наибольшее значение их произведения $P = x \cdot y$. Подставим выражение для $y$:

$P(x) = x \cdot (25 - x) = 25x - x^2$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Абсциссу вершины параболы $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 25$.

$x_0 = -25 / (2 \cdot (-1)) = 12,5$.

Таким образом, одно из слагаемых равно 12,5. Найдем второе слагаемое:

$y = 25 - x = 25 - 12,5 = 12,5$.

Следовательно, чтобы произведение было наибольшим, число 25 нужно разложить на два равных слагаемых.

Ответ: 12,5 и 12,5.

2) Пусть число 16 разложено на два слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 16$, откуда $y = 16 - x$.

Нам нужно найти наибольшее значение суммы их квадратов $S = x^2 + y^2$. Подставим выражение для $y$:

$S(x) = x^2 + (16 - x)^2 = x^2 + (256 - 32x + x^2) = 2x^2 - 32x + 256$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Такая функция не имеет наибольшего значения на всей числовой оси. Однако, если рассматривать разложение на неотрицательные слагаемые (что обычно подразумевается в таких задачах), то $x \ge 0$ и $y = 16 - x \ge 0$, что задает отрезок $x \in [0, 16]$.

На отрезке квадратичная функция с ветвями вверх достигает своего наибольшего значения на одном из концов отрезка.

Найдем значения функции $S(x)$ на концах отрезка $[0, 16]$:

При $x = 0$: $y = 16$, $S(0) = 0^2 + 16^2 = 256$.

При $x = 16$: $y = 0$, $S(16) = 16^2 + 0^2 = 256$.

Наименьшее значение функция принимает в вершине $x_0 = -(-32) / (2 \cdot 2) = 8$, где $S(8) = 8^2+8^2 = 128$.

Таким образом, наибольшее значение суммы квадратов достигается, когда слагаемые равны 0 и 16.

Ответ: 0 и 16.

3) Пусть число 147 разложено на два положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x > 0, y > 0$.

$x + y = 147$, откуда $y = 147 - x$. Из условия $y > 0$ следует, что $147 - x > 0$, то есть $x < 147$. Таким образом, $x \in (0, 147)$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения одного из них на квадратный корень из другого. Обозначим эту величину как $F$. Есть два варианта: $x\sqrt{y}$ или $y\sqrt{x}$. Рассмотрим первый случай и найдем, при каких $x$ и $y$ он максимален.

$F(x) = x\sqrt{147 - x}$.

Чтобы найти максимум функции, найдем ее производную и приравняем к нулю.

$F'(x) = (x \cdot (147 - x)^{1/2})' = 1 \cdot \sqrt{147-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{147-x}} \cdot (-1) = \sqrt{147-x} - \frac{x}{2\sqrt{147-x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{2(147-x) - x}{2\sqrt{147-x}} = \frac{294 - 2x - x}{2\sqrt{147-x}} = \frac{294 - 3x}{2\sqrt{147-x}}$.

Приравняем производную к нулю:

$294 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 294 \Rightarrow x = 98$.

Точка $x=98$ принадлежит интервалу $(0, 147)$. Проверим знак производной: при $x < 98$ производная $F'(x) > 0$ (функция возрастает), а при $x > 98$ производная $F'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $x=98$ является точкой максимума.

Найдем второе слагаемое:

$y = 147 - x = 147 - 98 = 49$.

Таким образом, искомые слагаемые — это 98 и 49. При этом значение выражения $x\sqrt{y}$ равно $98\sqrt{49} = 98 \cdot 7 = 686$, а значение выражения $y\sqrt{x}$ равно $49\sqrt{98} = 49 \cdot 7\sqrt{2} = 343\sqrt{2} \approx 485$. Наибольшее значение достигается, когда первое слагаемое равно 98, а второе 49.

Ответ: 98 и 49.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на множестве (51.7–51.9):

51.7.1) $f(x) = x^2 - 8x + 17, [-1; 2];$

2) $f(x) = x^2 - 4x + 3, [1; 2].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо следовать алгоритму:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 - 8x + 17)' = 2x - 8$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-1; 2]$.

Точка $x=4$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$, поэтому мы ее не рассматриваем.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 - 8(-1) + 17 = 1 + 8 + 17 = 26$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2^2 - 8(2) + 17 = 4 - 16 + 17 = 5$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Сравнивая $f(-1) = 26$ и $f(2) = 5$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 26, а наименьшее — 5.

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = 5$, наибольшее значение функции $f_{max} = 26$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на отрезке $[1; 2]$, применим тот же алгоритм.

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[1; 2]$.

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 2]$ и является его правым концом.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, попавших в него. В данном случае, нам нужно вычислить значения в точках $x=1$ и $x=2$.

При $x = 1$:

$f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

5. Сравнить полученные значения.

Сравнивая $f(1) = 0$ и $f(2) = -1$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее — -1.

Ответ: наименьшее значение функции $f_{min} = -1$, наибольшее значение функции $f_{max} = 0$.

51.8.1) $f(x) = 2x^2 - 5x + 6, [-2; 4];$

2) $f(x) = -3x^2 - x + 5, [0, 3].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 6$ на отрезке $[-2; 4]$, воспользуемся следующим алгоритмом.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5x + 6)' = 4x - 5$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x - 5 = 0$

$4x = 5$

$x = \frac{5}{4} = 1.25$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка заданному отрезку $[-2; 4]$.

Точка $x = 1.25$ принадлежит отрезку $[-2; 4]$, так как выполняется неравенство $-2 \le 1.25 \le 4$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(1.25) = 2(1.25)^2 - 5(1.25) + 6 = 2 \cdot 1.5625 - 6.25 + 6 = 3.125 - 6.25 + 6 = 2.875$.

$f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = 2 \cdot 4 + 10 + 6 = 8 + 10 + 6 = 24$.

$f(4) = 2(4)^2 - 5(4) + 6 = 2 \cdot 16 - 20 + 6 = 32 - 20 + 6 = 18$.

5. Сравним полученные значения: $2.875$, $24$ и $18$.

Наименьшее из этих значений равно $2.875$, а наибольшее равно $24$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 2.875$, наибольшее значение $y_{max} = 24$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -3x^2 - x + 5$ на отрезке $[0; 3]$, проделаем аналогичные шаги.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (-3x^2 - x + 5)' = -6x - 1$.

2. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-6x - 1 = 0$

$-6x = 1$

$x = -\frac{1}{6}$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку $[0; 3]$.

Точка $x = -\frac{1}{6}$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$, так как $-\frac{1}{6} < 0$.

4. Поскольку на данном отрезке нет критических точек, функция является монотонной. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=3$:

$f(0) = -3(0)^2 - 0 + 5 = 5$.

$f(3) = -3(3)^2 - 3 + 5 = -3 \cdot 9 - 3 + 5 = -27 - 3 + 5 = -25$.

5. Сравним полученные значения: $5$ и $-25$.

Наименьшее из этих значений равно $-25$, а наибольшее равно $5$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -25$, наибольшее значение $y_{max} = 5$.

51.9.1) $f(x) = x^3 + 8, [-3; -1];$

2) $f(x) = -x^3 + 27, [-2; 2].$

51.9.1) 1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 + 8$ на отрезке $[-3; -1]$, будем следовать стандартному алгоритму.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 8)' = 3x^2$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$3x^2 = 0$

$x = 0$

3. Проверяем, принадлежит ли найденная критическая точка $x=0$ данному отрезку $[-3; -1]$.

Точка $x=0$ не входит в отрезок $[-3; -1]$.

4. Поскольку на отрезке нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на его концах. Вычислим значения функции в точках $x=-3$ и $x=-1$:

$f(-3) = (-3)^3 + 8 = -27 + 8 = -19$

$f(-1) = (-1)^3 + 8 = -1 + 8 = 7$

5. Сравниваем полученные значения. Наименьшее значение равно -19, а наибольшее равно 7.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $\min_{[-3; -1]} f(x) = -19$, а наибольшее $\max_{[-3; -1]} f(x) = 7$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; -1]$ равно -19, а наибольшее значение равно 7.

51.9.1) 2)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -x^3 + 27$ на отрезке $[-2; 2]$, применим тот же алгоритм.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^3 + 27)' = -3x^2$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 = 0$

$x = 0$

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=0$ отрезку $[-2; 2]$.

Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка, то есть в точках $x=-2$ и $x=2$:

$f(-2) = -(-2)^3 + 27 = -(-8) + 27 = 8 + 27 = 35$

$f(0) = -(0)^3 + 27 = 0 + 27 = 27$

$f(2) = -(2)^3 + 27 = -8 + 27 = 19$

5. Сравниваем вычисленные значения: 19, 27 и 35. Наибольшее из них — 35, а наименьшее — 19.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $\min_{[-2; 2]} f(x) = 19$, а наибольшее $\max_{[-2; 2]} f(x) = 35$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно 19, а наибольшее значение равно 35.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутках (51.10–51.13):

51.10. 1) $f(x) = x^3 - 12x + 1, [0; 1];$

2) $f(x) = -x^3 + 6x - 5, [-1; 0].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ на промежутке $[0; 1]$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производную функции. Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Критическими точками являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверить, принадлежат ли найденные критические точки заданному промежутку $[0; 1]$.

Точка $x_1 = 2$ не принадлежит промежутку $[0; 1]$.

Точка $x_2 = -2$ также не принадлежит промежутку $[0; 1]$.

4. Так как на заданном промежутке нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$f(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 + 1 = 1$.

$f(1) = 1^3 - 12 \cdot 1 + 1 = 1 - 12 + 1 = -10$.

5. Сравнив полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-10$, а наибольшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -10$; наибольшее значение $f_{наиб} = 1$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = -x^3 + 6x - 5$ на промежутке $[-1; 0]$ выполним следующие действия:

1. Найти производную функции. Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (-x^3 + 6x - 5)' = -3x^2 + 6$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

Критическими точками являются $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

3. Проверить, принадлежат ли найденные критические точки заданному промежутку $[-1; 0]$.

Точка $x_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$ не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

Точка $x_2 = -\sqrt{2} \approx -1.414$ также не принадлежит промежутку $[-1; 0]$.

4. Поскольку на заданном промежутке нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$:

$f(-1) = -(-1)^3 + 6(-1) - 5 = -(-1) - 6 - 5 = 1 - 6 - 5 = -10$.

$f(0) = -(0)^3 + 6(0) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$.

5. Сравнив полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-10$, а наибольшее равно $-5$.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -10$; наибольшее значение $f_{наиб} = -5$.

51.11. 1) $f(x) = x^4 - 8x - 2, [-2; -1]$;

2) $f(x) = -x^4 + 4x^3 + 3, [0, 4]$.

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 8x - 2$ на отрезке $[-2; -1]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^4 - 8x - 2)' = 4x^3 - 8$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$4x^3 - 8 = 0$

$4x^3 = 8$

$x^3 = 2$

$x = \sqrt[3]{2}$

3. Проверить, принадлежит ли найденная критическая точка заданному отрезку $[-2; -1]$.

Поскольку $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{2} < 2$. Значит, точка $x = \sqrt[3]{2}$ не принадлежит отрезку $[-2; -1]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка, так как экстремумы могут достигаться на границах.

При $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2) - 2 = 16 + 16 - 2 = 30$.

При $x = -1$:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1) - 2 = 1 + 8 - 2 = 7$.

5. Сравнить полученные значения. Наибольшее из них является наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Наибольшее значение функции: $max_{[-2; -1]} f(x) = 30$.

Наименьшее значение функции: $min_{[-2; -1]} f(x) = 7$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение функции равно 7.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -x^4 + 4x^3 + 3$ на отрезке $[0; 4]$, выполним те же действия:

1. Найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-x^4 + 4x^3 + 3)' = -4x^3 + 12x^2$.

2. Найти стационарные (критические) точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-4x^3 + 12x^2 = 0$

$-4x^2(x - 3) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки отрезку $[0; 4]$.

Точка $x_1 = 0$ совпадает с левым концом отрезка.

Точка $x_2 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$, так как $0 \le 3 \le 4$.

4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка. То есть в точках $x=0$, $x=3$ и $x=4$.

При $x = 0$:

$f(0) = -(0)^4 + 4(0)^3 + 3 = 3$.

При $x = 3$:

$f(3) = -(3)^4 + 4(3)^3 + 3 = -81 + 4 \cdot 27 + 3 = -81 + 108 + 3 = 30$.

При $x = 4$:

$f(4) = -(4)^4 + 4(4)^3 + 3 = -256 + 4 \cdot 64 + 3 = -256 + 256 + 3 = 3$.

5. Сравнить полученные значения: $3$, $30$, $3$.

Наибольшее значение функции: $max_{[0; 4]} f(x) = 30$.

Наименьшее значение функции: $min_{[0; 4]} f(x) = 3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 30, наименьшее значение функции равно 3.

51.12. 1) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, [1; 5];

2) $f(x) = x^2 - \frac{8}{x}$, [0.5; 2].

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 5]$, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f(x)$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x + 4x^{-1}$.

$f'(x) = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

2. Найти стационарные (критические) точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в отрезок $[1; 5]$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$1 - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$

Отсюда следует, что $x^2 - 4 = 0$, при $x \neq 0$.

$x^2 = 4$, что дает два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[1; 5]$.

Из найденных точек только $x = 2$ принадлежит отрезку $[1; 5]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей этому отрезку.

$f(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5$

$f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$

$f(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0.8 = 5.8$

5. Сравнить полученные значения. Наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке, а наибольшее — наибольшим.

Сравнивая значения $5$, $4$ и $5.8$, получаем:

Наименьшее значение функции: $f_{min} = 4$ (достигается при $x=2$).

Наибольшее значение функции: $f_{max} = 5.8$ (достигается при $x=5$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $4$, а наибольшее значение равно $5.8$.

2) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = x^2 - \frac{8}{x}$ на отрезке $[0.5; 2]$, следуем тому же алгоритму:

1. Найти производную функции $f(x)$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = x^2 - 8x^{-1}$.

$f'(x) = (x^2 - 8x^{-1})' = 2x - (-8)x^{-2} = 2x + \frac{8}{x^2}$.

2. Найти стационарные (критические) точки функции.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в отрезок $[0.5; 2]$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$2x + \frac{8}{x^2} = 0$

$\frac{2x^3 + 8}{x^2} = 0$

Отсюда $2x^3 + 8 = 0$, при $x \neq 0$.

$2x^3 = -8$

$x^3 = -4$

$x = \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4}$.

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[0.5; 2]$.

Точка $x = -\sqrt[3]{4}$ является отрицательным числом, следовательно, она не принадлежит отрезку $[0.5; 2]$.

Таким образом, внутри отрезка $[0.5; 2]$ критических точек нет.

4. Так как на интервале $(0.5; 2)$ нет критических точек, функция на этом отрезке является монотонной. Определим характер монотонности, найдя знак производной в любой точке интервала, например, в точке $x=1$.

$f'(1) = 2(1) + \frac{8}{1^2} = 2 + 8 = 10$.

Поскольку $f'(x) > 0$ на всем отрезке $[0.5; 2]$ (так как $x > 0$ на этом отрезке, оба слагаемых $2x$ и $\frac{8}{x^2}$ положительны), функция $f(x)$ монотонно возрастает на данном отрезке.

5. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(0.5) = (0.5)^2 - \frac{8}{0.5} = 0.25 - 16 = -15.75$

$f(2) = 2^2 - \frac{8}{2} = 4 - 4 = 0$

Наименьшее значение функции: $f_{min} = -15.75$ (достигается при $x=0.5$).

Наибольшее значение функции: $f_{max} = 0$ (достигается при $x=2$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0.5; 2]$ равно $-15.75$, а наибольшее значение равно $0$.

51.13.

1) $f(x) = x + \sqrt{x}, [1; 4];$

2) $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}}, [4; 9].$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \sqrt{x}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Область определения функции $x \ge 0$, наш отрезок $[1; 4]$ полностью входит в эту область.

Представим функцию в виде $f(x) = x + x^{1/2}$.

Производная функции: $f'(x) = (x + x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Найти критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ определена для всех $x > 0$. На отрезке $[1; 4]$ она существует.

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда является положительной величиной для $x > 0$, а значит, сумма $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда больше 1.

Поскольку критических точек внутри отрезка нет (и производная на отрезке положительна, что означает, что функция возрастает), наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка $[1; 4]$.

Значение в точке $x = 1$: $f(1) = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Значение в точке $x = 4$: $f(4) = 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.

4. Сравнить полученные значения.

Среди полученных значений $2$ и $6$ наименьшим является $2$, а наибольшим — $6$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 2, а наибольшее — 6.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[4; 9]$, выполним те же действия.

1. Найти производную функции. Область определения функции $x > 0$, наш отрезок $[4; 9]$ полностью входит в эту область.

Представим функцию в виде $f(x) = x - x^{-1/2}$.

Производная функции: $f'(x) = (x - x^{-1/2})' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2}x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Найти критические точки функции.

Производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$ определена для всех $x > 0$. На отрезке $[4; 9]$ она существует.

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ всегда положительно для $x > 0$, и, следовательно, $1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} > 1$.

Критических точек внутри отрезка нет. Поскольку производная положительна на всем отрезке, функция является возрастающей. Значит, наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка $[4; 9]$.

Значение в точке $x = 4$: $f(4) = 4 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 - \frac{1}{2} = 3.5$.

Значение в точке $x = 9$: $f(9) = 9 - \frac{1}{\sqrt{9}} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

4. Сравнить полученные значения.

Сравним $3.5$ и $\frac{26}{3}$. Так как $\frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$, то $3.5 < \frac{26}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[4; 9]$ равно $3.5$, а наибольшее — $\frac{26}{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[4; 9]$ равно 3.5, а наибольшее — $\frac{26}{3}$.

51.14.

1) Площадь прямоугольника составляет $25 \, \text{см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

2) Поле прямоугольной формы имеет площадь $3600 \, \text{м}^2$. Каковы должны быть размеры поля, чтобы на его ограждение ушло наименьшее количество материала?

3) Участок в форме параллелограмма с острым углом в $30^\circ$ имеет площадь $8 \, \text{м}^2$. Найдите наименьшее значение периметра участка.

1) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S = ab$, а периметр $P = 2(a+b)$.

По условию, $S = 25$ см², значит $ab = 25$. Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $b = \frac{25}{a}$.

Подставим это выражение в формулу периметра: $P(a) = 2(a + \frac{25}{a})$.

Чтобы найти наименьшее значение периметра, нужно найти наименьшее значение функции $P(a)$. Это можно сделать с помощью неравенства о средних (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $a$ и $\frac{25}{a}$ их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{a + \frac{25}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{25}{a}}$

$a + \frac{25}{a} \ge 2\sqrt{25}$

$a + \frac{25}{a} \ge 2 \cdot 5 = 10$.

Тогда периметр $P = 2(a + \frac{25}{a}) \ge 2 \cdot 10 = 20$ см.

Наименьшее значение периметра равно 20 см и достигается тогда, когда выполняется равенство в неравенстве о средних, то есть когда $a = \frac{25}{a}$.

Отсюда $a^2 = 25$, и так как $a$ – длина стороны, $a > 0$, то $a = 5$ см.

Тогда $b = \frac{25}{5} = 5$ см.

Таким образом, чтобы периметр был наименьшим, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 5 см на 5 см.

2) Эта задача аналогична предыдущей. Пусть стороны прямоугольного поля равны $a$ и $b$. Количество материала на ограждение определяется периметром поля, $P = 2(a+b)$. Площадь поля $S = ab = 3600$ м².

Мы ищем наименьшее значение периметра $P$ при заданном значении площади $S$. Как было показано в предыдущей задаче, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Следовательно, стороны поля должны быть равны: $a = b$.

Подставим это в формулу площади: $a \cdot a = 3600$, или $a^2 = 3600$.

Найдем сторону квадрата: $a = \sqrt{3600} = 60$ м.

Значит, размеры поля должны быть 60 м на 60 м.

Ответ: размеры поля должны быть 60 м на 60 м.

3) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha = 30^\circ$.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = ab \sin\alpha$.

По условию $S = 8$ м², значит $ab \sin(30^\circ) = 8$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $ab \cdot \frac{1}{2} = 8$, откуда $ab = 16$.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. Нам нужно найти наименьшее значение этой величины при условии $ab=16$.

Снова воспользуемся неравенством о средних для положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Подставим известное значение произведения $ab=16$:

$a+b \ge 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Тогда периметр $P = 2(a+b) \ge 2 \cdot 8 = 16$ м.

Наименьшее значение периметра равно 16 м. Оно достигается, когда $a=b$.

Из условия $ab=16$ при $a=b$ получаем $a^2=16$, откуда $a=4$ м.

Таким образом, наименьший периметр будет у ромба со стороной 4 м и острым углом 30°.

Ответ: наименьшее значение периметра участка равно 16 м.

51.15. 1) Докажите, что среди всех равнобедренных треугольников, имеющих периметр $P$, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

2) Участок прямоугольной формы площадью в 800 $м^2$ огорожен забором с трех сторон. Найдите наименьшую длину забора.

3) Периметр участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^\circ$ равен 24 м. Найдите наибольшую площадь участка.

4) Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5 $м^2$. При каком значении радиуса полукруга периметр участка будет наименьшим?

1) Пусть равнобедренный треугольник имеет боковые стороны $a$ и основание $b$. Его периметр $P = 2a + b$. Отсюда можно выразить боковую сторону через основание и периметр: $a = \frac{P - b}{2}$.Для существования треугольника необходимо выполнение неравенств: $a+a > b \Rightarrow 2a > b \Rightarrow P-b > b \Rightarrow P > 2b \Rightarrow b < P/2$. Также $a > 0$, что дает $P-b > 0 \Rightarrow b < P$. И $b>0$. Таким образом, $0 < b < P/2$.Площадь треугольника $S$ найдем по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $h$ — высота, опущенная на основание $b$.Высоту найдем по теореме Пифагора: $h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}$.Подставим выражение для $a$:$h = \sqrt{(\frac{P-b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(P-b)^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{P^2 - 2Pb + b^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{P^2 - 2Pb}$.Тогда площадь $S$ как функция от $b$ имеет вид:$S(b) = \frac{1}{2}b \cdot \frac{1}{2}\sqrt{P(P - 2b)} = \frac{b}{4}\sqrt{P(P - 2b)}$.Чтобы найти максимум функции $S(b)$, удобно исследовать на максимум ее квадрат $S^2(b)$, так как $S(b) > 0$.$f(b) = S^2(b) = \frac{b^2}{16}P(P-2b) = \frac{P}{16}(Pb^2 - 2b^3)$.Найдем производную функции $f(b)$ по переменной $b$:$f'(b) = \frac{P}{16}(2Pb - 6b^2)$.Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$\frac{P}{16}(2Pb - 6b^2) = 0$.Так как $P \neq 0$ и $b \neq 0$, получаем:$2P - 6b = 0 \Rightarrow b = \frac{2P}{6} = \frac{P}{3}$.Эта точка принадлежит интервалу $(0, P/2)$.Найдем боковую сторону $a$:$a = \frac{P - b}{2} = \frac{P - P/3}{2} = \frac{2P/3}{2} = \frac{P}{3}$.Получили, что $a = b = P/3$. Это означает, что все стороны треугольника равны, то есть треугольник является равносторонним.Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:$f''(b) = \frac{P}{16}(2P - 12b)$.$f''(P/3) = \frac{P}{16}(2P - 12\frac{P}{3}) = \frac{P}{16}(2P - 4P) = -\frac{2P^2}{16} = -\frac{P^2}{8} < 0$.Так как вторая производная отрицательна, точка $b = P/3$ является точкой максимума.Таким образом, среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром $P$ наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Ответ: Доказано.

2) Пусть стороны прямоугольного участка равны $x$ и $y$. Площадь участка $S = xy = 800$ м².Забор установлен с трех сторон. Возможны два случая:1) Забор состоит из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$.Длина забора $L = 2x + y$.Из формулы площади выразим $y = \frac{800}{x}$.Подставим в формулу длины забора: $L(x) = 2x + \frac{800}{x}$.Для нахождения наименьшей длины найдем производную функции $L(x)$ и приравняем ее к нулю:$L'(x) = 2 - \frac{800}{x^2}$.$L'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{800}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^2 = 800 \Rightarrow x^2 = 400$.Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = 20$ м.Тогда $y = \frac{800}{20} = 40$ м.Наименьшая длина забора в этом случае: $L = 2 \cdot 20 + 40 = 80$ м.2) Забор состоит из одной стороны длиной $x$ и двух сторон длиной $y$.Длина забора $L = x + 2y$.$L(x) = x + 2 \cdot \frac{800}{x} = x + \frac{1600}{x}$.$L'(x) = 1 - \frac{1600}{x^2}$.$L'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 1600 \Rightarrow x = 40$ м.Тогда $y = \frac{800}{40} = 20$ м.Наименьшая длина забора: $L = 40 + 2 \cdot 20 = 80$ м.В обоих случаях результат одинаков. Для проверки, что это минимум, можно использовать вторую производную. Например, для первого случая $L''(x) = \frac{1600}{x^3}$. При $x=20$, $L''(20) > 0$, что подтверждает, что точка является точкой минимума.

Ответ: 80 м.

3) Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$), высотой $h$ и наклонной боковой стороной $c$. Острый угол равен $30^\circ$.Из свойств трапеции имеем следующие соотношения:$h = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow c = 2h$.$a - b = c \cdot \cos(30^\circ) = 2h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = h\sqrt{3}$.Периметр трапеции $P = a + b + h + c = 24$ м.Выразим $a$ и $c$ через $b$ и $h$: $a = b + h\sqrt{3}$ и $c = 2h$.Подставим в формулу периметра:$(b + h\sqrt{3}) + b + h + 2h = 24$.$2b + 3h + h\sqrt{3} = 24$.$2b = 24 - h(3 + \sqrt{3})$.Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.Выразим сумму оснований $a+b$:$a+b = (b + h\sqrt{3}) + b = 2b + h\sqrt{3}$.Подставим сюда выражение для $2b$:$a+b = (24 - h(3 + \sqrt{3})) + h\sqrt{3} = 24 - 3h - h\sqrt{3} + h\sqrt{3} = 24 - 3h$.Теперь запишем площадь как функцию от высоты $h$:$S(h) = \frac{24 - 3h}{2}h = 12h - \frac{3}{2}h^2$.Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине. Найдем его через производную:$S'(h) = 12 - 3h$.$S'(h) = 0 \Rightarrow 12 - 3h = 0 \Rightarrow h = 4$ м.Найдем наибольшую площадь, подставив $h=4$ в формулу площади:$S(4) = 12(4) - \frac{3}{2}(4^2) = 48 - \frac{3}{2} \cdot 16 = 48 - 24 = 24$ м².

Ответ: 24 м².

4) Пусть участок состоит из прямоугольника со сторонами $l$ и $w$ и полукруга, построенного на стороне $w$. Тогда диаметр полукруга равен $w$, а его радиус $r = w/2$.Площадь участка $A$ складывается из площади прямоугольника и площади полукруга:$A = l \cdot w + \frac{1}{2}\pi r^2 = l \cdot (2r) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12,5$ м².Периметр участка $P$ — это длина его границы. Он состоит из трех сторон прямоугольника (две по $l$ и одна $w=2r$) и длины дуги полукруга ($\pi r$):$P = 2l + w + \pi r = 2l + 2r + \pi r = 2l + r(2+\pi)$.Из формулы площади выразим $l$ через $r$:$2lr = 12,5 - \frac{1}{2}\pi r^2 \Rightarrow l = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r^2}{4r} = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r}{4}$.Подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию $P(r)$:$P(r) = 2\left(\frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r}{4}\right) + r(2+\pi) = \frac{12,5}{r} - \frac{\pi r}{2} + 2r + \pi r = \frac{12,5}{r} + 2r + \frac{\pi r}{2} = \frac{12,5}{r} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.Найдем производную $P'(r)$ для нахождения минимума:$P'(r) = -\frac{12,5}{r^2} + \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.Приравняем производную к нулю:$-\frac{12,5}{r^2} + \frac{4+\pi}{2} = 0$.$\frac{12,5}{r^2} = \frac{4+\pi}{2}$.$r^2 = \frac{12,5 \cdot 2}{4+\pi} = \frac{25}{4+\pi}$.$r = \sqrt{\frac{25}{4+\pi}} = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$.Вторая производная $P''(r) = \frac{25}{r^3}$ положительна для $r>0$, следовательно, найденное значение $r$ соответствует минимуму периметра.

Ответ: $r = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$ м.