Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2}\right)$, если известно, что она получена в результате растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза, сжатия вдоль оси $Oy$ в 3 раза и перемещения вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо и на $\frac{1}{2}$ единицы вниз вдоль оси $Oy$?

2. Сравните периоды функций $y = 2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} x$ и $y = \operatorname{tg} \left(x - \frac{1}{2}\right)$, если они заданы на всей области их определения.

3. Назовите амплитуду, частоту, начальную фазу и период гармонического колебания, заданного формулой $y = 2\sin0.5\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

1. Пусть начальные координаты точки $F$ равны $(x_0, y_0) = (\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$. Выполним последовательно все преобразования координат, чтобы найти координаты новой точки $F_1(x_1, y_1)$.

1. Растяжение вдоль оси $Ox$ в 4 раза: абсцисса точки умножается на 4. Промежуточная абсцисса: $x' = 4 \cdot x_0 = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Сжатие вдоль оси $Oy$ в 3 раза: ордината точки делится на 3. Промежуточная ордината: $y' = \frac{y_0}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

3. Перемещение вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо: к промежуточной абсциссе прибавляется $\frac{\pi}{3}$. Финальная абсцисса: $x_1 = x' + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

4. Перемещение вдоль оси $Oy$ на $\frac{1}{2}$ единицы вниз: из промежуточной ординаты вычитается $\frac{1}{2}$. Финальная ордината: $y_1 = y' - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, итоговые координаты точки $F_1$ равны $(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: $F_1(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{3})$.

2. Период функции вида $y = A \operatorname{tg}(kx + b) + c$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0 = \pi$ — основной период функции $y=\operatorname{tg}x$.

Для функции $y = 2 \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ коэффициент при $x$ равен $k_1 = \frac{1}{2}$. Её период $T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.

Для функции $y = \operatorname{tg}(x - \frac{1}{2})$ коэффициент при $x$ равен $k_2 = 1$. Её период $T_2 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Сравнивая периоды $T_1 = 2\pi$ и $T_2 = \pi$, видим, что $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Период функции $y = 2 \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ равен $2\pi$, а период функции $y = \operatorname{tg}(x - \frac{1}{2})$ равен $\pi$. Период первой функции в два раза больше периода второй.

3. Рассмотрим уравнение гармонического колебания $y = 2\sin(0,5(x - \frac{\pi}{6}))$. Для определения его параметров приведем уравнение к стандартному виду $y = A\sin(\omega x + \varphi)$, раскрыв скобки в аргументе: $y = 2\sin(0,5x - \frac{\pi}{12})$.

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия, равное модулю коэффициента $A$ перед синусом. В данном случае $A=2$.

Частота — это циклическая (угловая) частота $\omega$, равная коэффициенту при переменной $x$ в аргументе синуса. В данном случае $\omega=0,5$.

Начальная фаза — это фаза колебания при $x=0$, равная слагаемому $\varphi$ в аргументе. В данном случае $\varphi = -\frac{\pi}{12}$.

Период — это наименьший положительный период функции $T$, связанный с частотой формулой $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$. В данном случае $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$.

Ответ: Амплитуда: $2$; частота: $0,5$; начальная фаза: $-\frac{\pi}{12}$; период: $4\pi$.

14.1. Постройте график функции:
1) $y = \cos \left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2;$
2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1;$
3) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3.$

1) $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида, которая имеет период $2\pi$, амплитуду 1 и проходит через ключевые точки, такие как $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$, $(2\pi, 1)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$. Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика $y = \cos(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вправо. Это означает, что каждая точка исходного графика смещается вправо на $\frac{2\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $\left(\frac{2\pi}{3}, 1\right)$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) + 2$. Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика, полученного на предыдущем шаге, вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$ смещается вверх на 2. Таким образом, ось симметрии графика смещается на прямую $y=2$, а область значений функции становится $[ -1+2, 1+2 ]$, то есть $[1, 3]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его сдвига на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox и на 2 вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и ключевыми точками $(0, 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, $(\pi, 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$, $(2\pi, 0)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \sin(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. Точка $(0, 0)$ перемещается в точку $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ — в точку $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{3\pi}{4}, 1\right)$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ вдоль оси Oy на 1 единицу вниз. Ось симметрии графика смещается на прямую $y=-1$. Область значений функции становится $[ -1-1, 1-1 ]$, то есть $[-2, 0]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox и на 1 вниз вдоль оси Oy.

3) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$.

Шаг 1. Построение графика базовой функции $y = \text{ctg}(x)$. Это котангенсоида с периодом $\pi$. Она имеет вертикальные асимптоты в точках $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Функция пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \text{ctg}(x)$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (так как $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$). Вертикальные асимптоты смещаются влево и теперь задаются уравнениями $x = k\pi - \frac{\pi}{3}$. Например, асимптота $x=0$ смещается в $x = -\frac{\pi}{3}$, а асимптота $x=\pi$ — в $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Шаг 3. Построение итогового графика функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ вдоль оси Oy на 3 единицы вверх. Каждая точка графика смещается на 3 единицы вверх. Точки, которые ранее были нулями функции (например, $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$), теперь будут иметь ординату $y=3$. Таким образом, точка $\left(\frac{\pi}{6}, 3\right)$ будет принадлежать графику.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg}(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox и на 3 вверх вдоль оси Oy.

14.2. Используя свойство периодичности тригонометрических функций, замените тригонометрическое выражение, равным ему, той же тригонометрической функцией наименьшего положительного аргумента:

1) $cos \frac{20\pi}{9}$, $tg \frac{21\pi}{5}$, $sin \frac{23\pi}{7}$;

2) $ctg \frac{23\pi}{9}$, $tg \frac{41\pi}{5}$, $sin \frac{16\pi}{7}$.

1) Для выражения $cos(\frac{20\pi}{9})$:

Основной период функции косинус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент. Для этого представим аргумент $\frac{20\pi}{9}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{20\pi}{9} = \frac{18\pi + 2\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} + \frac{2\pi}{9} = 2\pi + \frac{2\pi}{9}$.

Отсюда следует, что $cos(\frac{20\pi}{9}) = cos(2\pi + \frac{2\pi}{9}) = cos(\frac{2\pi}{9})$.

Аргумент $\frac{2\pi}{9}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, 2\pi)$.

Ответ: $cos(\frac{2\pi}{9})$

Для выражения $tg(\frac{21\pi}{5})$:

Основной период функции тангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $tg(x) = tg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{21\pi}{5}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{21\pi}{5} = \frac{20\pi + \pi}{5} = \frac{20\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 4\pi + \frac{\pi}{5}$.

Отсюда следует, что $tg(\frac{21\pi}{5}) = tg(4\pi + \frac{\pi}{5}) = tg(\frac{\pi}{5})$.

Аргумент $\frac{\pi}{5}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, \pi)$.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{5})$

Для выражения $sin(\frac{23\pi}{7})$:

Основной период функции синус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{23\pi}{7}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{23\pi}{7} = \frac{14\pi + 9\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{9\pi}{7} = 2\pi + \frac{9\pi}{7}$.

Отсюда следует, что $sin(\frac{23\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{9\pi}{7}) = sin(\frac{9\pi}{7})$.

Аргумент $\frac{9\pi}{7}$ является наименьшим положительным, так как $0 < \frac{9\pi}{7} < 2\pi$.

Ответ: $sin(\frac{9\pi}{7})$

2) Для выражения $ctg(\frac{23\pi}{9})$:

Основной период функции котангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $ctg(x) = ctg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{23\pi}{9}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{23\pi}{9} = \frac{18\pi + 5\pi}{9} = \frac{18\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} = 2\pi + \frac{5\pi}{9}$.

Отсюда следует, что $ctg(\frac{23\pi}{9}) = ctg(2\pi + \frac{5\pi}{9}) = ctg(\frac{5\pi}{9})$.

Аргумент $\frac{5\pi}{9}$ является наименьшим положительным, так как он находится в интервале $(0, \pi)$.

Ответ: $ctg(\frac{5\pi}{9})$

Для выражения $tg(\frac{41\pi}{5})$:

Основной период функции тангенс равен $\pi$. Используя свойство периодичности $tg(x) = tg(x + \pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{41\pi}{5}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $\pi$.

$\frac{41\pi}{5} = \frac{40\pi + \pi}{5} = \frac{40\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 8\pi + \frac{\pi}{5}$.

Отсюда следует, что $tg(\frac{41\pi}{5}) = tg(8\pi + \frac{\pi}{5}) = tg(\frac{\pi}{5})$.

Аргумент $\frac{\pi}{5}$ является наименьшим положительным.

Ответ: $tg(\frac{\pi}{5})$

Для выражения $sin(\frac{16\pi}{7})$:

Основной период функции синус равен $2\pi$. Используя свойство периодичности $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$, найдем наименьший положительный аргумент.

Представим аргумент $\frac{16\pi}{7}$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно периоду $2\pi$.

$\frac{16\pi}{7} = \frac{14\pi + 2\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{2\pi}{7} = 2\pi + \frac{2\pi}{7}$.

Отсюда следует, что $sin(\frac{16\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{2\pi}{7}) = sin(\frac{2\pi}{7})$.

Аргумент $\frac{2\pi}{7}$ является наименьшим положительным.

Ответ: $sin(\frac{2\pi}{7})$

49.12. Найдите координаты точек перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$;

2) $y = x + \text{arctgx}$;

3) $y = 2x - \text{arctgx}$.

Точки перегиба графика функции — это точки, в которых меняется направление выпуклости графика. Для их нахождения необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни уравнения. Эти корни, а также точки, в которых вторая производная не существует, являются возможными точками перегиба. Если при переходе через такую точку вторая производная меняет знак, то это и есть точка перегиба.

1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(2x)'(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

Теперь найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)' = \frac{(2 - 2x^2)'(x^2 + 1)^2 - (2 - 2x^2)((x^2 + 1)^2)'}{((x^2 + 1)^2)^2}$

$y'' = \frac{-4x(x^2 + 1)^2 - (2 - 2x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$

Сократим на $(x^2 + 1)$:

$y'' = \frac{-4x(x^2 + 1) - 4x(2 - 2x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-4x^3 - 4x - 8x + 8x^3}{(x^2 + 1)^3} = \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3}$.

Приравняем вторую производную к нулю для нахождения возможных точек перегиба:

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3} = 0$

$4x^3 - 12x = 0$

$4x(x^2 - 3) = 0$

Отсюда получаем три возможных точки перегиба: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

Проверим смену знака второй производной в этих точках. Знак $y''$ зависит только от знака числителя $4x(x^2-3)$.

• При $x < -\sqrt{3}$ (например, $x=-2$), $y'' < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $-\sqrt{3} < x < 0$ (например, $x=-1$), $y'' > 0$ (график выпуклый вниз).
• При $0 < x < \sqrt{3}$ (например, $x=1$), $y'' < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $x > \sqrt{3}$ (например, $x=2$), $y'' > 0$ (график выпуклый вниз).

Найдем ординаты этих точек:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0$. Точка $(0; 0)$.

$y(\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

$y(-\sqrt{3}) = \frac{2(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2 + 1} = \frac{-2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) $y = x + \arctan x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$.

Найдем первую производную:

$y' = (x + \arctan x)' = 1 + \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(1 + \frac{1}{1 + x^2}\right)' = \left(1 + (1+x^2)^{-1}\right)' = -(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \Rightarrow -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = 0$

$-2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверим смену знака $y''$ в точке $x=0$.

• При $x < 0$, $y'' = -\frac{2x}{(+)} > 0$ (график выпуклый вниз).
• При $x > 0$, $y'' = -\frac{2x}{(+)} < 0$ (график выпуклый вверх).

Найдем ординату точки:

$y(0) = 0 + \arctan(0) = 0$.

Ответ: $(0; 0)$.

3) $y = 2x - \arctan x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = R$.

Найдем первую производную:

$y' = (2x - \arctan x)' = 2 - \frac{1}{1 + x^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(2 - \frac{1}{1 + x^2}\right)' = \left(2 - (1+x^2)^{-1}\right)' = -(-(1+x^2)^{-2} \cdot (2x)) = \frac{2x}{(1 + x^2)^2}$.

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2x}{(1 + x^2)^2} = 0$

$2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Проверим смену знака $y''$ в точке $x=0$.

• При $x < 0$, $y'' = \frac{2x}{(+)} < 0$ (график выпуклый вверх).
• При $x > 0$, $y'' = \frac{2x}{(+)} > 0$ (график выпуклый вниз).

Найдем ординату точки:

$y(0) = 2 \cdot 0 - \arctan(0) = 0$.

Ответ: $(0; 0)$.

49.13. Найдите промежутки выпуклости вверх графика функции:

1) $y = x\sqrt{2-x}$;

2) $y = \sqrt{4+x}$.

1) Для нахождения промежутков выпуклости вверх графика функции $y = x\sqrt{2-x}$, необходимо найти ее вторую производную и определить интервалы, на которых вторая производная отрицательна ($y'' < 0$).

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, что дает $x \le 2$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 2]$.

Найдем первую производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x)'\sqrt{2-x} + x(\sqrt{2-x})' = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{2-x})^2 - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$

Теперь найдем вторую производную $y''$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y'' = \frac{(4 - 3x)'(2\sqrt{2-x}) - (4 - 3x)(2\sqrt{2-x})'}{(2\sqrt{2-x})^2} = \frac{-3(2\sqrt{2-x}) - (4 - 3x)(2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{2-x}})}{4(2-x)}$

$y'' = \frac{-6\sqrt{2-x} + \frac{4-3x}{\sqrt{2-x}}}{4(2-x)}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2-x}$, чтобы избавиться от дроби в числителе:

$y'' = \frac{-6(\sqrt{2-x})^2 + (4-3x)}{4(2-x)\sqrt{2-x}} = \frac{-6(2-x) + 4 - 3x}{4(2-x)^{3/2}} = \frac{-12 + 6x + 4 - 3x}{4(2-x)^{3/2}} = \frac{3x - 8}{4(2-x)^{3/2}}$

Определим знак второй производной. Вторая производная существует при $x < 2$. На этом интервале знаменатель $4(2-x)^{3/2}$ всегда положителен. Значит, знак $y''$ определяется знаком числителя $3x - 8$.

Поскольку мы рассматриваем $x < 2$, то $3x < 6$, следовательно, $3x - 8 < 6 - 8 = -2$. Числитель всегда отрицателен.

Так как на интервале $(-\infty, 2)$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то $y'' < 0$ для всех $x < 2$. Это означает, что график функции является выпуклым вверх на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty, 2]$.

2) Найдем промежутки выпуклости вверх для функции $y = \sqrt{4+x}$.

Область определения функции находится из условия $4 + x \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Область определения $D(y) = [-4, \infty)$.

Найдем первую и вторую производные. Представим функцию как $y = (4+x)^{1/2}$.

Первая производная:

$y' = \frac{1}{2}(4+x)^{-1/2} \cdot (4+x)' = \frac{1}{2\sqrt{4+x}}$

Вторая производная:

$y'' = \left(\frac{1}{2}(4+x)^{-1/2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4+x)^{-3/2} \cdot (4+x)' = -\frac{1}{4}(4+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(4+x)^3}}$

График функции выпуклый вверх, если $y'' < 0$.

Вторая производная определена при $4+x > 0$, то есть при $x > -4$. На этом интервале знаменатель $4\sqrt{(4+x)^3}$ всегда положителен. Числитель равен -1, то есть отрицателен.

Следовательно, $y''$ всегда отрицательна на интервале $(-4, \infty)$. Это означает, что график функции выпуклый вверх на всей своей области определения.

Ответ: $[-4, \infty)$.

49.14. Найдите экстремумы и координаты точек перегиба графика функции $y = 2x^2 - x^4$. Постройте схематический график функции.

Для исследования функции $y = 2x^2 - x^4$ и построения ее графика выполним следующие шаги: найдем экстремумы, точки перегиба и другие ключевые особенности.

1. Нахождение экстремумов

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти ее первую производную, приравнять ее к нулю и определить знаки производной на полученных интервалах.

Первая производная функции:

$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$ (например, при $x = -2$): $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-1, 0)$ (например, при $x = -0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$ (например, при $x = 0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1, +\infty)$ (например, при $x = 2$): $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$, функция убывает.

Анализ смены знаков производной показывает:

• В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1$.

$y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.

$y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: функция имеет локальный минимум в точке $(0, 0)$ и локальные максимумы в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. Нахождение координат точек перегиба

Точки перегиба определяют, где меняется направление выпуклости графика. Для их нахождения нужна вторая производная.

Вторая производная функции:

$y'' = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$4 - 12x^2 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Отсюда $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, -1/\sqrt{3})$, $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $(1/\sqrt{3}, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1/\sqrt{3})$ (например, при $x = -1$): $y''(-1) = 4 - 12(-1)^2 = -8 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$ (например, при $x = 0$): $y''(0) = 4 - 12(0)^2 = 4 > 0$, график выпуклый вниз (выгнутый).
• На интервале $(1/\sqrt{3}, +\infty)$ (например, при $x = 1$): $y''(1) = 4 - 12(1)^2 = -8 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

Поскольку в точках $x = -1/\sqrt{3}$ и $x = 1/\sqrt{3}$ вторая производная меняет знак, это точки перегиба. Найдем их ординаты:

$y(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^4 = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

Ответ: координаты точек перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$.

3. Построение схематического графика

Для построения графика используем полученную информацию:

• Функция является четной ($f(-x) = f(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осью OX: $2x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(2-x^2) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{2}$. Точки: $(0,0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY: $y(0)=0$. Точка: $(0,0)$.
• Точки экстремумов: $(-1, 1)$ (максимум), $(1, 1)$ (максимум), $(0, 0)$ (минимум).
• Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.

Схематический график функции $y = 2x^2 - x^4$:

49.15. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$.

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах.

1. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, так как это многочлен. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале, подставив в нее любую точку из этого интервала.

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty, -1]$.
• Интервал $(-1, 0)$: возьмем $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$. Следовательно, функция убывает на $[-1, 0]$.
• Интервал $(0, 1)$: возьмем $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0, 1]$.
• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $x = 2$. $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$. Следовательно, функция убывает на $[1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$.

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x}{2} + \frac{2}{x})' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

4. Точки $x=-2$, $x=2$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2-4}{2x^2}$ на этих интервалах. Знак производной зависит только от знака числителя $x^2-4$.

• Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x = -3$. $y'(-3) = \frac{(-3)^2-4}{2(-3)^2} = \frac{5}{18} > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, -2]$.
• Интервал $(-2, 0)$: возьмем $x = -1$. $y'(-1) = \frac{(-1)^2-4}{2(-1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$. Функция убывает на $[-2, 0)$.
• Интервал $(0, 2)$: возьмем $x = 1$. $y'(1) = \frac{1^2-4}{2(1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$. Функция убывает на $(0, 2]$.
• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x = 3$. $y'(3) = \frac{3^2-4}{2(3)^2} = \frac{5}{18} > 0$. Функция возрастает на $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутках $[-2, 0)$ и $(0, 2]$.

3) $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x}{4} - \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - (-\frac{4}{x^2}) = \frac{1}{4} + \frac{4}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x=0$ (не входит в область определения). Попробуем приравнять производную к нулю:

$\frac{1}{4} + \frac{4}{x^2} = 0$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть является суммой положительного числа $\frac{1}{4}$ и неотрицательного (в данном случае строго положительного) числа $\frac{4}{x^2}$. Таким образом, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, промежутков убывания нет.

49.16. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4;$

2) $y = -\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x};$

3) $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}.$

1) Для нахождения точек максимума и минимума функции $y = 2 + 2x^2 - x^4$, необходимо найти её производную и критические точки.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критическими точками являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

- Если $x < -1$ (например, $x=-2$), то $y'(-2) = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(-3) = 24 > 0$, функция возрастает.

- Если $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), то $y'(-0.5) = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(0.75) = -1.5 < 0$, функция убывает.

- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $y'(0.5) = 4(0.5)(1 - 0.5^2) = 2(0.75) = 1.5 > 0$, функция возрастает.

- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $y'(2) = 4(2)(1 - 2^2) = 8(-3) = -24 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x = -1$ — точка максимума.

При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, $x = 0$ — точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{max} = 1$; $x_{min} = 0$.

2) Дана функция $y = -\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x}$.

Область определения функции: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Представим функцию в виде $y = -x^{-3} + 3x^{-1}$ и найдем производную:

$y' = (-x^{-3} + 3x^{-1})' = 3x^{-4} - 3x^{-2} = \frac{3}{x^4} - \frac{3}{x^2}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$y' = \frac{3 - 3x^2}{x^4}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$3 - 3x^2 = 0$

$3(1 - x^2) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$. Точка $x=0$ не является критической, так как не входит в область определения функции.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак производной $y'$ совпадает со знаком числителя $(3 - 3x^2)$, так как знаменатель $x^4$ всегда положителен.

- Если $x < -1$ (например, $x=-2$), то $3 - 3(-2)^2 = -9 < 0$, функция убывает.

- Если $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), то $3 - 3(-0.5)^2 = 2.25 > 0$, функция возрастает.

- Если $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), то $3 - 3(0.5)^2 = 2.25 > 0$, функция возрастает.

- Если $x > 1$ (например, $x=2$), то $3 - 3(2)^2 = -9 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x = -1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, $x = -1$ — точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Ответ: $x_{max} = 1$; $x_{min} = -1$.

3) Дана функция $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}$.

Область определения функции: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Находим производную функции:

$y' = (\frac{x}{4} - \frac{4}{x})' = (\frac{1}{4}x - 4x^{-1})' = \frac{1}{4} - 4(-1)x^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{4}{x^2}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{x^2 + 16}{4x^2}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{x^2 + 16}{4x^2} = 0$.

Числитель $x^2 + 16$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 16 \ge 16$. Таким образом, уравнение не имеет действительных корней. Критических точек, в которых производная равна нулю, нет.

Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Исследуем знак производной. Для любого $x$ из области определения числитель $x^2 + 16$ положителен, и знаменатель $4x^2$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Так как производная всегда положительна, функция монотонно возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

Ответ: точек максимума и минимума нет.

49.17. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = 2 + x^2 - 5x^4;$

2) $y = \frac{2x^3}{1-x^2};$

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}.$

1) $y = 2 + x² - 5x⁴$

Данная функция является многочленом. Область определения многочлена — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Вертикальные асимптоты.Поскольку функция определена и непрерывна на всей числовой оси, у нее нет точек разрыва, и, следовательно, нет вертикальных асимптот.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Наклонная асимптота имеет вид $y = kx + b$. Найдем коэффициенты $k$ и $b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + x^2 - 5x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2}{x} + x - 5x^3)$

Этот предел не является конечным числом (он равен $\mp\infty$). Следовательно, наклонных асимптот у графика функции нет. Так как горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной при $k=0$, то и горизонтальных асимптот тоже нет. Это можно проверить и напрямую:

$\lim_{x \to \pm\infty} (2 + x^2 - 5x^4) = -\infty$

Пределы не являются конечными числами, значит, горизонтальных асимптот нет.

Ответ: асимптот нет.

2) $y = \frac{2x³}{1 - x²}$

Это дробно-рациональная функция.

Вертикальные асимптоты.Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$1 - x² \neq 0 \implies x² \neq 1 \implies x \neq \pm 1$

Точки $x = 1$ и $x = -1$ являются точками разрыва. Исследуем поведение функции вблизи этих точек с помощью односторонних пределов.

При $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{2}{0^-} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{2}{0^+} = +\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота.

При $x \to -1$:

$\lim_{x \to -1^+} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x³}{1 - x²} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = -1$ — вертикальная асимптота.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), значит, у графика есть наклонная асимптота вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{x(1 - x²)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{x - x³} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³}{-x³} = -2$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2x³}{1 - x²} - (-2)x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2x³}{1 - x²} + 2x)$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³ + 2x(1 - x²)}{1 - x²} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x³ + 2x - 2x³}{1 - x²} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{1 - x²} = 0$

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты: $y = -2x$.

Ответ: вертикальные асимптоты $x=1$ и $x=-1$; наклонная асимптота $y=-2x$.

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$

Приведем функцию к виду одной дроби: $y = \frac{25 - x²}{5x}$.

Вертикальные асимптоты.Найдем область определения. Знаменатель $5x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Точка $x=0$ является точкой разрыва.

Исследуем поведение функции вблизи этой точки:

$\lim_{x \to 0^+} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) = +\infty - 0 = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) = -\infty - 0 = -\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x = 0$ (ось ординат) — вертикальная асимптота.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты.Используем представление $y = \frac{25 - x²}{5x}$. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), значит, есть наклонная асимптота $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{25 - x²}{5x \cdot x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{25 - x²}{5x²} = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{25}{5x²} - \frac{x²}{5x²}) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x²} - \frac{1}{5}) = 0 - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} ((\frac{5}{x} - \frac{x}{5}) - (-\frac{1}{5})x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x} - \frac{x}{5} + \frac{x}{5}) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x} = 0$

Уравнение наклонной асимптоты: $y = -\frac{1}{5}x$ или $y = -\frac{x}{5}$.

Это можно было увидеть и из исходного вида функции $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$. При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{5}{x}$ стремится к нулю, и график функции приближается к прямой $y = -\frac{x}{5}$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$; наклонная асимптота $y = -\frac{x}{5}$.