Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.18. Исследуйте функцию $y = 3\cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность на про-

межутке:

1) $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$;

2) $(1; 2)$;

3) $(-1; 1)$;

4) $\left[-\frac{7\pi}{12}; 0\right]$.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знак производной на заданных промежутках. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает. Если производная меняет знак на промежутке, функция не является монотонной.

Заданная функция: $y = 3\cos(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Находим ее производную по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (3\cos(2x + \frac{2\pi}{3}))' = 3 \cdot (-\sin(2x + \frac{2\pi}{3})) \cdot (2x + \frac{2\pi}{3})' = -6\sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Характер монотонности функции зависит от знака $\sin(2x + \frac{2\pi}{3})$:

• Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) < 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в 3-й или 4-й четверти, т.е. $\pi + 2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) > 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в 1-й или 2-й четверти, т.е. $2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых монотонность может меняться (точки экстремума), находятся из условия $y' = 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) = 0$. Отсюда $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, что дает $x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{3}$.

Теперь исследуем каждый промежуток.

1) $[0; \frac{2\pi}{3}]$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом отрезке.

При $x=0$, $t = 2(0) + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

При $x=\frac{2\pi}{3}$, $t = 2(\frac{2\pi}{3}) + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Таким образом, когда $x \in [0; \frac{2\pi}{3}]$, аргумент $t$ изменяется в пределах от $\frac{2\pi}{3}$ до $2\pi$.

На промежутке $t \in [\frac{2\pi}{3}, \pi]$ (что соответствует $x \in [0, \frac{\pi}{6}]$), $\sin(t) \ge 0$, поэтому $y' = -6\sin(t) \le 0$, и функция убывает.

На промежутке $t \in [\pi, 2\pi]$ (что соответствует $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$), $\sin(t) \le 0$, поэтому $y' = -6\sin(t) \ge 0$, и функция возрастает.

Точка смены монотонности $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{2\pi}{3}]$. Следовательно, функция не является монотонной на всем отрезке.

Ответ: функция убывает на отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$, следовательно, не является монотонной на промежутке $[0; \frac{2\pi}{3}]$.

2) $(1; 2)$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом интервале.

При $x=1$, $t = 2 + \frac{2\pi}{3}$. При $x=2$, $t = 4 + \frac{2\pi}{3}$.

Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$.

Тогда при $x \in (1; 2)$ аргумент $t \in (2+2.09; 4+2.09)$, то есть $t \in (4.09; 6.09)$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$, весь интервал для $t$ — $(4.09; 6.09)$ — полностью содержится в интервале $(\pi; 2\pi)$.

На интервале $(\pi; 2\pi)$ значение $\sin(t) < 0$.

Следовательно, производная $y' = -6\sin(t)$ будет положительной ($y' > 0$) на всем интервале $(1; 2)$.

Ответ: функция монотонно возрастает на промежутке $(1; 2)$.

3) $(-1; 1)$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом интервале.

При $x=-1$, $t = -2 + \frac{2\pi}{3}$. При $x=1$, $t = 2 + \frac{2\pi}{3}$.

Приближенно, $t \in (-2+2.09; 2+2.09)$, то есть $t \in (0.09; 4.09)$.

Этот интервал для $t$ содержит точку $t=\pi \approx 3.14$.

Точка смены знака $\sin(t)$ соответствует $t=\pi$, то есть $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi$, откуда $2x=\frac{\pi}{3}$, $x=\frac{\pi}{6}$.

Так как $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ и $-1 < \frac{\pi}{6} < 1$, точка смены монотонности лежит внутри интервала $(-1; 1)$.

При $x \in (-1, \frac{\pi}{6})$, $t \in (-2+\frac{2\pi}{3}, \pi)$, где $\sin(t) > 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (\frac{\pi}{6}, 1)$, $t \in (\pi, 2+\frac{2\pi}{3})$, где $\sin(t) < 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

Ответ: функция не является монотонной на промежутке $(-1; 1)$.

4) $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом отрезке.

При $x=-\frac{7\pi}{12}$, $t = 2(-\frac{7\pi}{12}) + \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

При $x=0$, $t = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, когда $x \in [-\frac{7\pi}{12}; 0]$, аргумент $t$ изменяется в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

Этот промежуток для $t$ содержит точку $t=0$, в которой $\sin(t)$ меняет знак.

Точка смены монотонности соответствует $t=0$, то есть $2x + \frac{2\pi}{3} = 0$, откуда $x = -\frac{\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли $x = -\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$. Так как $-\frac{7\pi}{12} < -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3} < 0$, точка принадлежит отрезку.

На промежутке $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ (что соотв. $x \in [-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}]$), $\sin(t) \le 0$, поэтому $y' \ge 0$ (функция возрастает).

На промежутке $t \in [0, \frac{2\pi}{3}]$ (что соотв. $x \in [-\frac{\pi}{3}, 0]$), $\sin(t) \ge 0$, поэтому $y' \le 0$ (функция убывает).

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$, следовательно, не является монотонной на промежутке $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$.

*14.19. При каких положительных значениях параметра $p$ функция

$y = -3\cos\left(3x - \frac{\pi}{2}\right):$

1) возрастает на $(p; 2p)$;

2) убывает на $\left[p; p + \frac{\pi}{3}\right]$?

Для решения задачи сначала упростим данную функцию и найдем ее производную, чтобы определить промежутки монотонности.

Исходная функция: $y = -3\cos(3x - \frac{\pi}{2})$.

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$, получаем:

$y = -3\sin(3x)$

Теперь найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (-3\sin(3x))' = -3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = -9\cos(3x)$.

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.

$-9\cos(3x) > 0 \implies \cos(3x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей четверти:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 3x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки возрастания функции:

$x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.

$-9\cos(3x) < 0 \implies \cos(3x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой четверти:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 3x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки убывания функции. Так как функция и ее производная непрерывны, мы можем включить концы промежутков:

$x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) возрастает на (p; 2p)

Чтобы функция возрастала на интервале $(p; 2p)$, этот интервал должен полностью содержаться в одном из промежутков возрастания. То есть, для некоторого целого $k$ должно выполняться условие:

$(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}) \le p < 2p \le (\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3})$.

Это эквивалентно системе неравенств: $p \ge \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ и $2p \le \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$. Из второго неравенства следует $p \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Таким образом, $p$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le p \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

По условию, $p > 0$. Следовательно, нижняя граница для $p$ должна быть положительной, откуда $ \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} > 0$, что дает $k > -\frac{1}{4}$.

Также, чтобы интервал для $p$ существовал, левая граница не должна превышать правую:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, что дает $k \le \frac{1}{4}$.

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее условиям $-\frac{1}{4} < k \le \frac{1}{4}$, это $k=0$.

Подставляя $k=0$ в двойное неравенство для $p$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \le p \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $p \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}]$.

2) убывает на $[p; p + \frac{\pi}{3}]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[p; p + \frac{\pi}{3}]$, этот отрезок должен полностью содержаться в одном из промежутков убывания. То есть, для некоторого целого $k$ должно выполняться условие:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le p$ и $p + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Из второго неравенства получаем $p \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, то есть $p \le -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Таким образом, мы имеем два условия: $p \ge -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ и $p \le -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Эта система имеет решение только в том случае, когда $p$ в точности равно этому значению:

$p = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

По условию $p$ должно быть положительным: $p > 0$.

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} > 0 \implies \frac{2\pi k}{3} > \frac{\pi}{6} \implies k > \frac{1}{4}$.

Так как $k$ — целое число, то $k$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$ (то есть $k \in \mathbb{N}$).

Таким образом, искомые значения $p$ образуют последовательность.

Ответ: $p = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{N}$.

*14.20. При каких значениях параметра $p$ функция $y = 2\sin(0,5x + \frac{\pi}{6})$:

1) возрастает на $(p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3})$;

2) убывает на $[p; p + \frac{\pi}{2}]$?

1) возрастает на ($p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3}$);

Чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ функция $y = 2\sin(0.5x + \frac{\pi}{6})$ возрастает на заданном интервале, сначала найдем общие промежутки возрастания этой функции. Монотонность функции $y(x)$ определяется поведением функции $\sin(t)$, где $t = 0.5x + \frac{\pi}{6}$. Поскольку коэффициенты 2 (перед синусом) и 0.5 (перед $x$) положительны, функция $y(x)$ возрастает там же, где возрастает $\sin(t)$.

Функция $\sin(t)$ возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем соответствующие промежутки для $x$, решив двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$

Таким образом, функция $y(x)$ возрастает на промежутках $[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы функция возрастала на интервале ($p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3}$), этот интервал должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков возрастания. Это означает, что для некоторого $k \in \mathbb{Z}$ должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} p - \frac{2\pi}{3} \ge -\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \\ p + \frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $p$:

Из первого неравенства: $p \ge -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \implies p \ge -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Из второго неравенства: $p \le \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \implies p \le 4\pi k$.

Объединяя оба условия, получаем, что для каждого целого $k$ параметр $p$ должен удовлетворять неравенству:

$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le p \le 4\pi k$

Ответ: $p \in [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) убывает на [$p; p + \frac{\pi}{2}$]?

Аналогично первому пункту, найдем промежутки убывания функции $y(x)$. Функция $\sin(t)$ убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем соответствующие промежутки для $x$, решив двойное неравенство для аргумента $t = 0.5x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{9\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k$

Следовательно, функция $y(x)$ убывает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{8\pi}{3} + 4\pi k]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы функция убывала на отрезке [$p; p + \frac{\pi}{2}$], этот отрезок должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков убывания. Это означает, что для некоторого $k \in \mathbb{Z}$ должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} p \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ p + \frac{\pi}{2} \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $p$:

Первое неравенство уже дает нам нижнюю границу для $p$.

Из второго неравенства: $p \le \frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Приведем к общему знаменателю: $p \le \frac{16\pi - 3\pi}{6} + 4\pi k \implies p \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$.

Объединяя оба условия, получаем, что для каждого целого $k$ параметр $p$ должен удовлетворять неравенству:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le p \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$

Ответ: $p \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{13\pi}{6} + 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

14.21. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $sin2$, $sin3$, $cos4$, $cos5$;

2) $sin3$, $sin4$, $sin6$, $sin7$.

1) sin2, sin3, cos4, cos5

Для того чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, определим знаки соответствующих тригонометрических функций. Для этого оценим положение углов, заданных в радианах, на единичной окружности, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Ключевые значения: $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Определим знаки выражений.Так как $\pi/2 < 2 < \pi$, угол 2 рад. находится во второй четверти, поэтому $\sin2 > 0$.Так как $\pi/2 < 3 < \pi$, угол 3 рад. также находится во второй четверти, поэтому $\sin3 > 0$.Так как $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол 4 рад. находится в третьей четверти, поэтому $\cos4 < 0$.Так как $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол 5 рад. находится в четвертой четверти, поэтому $\cos5 > 0$.

Единственное отрицательное значение — это $\cos4$, следовательно, оно является наименьшим в данной группе чисел.

Теперь сравним положительные значения: $\sin2$, $\sin3$ и $\cos5$.На интервале $(\pi/2, \pi)$ функция $y=\sin x$ убывает. Поскольку $2 < 3$, отсюда следует, что $\sin2 > \sin3$.

Для сравнения $\sin3$ и $\cos5$, приведем их к значениям функций для острых углов.$\sin3 = \sin(\pi - 3)$.$\cos5 = \cos(2\pi - 5)$.Воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\pi/2 - x)$, чтобы выразить $\cos5$ через синус: $\cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$.Теперь сравним аргументы $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$. Сравнение $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$ равносильно сравнению $5\pi/2 < 8$, или $\pi < 16/5 = 3.2$. Так как это верное неравенство, то $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$.Оба угла, $(\pi - 3)$ и $(5 - 3\pi/2)$, находятся в первой четверти $(0, \pi/2)$, где функция синуса возрастает. Следовательно, $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - 3\pi/2)$, что означает $\sin3 < \cos5$.

Сравним $\sin2$ и $\cos5$. Мы уже знаем, что $\cos5 = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент для $\sin2$ после приведения к первой четверти равен $\pi-2$. Сравним $\pi-2$ и $5-3\pi/2$. Неравенство $\pi-2 > 5-3\pi/2$ равносильно $5\pi/2 > 7$, или $\pi > 14/5 = 2.8$. Это верно. Оба угла в первой четверти, значит $\sin(\pi-2) > \sin(5-3\pi/2)$, т.е. $\sin2 > \cos5$.

Таким образом, для положительных значений установлено неравенство: $\sin3 < \cos5 < \sin2$.Объединяя все результаты, получаем итоговый порядок возрастания: $\cos4 < \sin3 < \cos5 < \sin2$.

Ответ: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

2) sin3, sin4, sin6, sin7

Аналогично первому пункту, определим знаки выражений.Угол 3 рад. находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), поэтому $\sin3 > 0$.Угол 4 рад. находится в третьей четверти ($\pi < 4 < 3\pi/2$), поэтому $\sin4 < 0$.Угол 6 рад. находится в четвертой четверти ($3\pi/2 < 6 < 2\pi$), поэтому $\sin6 < 0$.Угол 7 рад. находится в первой четверти следующего оборота ($2\pi < 7 < 2\pi + \pi/2$), поэтому $\sin7 > 0$.

Сначала сравним отрицательные значения: $\sin4$ и $\sin6$.Приведем их к синусам острых углов: $\sin4 = -\sin(4 - \pi)$ и $\sin6 = -\sin(2\pi - 6)$.Сравним аргументы $4 - \pi$ и $2\pi - 6$. Неравенство $4 - \pi > 2\pi - 6$ равносильно $10 > 3\pi$, или $\pi < 10/3 \approx 3.33$. Это верно.Поскольку оба аргумента находятся в первой четверти и функция синуса там возрастает, $\sin(4 - \pi) > \sin(2\pi - 6)$.Умножив неравенство на -1, изменим знак: $-\sin(4 - \pi) < -\sin(2\pi - 6)$. Следовательно, $\sin4 < \sin6$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin3$ и $\sin7$.Приведем их к синусам острых углов: $\sin3 = \sin(\pi - 3)$ и $\sin7 = \sin(7 - 2\pi)$.Сравним аргументы $\pi - 3$ и $7 - 2\pi$. Неравенство $\pi - 3 < 7 - 2\pi$ равносильно $3\pi < 10$, или $\pi < 10/3$. Это верно.Оба аргумента находятся в первой четверти, где синус возрастает, поэтому $\sin(\pi - 3) < \sin(7 - 2\pi)$.Следовательно, $\sin3 < \sin7$.

Объединяя результаты для отрицательных и положительных чисел, получаем окончательный порядок:$\sin4 < \sin6 < \sin3 < \sin7$.

Ответ: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.

14.22.

1) Тригонометрические функции у древних греков.

2) Тригонометрические функции в Индии.

3) Учение о тригонометрических функциях у народов Центральной Азии и Кавказа.

4) Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе.

5) Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

1) Тригонометрические функции у древних греков.

Зарождение тригонометрии в Древней Греции было неразрывно связано с развитием астрономии. Греческие ученые не использовали тригонометрические функции в современном их понимании (синус, косинус и т.д.). Вместо этого они оперировали понятием хорды. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Длина хорды зависит от центрального угла, который она стягивает. «Отцом тригонометрии» считается Гиппарх Никейский (II в. до н.э.), который первым составил таблицы хорд. Эти таблицы представляли собой по сути таблицы значений функции `$crd(α)$`, где `$α$` — центральный угол. Наиболее полный и дошедший до нас труд, содержащий таблицы хорд, — это «Альмагест» Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Птолемей вычислил значения хорд для углов от $0.5^\circ$ до $180^\circ$ с шагом в $0.5^\circ$ в окружности радиусом $R=60$. Связь между греческой хордой и современным синусом выражается формулой: $crd(α) = 2R \sin(α/2)$. Таким образом, греческая тригонометрия была геометрической, а не аналитической, и служила инструментом для решения астрономических задач, таких как предсказание положений планет.

Ответ: Древние греки использовали для астрономических расчетов тригонометрию, основанную на понятии хорд, а не функций. Ключевой вклад внесли Гиппарх, создавший первые таблицы хорд, и Птолемей, усовершенствовавший их в своем труде «Альмагест».

2) Тригонометрические функции в Индии.

Индийские математики и астрономы в IV-V вв. н.э. совершили качественный скачок в развитии тригонометрии, перейдя от громоздких хорд к более удобным функциям. Они ввели понятие, которое мы сегодня называем синусом. В их трудах, в частности в «Сурья-сиддханте» и работах Арьябхаты (V в. н.э.), появляется функция ардха-джива (полухорда), которую чаще называли просто джива (или джья). Она определялась как половина хорды, стягивающей двойной угол, что соответствует современному определению синуса, умноженному на радиус окружности: $R \sin(α)$. Арьябхата в своем трактате «Арьябхатия» привел первую в истории таблицу синусов с шагом в $3^\circ 45'$. Индийские ученые также ввели и другие функции, такие как косинус (коти-джья) и версинус (уткрама-джья). Этот переход от хорд к синусам значительно упростил вычисления и стал фундаментом для дальнейшего развития тригонометрии в странах исламского мира.

Ответ: Индийские математики заменили греческие хорды на более удобную функцию синуса (джива), а также ввели косинус. Арьябхата составил первые таблицы синусов, что стало важнейшим шагом в развитии тригонометрии.

3) Учение о тригонометрических функциях у народов Центральной Азии и Кавказа.

В IX-XIII веках центр развития математики, включая тригонометрию, переместился на Ближний Восток и в Среднюю Азию. Ученые исламского мира перевели, изучили и синтезировали труды греческих и индийских математиков. Они не только усвоили предыдущие знания, но и значительно их развили, выделив тригонометрию в самостоятельную математическую дисциплину.

Ключевые достижения:

• Мухаммад аль-Хорезми (IX в., Хорезм) составил точные таблицы синусов и косинусов.

• Аль-Баттани (X в.) ввел понятия котангенса и секанса и составил их таблицы.

• Абу-ль-Вафа аль-Бузджани (X в., Хорасан) ввел функции тангенса и косеканса, построил их графики и вывел формулу для синуса суммы углов: $\sin(α+β) = \sin(α)\cos(β) + \cos(α)\sin(β)$.

• Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в., Хорасан) в своем «Трактате о полном четырехстороннике» впервые представил тригонометрию как отдельную науку. Он систематизировал все известные на тот момент знания и доказал теорему синусов для плоских и сферических треугольников: $a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$. Таким образом, были введены все шесть современных тригонометрических функций, и тригонометрия перестала быть лишь приложением к астрономии.

Ответ: Ученые народов Центральной Азии и Кавказа систематизировали тригонометрию, выделив ее в отдельную науку, ввели все шесть тригонометрических функций (тангенс, котангенс, секанс, косеканс) и доказали фундаментальные теоремы, в частности, теорему синусов.

4) Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе.

Европейские ученые познакомились с тригонометрией через переводы арабских трактатов в XII-XIII веках. Первым значительным европейским трудом стала книга «О треугольниках всякого рода» Региомонтана (Иоганн Мюллер, XV в.), которая систематизировала знания о плоской и сферической тригонометрии.

Качественный скачок произошел в XVI-XVII веках. Георг Иоахим Ретик, ученик Коперника, определил тригонометрические функции как отношения сторон прямоугольного треугольника, освободив их от привязки к окружности. Франсуа Виет применил к тригонометрии аппарат алгебры. Изобретение логарифмов Джоном Непером в начале XVII века кардинально упростило тригонометрические вычисления.

Окончательное становление современной тригонометрии связано с работами Леонарда Эйлера в XVIII веке. Он:

• Ввел современную символику: $\sin, \cos, \tan$ и др.

• Распространил определение тригонометрических функций на всю числовую ось, рассматривая их как функции действительного или комплексного переменного.

• Установил знаменитую формулу Эйлера $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$, которая связала тригонометрические функции с показательной функцией и заложила основы теории функций комплексного переменного.

Благодаря работам Эйлера и развитию математического анализа (в частности, рядов Тейлора) тригонометрия приобрела свой современный аналитический вид.

Ответ: В Европе тригонометрия прошла путь от усвоения арабских знаний (Региомонтан) к определению функций как отношений сторон треугольника (Ретик), а затем, благодаря работам Эйлера и развитию матанализа, превратилась в раздел аналитической теории функций.

5) Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

Тригонометрические функции являются одним из наиболее востребованных математических инструментов и находят применение в самых разных сферах:

• Физика и инженерия: Описание любых колебательных и волновых процессов (звуковые волны, световые волны, переменный электрический ток, колебания маятника) осуществляется с помощью синусов и косинусов, например, по формуле $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. В механике они используются для разложения векторов сил на составляющие при проектировании мостов, зданий и других сооружений.

• Астрономия и геодезия: Метод триангуляции, основанный на тригонометрии, позволяет измерять расстояния до далеких объектов (звезд, планет) и составлять точные географические карты. Системы глобального позиционирования (GPS) используют тригонометрические вычисления для определения местоположения.

• Компьютерная графика: Вращение, масштабирование и перемещение 2D и 3D объектов на экране выполняются с помощью матриц преобразования, элементами которых являются тригонометрические функции.

• Обработка сигналов и изображений: Сжатие данных, например в формате JPEG, использует дискретное косинус-преобразование, которое раскладывает изображение на совокупность гармоник. Преобразование Фурье, основанное на синусах и косинусах, является ключевым инструментом для анализа любых сигналов.

• Медицина: Анализ периодических сигналов организма, таких как электрокардиограмма (ЭКГ) и электроэнцефалограмма (ЭЭГ), опирается на методы, использующие тригонометрические ряды. Алгоритмы реконструкции изображений в компьютерной томографии (КТ) и МРТ также включают тригонометрические преобразования.

• Музыка и акустика: Любой музыкальный звук можно представить как сумму простых синусоидальных волн (гармоник), что позволяет анализировать тембр и синтезировать новые звуки.

Ответ: Тригонометрические функции незаменимы для описания волн и колебаний в физике, для навигации и картографии (GPS, триангуляция), в компьютерной графике, сжатии данных (JPEG), анализе медицинских сигналов (ЭКГ) и в акустике.

14.23. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $ \cos 2 \cdot (2x - 1) < 0; $

2) $ \cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 1) < 0. $

1) $\cos2 \cdot (2x - 1) < 0$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Выражение $\cos2$ является постоянным коэффициентом. Чтобы решить неравенство, нам нужно определить знак этой константы.

Аргумент косинуса, 2, задан в радианах. Для определения знака сравним его со значениями $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$, следовательно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти функция косинуса принимает отрицательные значения, то есть $\cos2 < 0$.

Поскольку мы имеем произведение отрицательного числа $(\cos2)$ и выражения $(2x - 1)$, и это произведение должно быть меньше нуля, то выражение $(2x - 1)$ должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые больше $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) $\cos3 \cdot \cos5 \cdot (x^2 - 1) < 0$

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Коэффициент $\cos3 \cdot \cos5$ является константой. Определим знак этой константы, оценив знаки каждого множителя.

Определим знак $\cos3$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Угол в 3 радиана находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos3 < 0$.

Определим знак $\cos5$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол в 5 радиан находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos5 > 0$.

Теперь определим знак всего коэффициента $\cos3 \cdot \cos5$. Это произведение отрицательного числа $(\cos3)$ и положительного $(\cos5)$, значит, результат отрицателен: $\cos3 \cdot \cos5 < 0$.

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $\cos3 \cdot \cos5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Парабола $y = x^2 - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

14.24. Вычислите значение выражения:

1) $ \operatorname{tg} 2 \cdot \operatorname{ctg} 2 + \cos^2\pi - \sin^2 15 - \cos^2 15 $

2) $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $

1) Вычислим значение выражения $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $.

Для решения разобьем выражение на части и вычислим значение каждой из них.

Первая часть: $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $. Это тождество верно для всех углов $ \alpha $, для которых тангенс и котангенс определены. Угол в 2 радиана удовлетворяет этому условию.

Следовательно, $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 = 1 $.

Вторая часть: $ \cos^2\pi $.

Значение косинуса угла $ \pi $ радиан (180°) равно -1.

Тогда $ \cos^2\pi = (\cos\pi)^2 = (-1)^2 = 1 $.

Третья часть: $ -\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $.

Вынесем знак минус за скобки: $ -(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) $.

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Получаем $ -(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) = -(1) = -1 $.

Теперь сложим все полученные значения:

$ 1 + 1 + (-1) = 1 + 1 - 1 = 1 $.

Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $.

В данном выражении углы 1 и $ (1+\pi) $ даны в радианах, а 60° и 30° — в градусах.

Рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) $.

Используем формулу приведения $ \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha $.

Применив ее, получаем: $ \cos(1 + \pi) = -\cos 1 $.

Тогда сумма первых двух слагаемых равна $ \cos 1 + (-\cos 1) = \cos 1 - \cos 1 = 0 $.

Теперь рассмотрим оставшуюся часть выражения: $ \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $.

Это табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Их разность равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $.

Сложим результаты, полученные для обеих частей выражения:

$ 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0

Исследуйте функцию $y = f(x)$ и постройте ее графики (50.7-50.10):

50.7.1) $f(x) = -8x + 1,5;$

2) $f(x) = 1,2x - 10;$

3) $f(x) = -6x^2 + x + 1;$

4) $f(x) = 3x^2 - 7x.$

50.7.1) f(x) = -8x + 1,5

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = -8x + 1,5$ — линейная, её график — прямая линия.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдём точки пересечения графика с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = -8 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Точка пересечения $(0; 1,5)$.

- С осью Ox (нули функции): $y=0$, $-8x + 1,5 = 0$, откуда $8x = 1,5$, $x = \frac{1,5}{8} = \frac{3}{16} = 0,1875$. Точка пересечения $(\frac{3}{16}; 0)$.

5. Монотонность функции. Так как угловой коэффициент $k = -8 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $f(x) > 0$ при $-8x + 1,5 > 0$, то есть $x < \frac{3}{16}$.

- $f(x) < 0$ при $-8x + 1,5 < 0$, то есть $x > \frac{3}{16}$.

Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмём найденные точки пересечения с осями: $(0; 1,5)$ и $(\frac{3}{16}; 0)$. Соединив эти точки, получим график функции.

Ответ: Функция $f(x) = -8x + 1,5$ — линейная, убывающая на всей числовой прямой. Область определения и область значений — все действительные числа. График — прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(\frac{3}{16}; 0)$.

2) f(x) = 1,2x - 10

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = 1,2x - 10$ — линейная, её график — прямая линия.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдём точки пересечения графика с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 1,2 \cdot 0 - 10 = -10$. Точка пересечения $(0; -10)$.

- С осью Ox (нули функции): $y=0$, $1,2x - 10 = 0$, откуда $1,2x = 10$, $x = \frac{10}{1,2} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$. Точка пересечения $(\frac{25}{3}; 0)$.

5. Монотонность функции. Так как угловой коэффициент $k = 1,2 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

6. Промежутки знакопостоянства:

- $f(x) > 0$ при $1,2x - 10 > 0$, то есть $x > \frac{25}{3}$.

- $f(x) < 0$ при $1,2x - 10 < 0$, то есть $x < \frac{25}{3}$.

Построение графика:

Для построения прямой используем две точки, например, точки пересечения с осями: $(0; -10)$ и $(\frac{25}{3}; 0)$, что примерно равно $(8,33; 0)$. Соединяем эти точки прямой линией.

Ответ: Функция $f(x) = 1,2x - 10$ — линейная, возрастающая на всей числовой прямой. Область определения и область значений — все действительные числа. График — прямая, проходящая через точки $(0; -10)$ и $(\frac{25}{3}; 0)$.

3) f(x) = -6x² + x + 1

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = -6x^2 + x + 1$ — квадратичная, её график — парабола.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a = -6 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

- $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-6)} = \frac{1}{12}$.

- $y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{12}) = -6(\frac{1}{12})^2 + \frac{1}{12} + 1 = -6 \cdot \frac{1}{144} + \frac{1}{12} + 1 = -\frac{1}{24} + \frac{2}{24} + \frac{24}{24} = \frac{25}{24}$.

- Вершина параболы: $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$.

5. Область значений функции $E(f) = (-\infty; \frac{25}{24}]$.

6. Найдём точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (нули функции): $-6x^2 + x + 1 = 0 \implies 6x^2 - x - 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{1-5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Точки пересечения $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(\frac{1}{2}; 0)$.

7. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; \frac{1}{12}]$ и убывает на $[\frac{1}{12}; +\infty)$.

8. В точке $x = \frac{1}{12}$ функция достигает максимума, $y_{max} = \frac{25}{24}$.

Построение графика:

Строим параболу с ветвями вниз, проходящую через ключевые точки: вершину $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$, точки пересечения с осями $(-\frac{1}{3}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(0; 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{1}{12}$.

Ответ: Функция $f(x) = -6x^2 + x + 1$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(\frac{1}{12}; \frac{25}{24})$. Функция возрастает на $(-\infty; \frac{1}{12}]$ и убывает на $[\frac{1}{12}; +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(-\frac{1}{3}; 0)$, $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(0; 1)$.

4) f(x) = 3x² - 7x

Исследование функции:

1. Функция $f(x) = 3x^2 - 7x$ — квадратичная, её график — парабола.

2. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

- $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$.

- $y_0 = f(x_0) = f(\frac{7}{6}) = 3(\frac{7}{6})^2 - 7(\frac{7}{6}) = 3 \cdot \frac{49}{36} - \frac{49}{6} = \frac{49}{12} - \frac{98}{12} = -\frac{49}{12}$.

- Вершина параболы: $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$.

5. Область значений функции $E(f) = [-\frac{49}{12}; +\infty)$.

6. Найдём точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью Ox (нули функции): $3x^2 - 7x = 0 \implies x(3x-7) = 0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = \frac{7}{3}$.

Точки пересечения $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$.

7. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; \frac{7}{6}]$ и возрастает на $[\frac{7}{6}; +\infty)$.

8. В точке $x = \frac{7}{6}$ функция достигает минимума, $y_{min} = -\frac{49}{12}$.

Построение графика:

Строим параболу с ветвями вверх, проходящую через ключевые точки: вершину $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{7}{6}$.

Ответ: Функция $f(x) = 3x^2 - 7x$ — квадратичная. График — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(\frac{7}{6}; -\frac{49}{12})$. Функция убывает на $(-\infty; \frac{7}{6}]$ и возрастает на $[\frac{7}{6}; +\infty)$. Точки пересечения с осями: $(0; 0)$ и $(\frac{7}{3}; 0)$.

50.8.1) $f(x) = 48x - x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 27x$;

3) $f(x) = x^4 - 1$;

4) $f(x) = -x^4 + 1$.

1) Для исследования функции $f(x) = 48x - x^3$ на монотонность и экстремумы, выполним следующие действия:

1. Область определения функции. Так как $f(x)$ является многочленом, её область определения — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (48x - x^3)' = 48 - 3x^2$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$48 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 48$

$x^2 = 16$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, -4)$, возьмём $x=-5$. $f'(-5) = 48 - 3(-5)^2 = 48 - 75 = -27 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-4, 4)$, возьмём $x=0$. $f'(0) = 48 - 3(0)^2 = 48 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(4, +\infty)$, возьмём $x=5$. $f'(5) = 48 - 3(5)^2 = 48 - 75 = -27 < 0$. Функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

- В точке $x = -4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(-4) = 48(-4) - (-4)^3 = -192 + 64 = -128$.

- В точке $x = 4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(4) = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[4, +\infty)$, возрастает на промежутке $[-4, 4]$. Точка минимума: $(-4, -128)$. Точка максимума: $(4, 128)$.

2) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 - 27x$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (-x^3 - 27x)' = -3x^2 - 27$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-3x^2 - 27 = 0$

$-3x^2 = 27$

$x^2 = -9$.

Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определим знак производной. Выражение $f'(x) = -3x^2 - 27 = -3(x^2 + 9)$ всегда отрицательно при любом $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 \ge 0$ и, соответственно, $x^2 + 9 > 0$.

5. Поскольку производная $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция является монотонно убывающей. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция убывает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = x^4 - 1$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$4x^3 = 0$

$x = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмём $x=-1$. $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0, +\infty)$, возьмём $x=1$. $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции: $f(0) = 0^4 - 1 = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка минимума: $(0, -1)$.

4) Исследуем функцию $f(x) = -x^4 + 1$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (-x^4 + 1)' = -4x^3$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-4x^3 = 0$

$x = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмём $x=-1$. $f'(-1) = -4(-1)^3 = 4 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0, +\infty)$, возьмём $x=1$. $f'(1) = -4(1)^3 = -4 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. Значение функции: $f(0) = -(0)^4 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка максимума: $(0, 1)$.

50.9.1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$;

4) $f(x) = -x^4 + 4$.

1) Для функции $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$), $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (-2, 2)$ (например, $x=0$), $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (2, +\infty)$ (например, $x=3$), $f'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Промежуток возрастания: $[-2, 2]$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.

Точка минимума: $x_{min} = -2$.

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$, точка минимума $x_{min} = -2$, точка максимума $x_{max} = 2$.

2) Для функции $f(x) = -x^3 - 6x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^3 - 6x)' = -3x^2 - 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-3x^2 - 6 = 0$

$-3x^2 = 6$

$x^2 = -2$.

Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, критических точек нет.

Определим знак производной на всей области определения. Так как $-3x^2 \le 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -3x^2 - 6$ всегда отрицательна (например, $f'(0)=-6 < 0$).

Поскольку производная отрицательна на всей числовой оси, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Точек экстремума (максимума и минимума) у функции нет.

Промежутков возрастания нет.

Промежуток убывания: $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Для функции $f(x) = 2x^4 - 8x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$8x^3 - 8 = 0$

$8x^3 = 8$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, 1)$ (например, $x=0$), $f'(0) = 8(0)^3 - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=2$), $f'(2) = 8(2)^3 - 8 = 64 - 8 = 56 > 0$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Промежуток возрастания: $[1, +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

Точка минимума: $x_{min} = 1$.

Точек максимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$, точка минимума $x_{min} = 1$.

4) Для функции $f(x) = -x^4 + 4$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^4 + 4)' = -4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-4x^3 = 0$

$x = 0$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = -4(-1)^3 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (0, +\infty)$ (например, $x=1$), $f'(1) = -4(1)^3 = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Точка максимума: $x_{max} = 0$.

Точек минимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$, убывает на промежутке $[0, +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 0$.

50.10. 1) $f(x) = 18x - x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 6x$;

3) $f(x) = x^4 - 16$;

4) $f(x) = -x^4 + 4x$.

1) Дана функция $f(x) = 18x - x^3$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (18x - x^3)' = 18 - 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$18 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 18$

$x^2 = 6$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$.

Критические точки $x = -\sqrt{6}$ и $x = \sqrt{6}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{6})$, например при $x = -3$: $f'(-3) = 18 - 3(-3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

- На интервале $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$, например при $x = 0$: $f'(0) = 18 - 3(0)^2 = 18 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt{6}; +\infty)$, например при $x = 3$: $f'(3) = 18 - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

В точке $x = -\sqrt{6}$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $x_{min} = -\sqrt{6}$.

В точке $x = \sqrt{6}$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $x_{max} = \sqrt{6}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$; убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$; $x_{min} = -\sqrt{6}$, $x_{max} = \sqrt{6}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 - 6x$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (-x^3 - 6x)' = -3x^2 - 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-3x^2 - 6 = 0$

$-3x^2 = 6$

$x^2 = -2$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, поэтому критических точек нет.

Определим знак производной на всей области определения. Выражение $f'(x) = -3x^2 - 6 = -(3x^2 + 6)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 + 6$ всегда положительно. Следовательно, $f'(x)$ всегда отрицательна для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей числовой оси, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Экстремумов у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, экстремумов нет.

3) Дана функция $f(x) = x^4 - 16$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x^4 - 16)' = 4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$4x^3 = 0$

$x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает.

- На интервале $(0; +\infty)$, например при $x = 1$: $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.

Значение функции в этой точке: $f(0) = 0^4 - 16 = -16$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$; возрастает на промежутке $(0; +\infty)$; $x_{min} = 0$.

4) Дана функция $f(x) = -x^4 + 4x$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (-x^4 + 4x)' = -4x^3 + 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-4x^3 + 4 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; 1)$, например при $x = 0$: $f'(0) = -4(0)^3 + 4 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$, например при $x = 2$: $f'(2) = -4(2)^3 + 4 = -32 + 4 = -28 < 0$. Следовательно, функция убывает.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $x_{max} = 1$.

Значение функции в этой точке: $f(1) = -(1)^4 + 4(1) = -1 + 4 = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$; убывает на промежутке $(1; +\infty)$; $x_{max} = 1$.

Исследуйте функцию $y = f(x)$ и постройте ее графики (50.11–50.14):

50.11. 1) $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - x^2$; 2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2$; 3) $f(x) = -x^3 + 4x^2$.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 - (-x)^2 = -\frac{1}{3}x^3 - x^2$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies \frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(\frac{1}{3}x - 1) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=3$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Находим первую производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = x^2 - 2x$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим вторую производную: $f''(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Находим точки, где вторая производная равна нулю: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- При $x \in (1, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиб} = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

Точка перегиба: $(1, -2/3)$.

7. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный максимум, пересечение осей), $(3, 0)$ (пересечение с осью Ox), $(2, -4/3)$ (локальный минимум), $(1, -2/3)$ (точка перегиба). График идет из $-\infty$, возрастает до $(0,0)$, затем убывает до $(2, -4/3)$, меняя направление выпуклости в точке $(1, -2/3)$, и далее возрастает в $+\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(3,0)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на $(0, 2)$. Точка локального максимума $(0, 0)$, точка локального минимума $(2, -4/3)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1)$ и выпуклый вниз на $(1, +\infty)$. Точка перегиба $(1, -2/3)$. График пересекает оси координат в точках $(0,0)$ и $(3,0)$.

2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = -3(-x)^3 + 2(-x)^2 = 3x^3 + 2x^2$.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies -3x^3 + 2x^2 = 0 \implies -x^2(3x - 2) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=2/3$. Точки $(0, 0)$ и $(2/3, 0)$.

4. Асимптоты.

Асимптот нет, так как функция является многочленом.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2)' = -9x^2 + 4x$.

$f'(x) = 0 \implies -x(9x - 4) = 0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=4/9$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0, 4/9)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (4/9, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=0$ - точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=4/9$ - точка локального максимума. $y_{max} = f(4/9) = -3(\frac{4}{9})^3 + 2(\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}(-\frac{12}{9} + 2) = \frac{16}{81}(\frac{6}{9}) = \frac{16}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{243}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (-9x^2 + 4x)' = -18x + 4$.

$f''(x) = 0 \implies -18x + 4 = 0 \implies x = 4/18 = 2/9$.

- При $x \in (-\infty, 2/9)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (2/9, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

$x=2/9$ - точка перегиба. $y_{перегиб} = f(2/9) = -3(\frac{2}{9})^3 + 2(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}(-\frac{6}{9}+2) = \frac{4}{81}(\frac{12}{9}) = \frac{4}{81} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{243}$.

Точка перегиба: $(2/9, 16/243)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный минимум, пересечение осей), $(2/3, 0)$ (пересечение с Ox), $(4/9, 32/243)$ (локальный максимум), $(2/9, 16/243)$ (точка перегиба). График идет из $+\infty$, убывает до $(0,0)$, затем возрастает до $(4/9, 32/243)$, меняя выпуклость в точке $(2/9, 16/243)$, и далее убывает в $-\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(2/3, 0)$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(4/9, +\infty)$, возрастает на $(0, 4/9)$. Точка локального минимума $(0, 0)$, точка локального максимума $(4/9, 32/243)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2/9)$ и выпуклый вверх на $(2/9, +\infty)$. Точка перегиба $(2/9, 16/243)$. Пересечение с осями в точках $(0,0)$ и $(2/3, 0)$.

3) $f(x) = -x^3 + 4x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 = x^3 + 4x^2$.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies -x^3 + 4x^2 = 0 \implies -x^2(x - 4) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты.

Асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$f'(x) = (-x^3 + 4x^2)' = -3x^2 + 8x$.

$f'(x) = 0 \implies -x(3x - 8) = 0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=8/3$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0, 8/3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (8/3, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=0$ - точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=8/3$ - точка локального максимума. $y_{max} = f(8/3) = -(\frac{8}{3})^3 + 4(\frac{8}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2(-\frac{8}{3}+4) = \frac{64}{9}(\frac{4}{3}) = \frac{256}{27}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (-3x^2 + 8x)' = -6x + 8$.

$f''(x) = 0 \implies -6x + 8 = 0 \implies x = 8/6 = 4/3$.

- При $x \in (-\infty, 4/3)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (4/3, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

$x=4/3$ - точка перегиба. $y_{перегиб} = f(4/3) = -(\frac{4}{3})^3 + 4(\frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2(-\frac{4}{3}+4) = \frac{16}{9}(\frac{8}{3}) = \frac{128}{27}$.

Точка перегиба: $(4/3, 128/27)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный минимум, пересечение осей), $(4, 0)$ (пересечение с Ox), $(8/3, 256/27)$ (локальный максимум, $8/3 \approx 2.67, 256/27 \approx 9.48$), $(4/3, 128/27)$ (точка перегиба, $4/3 \approx 1.33, 128/27 \approx 4.74$). График идет из $+\infty$, убывает до $(0,0)$, затем возрастает до $(8/3, 256/27)$, меняя выпуклость в точке $(4/3, 128/27)$, и далее убывает в $-\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(4, 0)$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(8/3, +\infty)$, возрастает на $(0, 8/3)$. Точка локального минимума $(0, 0)$, точка локального максимума $(8/3, 256/27)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вверх на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 128/27)$. Пересечение с осями в точках $(0,0)$ и $(4, 0)$.

1) $f(x) = \frac{10}{5-x}$;

2) $f(x) = \frac{4}{3+x}$;

3) $f(x) = \frac{2}{1+2x}$.

1) Чтобы разложить функцию $f(x) = \frac{10}{5-x}$ в степенной ряд в окрестности точки $x=0$ (ряд Маклорена), воспользуемся известным разложением для суммы бесконечной геометрической прогрессии: $\frac{b}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} bq^n$, которое сходится при $|q| < 1$.

Преобразуем данную функцию к этому виду. Для этого вынесем в знаменателе 5 за скобки:

$f(x) = \frac{10}{5-x} = \frac{10}{5(1 - \frac{x}{5})} = \frac{2}{1 - \frac{x}{5}}$.

Теперь функция представлена в нужном виде, где $b=2$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{5}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы ряда:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot \left(\frac{x}{5}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^n}{5^n}$.

Этот степенной ряд сходится, когда выполняется условие $|q| < 1$, то есть $|\frac{x}{5}| < 1$, что равносильно $|x| < 5$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}x^n$.

2) Для разложения функции $f(x) = \frac{4}{3+x}$ в степенной ряд поступим аналогично. Используем формулу суммы геометрической прогрессии $\frac{b}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} bq^n$.

Преобразуем функцию к требуемому виду:

$f(x) = \frac{4}{3+x} = \frac{4}{3(1 + \frac{x}{3})} = \frac{4/3}{1 - (-\frac{x}{3})}$.

В данном случае $b = \frac{4}{3}$ и знаменатель прогрессии $q = -\frac{x}{3}$.

Подставим эти значения в формулу ряда:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{3} \left(-\frac{x}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{(-1)^n x^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$.

Ряд сходится при условии $|q| < 1$, то есть $|-\frac{x}{3}| < 1$, что равносильно $|x| < 3$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$.

3) Разложим функцию $f(x) = \frac{2}{1+2x}$ в степенной ряд, используя тот же метод.

Преобразуем функцию к виду $\frac{b}{1-q}$:

$f(x) = \frac{2}{1+2x} = \frac{2}{1 - (-2x)}$.

Здесь $b=2$ и знаменатель прогрессии $q = -2x$.

Записываем разложение в ряд:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2(-2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot (-1)^n 2^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{n+1} x^n$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$ дает нам $|-2x| < 1$, что равносильно $|x| < \frac{1}{2}$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{n+1} x^n$.

50.13.

1) $f(x) = \frac{x}{2x+1}$;

2) $f(x) = \frac{x}{1-5x}$;

3) $f(x) = \frac{2x}{1-2x}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{x}{2x+1}$. Для нахождения производной этой функции мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (или формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 2x+1$.

Сначала найдем производные для числителя $u(x)$ и знаменателя $v(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (2x+1)' = 2$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{1 \cdot (2x+1) - x \cdot 2}{(2x+1)^2}$

Далее, упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x+1 - 2x}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{1-5x}$. Аналогично первому пункту, применим правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 1-5x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (1-5x)' = -5$

Подставляем в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{1 \cdot (1-5x) - x \cdot (-5)}{(1-5x)^2}$

Упрощаем полученное выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{1-5x + 5x}{(1-5x)^2} = \frac{1}{(1-5x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{(1-5x)^2}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{2x}{1-2x}$. Снова воспользуемся правилом дифференцирования частного.

В этом случае $u(x) = 2x$ и $v(x) = 1-2x$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (2x)' = 2$

$v'(x) = (1-2x)' = -2$

Подставляем значения в формулу:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2 \cdot (1-2x) - 2x \cdot (-2)}{(1-2x)^2}$

Упрощаем числитель дроби:

$f'(x) = \frac{2 - 4x + 4x}{(1-2x)^2} = \frac{2}{(1-2x)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{(1-2x)^2}$.

50.14.1.

1) $f(x) = 2 + \sqrt{4+x}$

2) $f(x) = -3 + \sqrt{2-x}$

3) $f(x) = \sqrt{3+x} - 2$

1) Для функции $f(x) = 2 + \sqrt{4+x}$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться неравенство $4+x \ge 0$. Решая его, получаем $x \ge -4$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [-4, +\infty)$.

Область значений: Арифметический квадратный корень $\sqrt{4+x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{4+x} \ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=-4$. Тогда наименьшее значение функции будет $f(-4) = 2 + \sqrt{4-4} = 2$. При увеличении $x$ значение корня, а значит и всей функции, неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции $E(f) = [2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$; область значений $E(f) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -3 + \sqrt{2-x}$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$. Решая неравенство, получаем $x \le 2$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty, 2]$.

Область значений: Значение корня $\sqrt{2-x}$ всегда неотрицательно: $\sqrt{2-x} \ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=2$. Тогда наименьшее значение функции будет $f(2) = -3 + \sqrt{2-2} = -3$. При уменьшении $x$ значение корня и функции неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-3, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, 2]$; область значений $E(f) = [-3, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{3+x} - 2$ найдем область определения и область значений.

Область определения: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3+x \ge 0$. Отсюда следует, что $x \ge -3$. Следовательно, область определения функции $D(f) = [-3, +\infty)$.

Область значений: Квадратный корень $\sqrt{3+x}$ принимает значения $\ge 0$. Наименьшее значение корня равно 0 при $x=-3$. Тогда наименьшее значение функции равно $f(-3) = \sqrt{3-3} - 2 = -2$. С ростом $x$ значение функции неограниченно увеличивается. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-3, +\infty)$; область значений $E(f) = [-2, +\infty)$.

Постройте графики функции $y = f(x)$ (50.15–50.17):

50.15. 1) $y = \frac{1 + 2x}{x^2 + 2}$;

2) $y = \frac{2 - x}{x^2 + 5}$;

3) $y = \frac{3 + x}{x^2 + 3}$.

1) $y = \frac{1 + 2x}{x^2 + 2}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби $x^2 + 2$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 2 \ge 2$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{1 + 2 \cdot 0}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения $(0; 1/2)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow \frac{1 + 2x}{x^2 + 2} = 0 \Rightarrow 1 + 2x = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Точка пересечения $(-1/2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{1 + 2(-x)}{(-x)^2 + 2} = \frac{1 - 2x}{x^2 + 2}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. График не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Найдем горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2x}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1/x + 2)}{x^2(1 + 2/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1/x + 2}{1 + 2/x^2} = 0$.

Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную:$y' = \left(\frac{1 + 2x}{x^2 + 2}\right)' = \frac{(1+2x)'(x^2+2) - (1+2x)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = \frac{2(x^2+2) - (1+2x)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2+4-2x-4x^2}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x^2+x-2)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -2(x+2)(x-1)=0$. Отсюда $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty; -2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-2; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. $y(-2) = \frac{1+2(-2)}{(-2)^2+2} = \frac{-3}{6} = -0.5$. Точка минимума $(-2; -0.5)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $y(1) = \frac{1+2(1)}{1^2+2} = \frac{3}{3} = 1$. Точка максимума $(1; 1)$.

6. Построение графика.

Собираем все данные:

- Точки пересечения с осями: $(-0.5; 0)$ и $(0; 0.5)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный минимум: $(-2; -0.5)$.

- Локальный максимум: $(1; 1)$.

График приходит из $-\infty$ слева, приближаясь к оси Ox сверху ($y>0$ для больших отрицательных $x$, но это не так, $y<0$ для $x<-0.5$), убывает до точки минимума $(-2; -0.5)$. Затем возрастает, пересекая оси в точках $(-0.5; 0)$ и $(0; 0.5)$, достигает максимума в точке $(1; 1)$, после чего снова убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox справа ($y \to 0^+$ при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[1; +\infty)$, и возрастает на интервале $[-2; 1]$. Точка локального минимума $(-2; -0.5)$, точка локального максимума $(1; 1)$. График пересекает ось Ox в точке $(-0.5; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 0.5)$.

2) $y = \frac{2 - x}{x^2 + 5}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель $x^2 + 5$ всегда больше или равен 5, поэтому он никогда не равен нулю. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{2 - 0}{0^2 + 5} = \frac{2}{5}$. Точка пересечения $(0; 2/5)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x^2 + 5} = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка пересечения $(2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{2 - (-x)}{(-x)^2 + 5} = \frac{2 + x}{x^2 + 5}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - x}{x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(2/x - 1)}{x^2(1 + 5/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2/x - 1}{1 + 5/x^2} = 0$.

Прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{2-x}{x^2+5}\right)' = \frac{(-1)(x^2+5) - (2-x)(2x)}{(x^2+5)^2} = \frac{-x^2-5-4x+2x^2}{(x^2+5)^2} = \frac{x^2-4x-5}{(x^2+5)^2} = \frac{(x-5)(x+1)}{(x^2+5)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

Определим знаки производной:

- при $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (-1; 5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y(-1) = \frac{2 - (-1)}{(-1)^2 + 5} = \frac{3}{6} = 0.5$. Точка максимума $(-1; 0.5)$.

В точке $x = 5$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y(5) = \frac{2 - 5}{5^2 + 5} = \frac{-3}{30} = -0.1$. Точка минимума $(5; -0.1)$.

6. Построение графика.

Сводка данных:

- Точки пересечения с осями: $(2; 0)$ и $(0; 0.4)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный максимум: $(-1; 0.5)$.

- Локальный минимум: $(5; -0.1)$.

График приходит из $-\infty$, приближаясь к асимптоте $y=0$ снизу ($y \to 0^-$). Возрастает до точки максимума $(-1; 0.5)$. Затем убывает, пересекая оси в точках $(0; 0.4)$ и $(2; 0)$, достигает минимума в точке $(5; -0.1)$. После этого снова возрастает, приближаясь к асимптоте $y=0$ снизу ($y \to 0^-$ при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции — кривая с горизонтальной асимптотой $y=0$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$, и убывает на интервале $[-1; 5]$. Точка локального максимума $(-1; 0.5)$, точка локального минимума $(5; -0.1)$. График пересекает ось Ox в точке $(2; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 0.4)$.

3) $y = \frac{3 + x}{x^2 + 3}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель $x^2 + 3 \ge 3$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{3 + 0}{0^2 + 3} = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow 3 + x = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка пересечения $(-3; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{3 - x}{(-x)^2 + 3} = \frac{3 - x}{x^2 + 3}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 + x}{x^2 + 3} = 0$. Прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{3+x}{x^2+3}\right)' = \frac{(1)(x^2+3) - (3+x)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 6x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2-6x+3}{(x^2+3)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -x^2 - 6x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 3 = 0$.

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

$x_1 = -3 - 2\sqrt{3} \approx -6.46$.

$x_2 = -3 + 2\sqrt{3} \approx 0.46$.

Знак производной определяется параболой $f(x)=-x^2-6x+3$, ветви которой направлены вниз.

- при $x \in (-\infty; -3-2\sqrt{3})$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-3-2\sqrt{3}; -3+2\sqrt{3})$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (-3+2\sqrt{3}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка $x_1 = -3 - 2\sqrt{3}$ — точка локального минимума. $y(-3 - 2\sqrt{3}) = \frac{3-3-2\sqrt{3}}{(-3-2\sqrt{3})^2+3} = \frac{-2\sqrt{3}}{9+12\sqrt{3}+12+3} = \frac{-2\sqrt{3}}{24+12\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{6(2+\sqrt{3})} = \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \approx -0.077$.

Точка $x_2 = -3 + 2\sqrt{3}$ — точка локального максимума. $y(-3 + 2\sqrt{3}) = \frac{3-3+2\sqrt{3}}{(-3+2\sqrt{3})^2+3} = \frac{2\sqrt{3}}{9-12\sqrt{3}+12+3} = \frac{2\sqrt{3}}{24-12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6(2-\sqrt{3})} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6} \approx 1.077$.

Экстремумы: минимум в точке $(-3-2\sqrt{3}; \frac{3-2\sqrt{3}}{6})$, максимум в точке $(-3+2\sqrt{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{6})$.

6. Построение графика.

Сводка данных:

- Точки пересечения с осями: $(-3; 0)$ и $(0; 1)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный минимум: $\approx (-6.46; -0.077)$.

- Локальный максимум: $\approx (0.46; 1.077)$.

График приближается к асимптоте $y=0$ слева ($y \to 0^-$). Убывает до точки минимума $\approx (-6.46; -0.077)$. Затем возрастает, пересекая оси в точках $(-3; 0)$ и $(0; 1)$, достигает максимума в точке $\approx (0.46; 1.077)$. После этого убывает, приближаясь к асимптоте $y=0$ справа ($y \to 0^+$).

Ответ: График функции — кривая с горизонтальной асимптотой $y=0$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; -3-2\sqrt{3}]$ и $[-3+2\sqrt{3}; +\infty)$, и возрастает на интервале $[-3-2\sqrt{3}; -3+2\sqrt{3}]$. Точка локального минимума $(-3-2\sqrt{3}; \frac{3-2\sqrt{3}}{6})$ (приблизительно $(-6.46; -0.08)$). Точка локального максимума $(-3+2\sqrt{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{6})$ (приблизительно $(0.46; 1.08)$). График пересекает ось Ox в точке $(-3; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 1)$.

50.16.

1) $y = \frac{9 + x^2}{x^2 - 9}$;

2) $y = \frac{3 + x^2}{x^2 - 4}$;

3) $y = \frac{3 - 2x^2}{x^2 - 1}$.

1) $y = \frac{9+x^2}{x^2-9}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-9 \neq 0$, что означает $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{9+(-x)^2}{(-x)^2-9} = \frac{9+x^2}{x^2-9} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{9+0}{0-9} = -1$. Точка $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{9+x^2}{x^2-9} = 0 \Rightarrow 9+x^2=0 \Rightarrow x^2=-9$. Действительных корней нет, пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=3$ и $x=-3$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{9+x^2}{x^2-9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1+9/x^2)}{x^2(1-9/x^2)} = 1$.

Горизонтальная асимптота $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^2+9}{x^2-9})' = \frac{2x(x^2-9) - (x^2+9) \cdot 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 - 18x}{(x^2-9)^2} = \frac{-36x}{(x^2-9)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 3) \cup (3; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -1$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-36x}{(x^2-9)^2})' = -36 \frac{(x^2-9)^2 - x \cdot 2(x^2-9) \cdot 2x}{(x^2-9)^4} = -36 \frac{x^2-9-4x^2}{(x^2-9)^3} = \frac{-36(-3x^2-9)}{(x^2-9)^3} = \frac{108(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $x^2+3 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-9)^3$.

При $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$, $x^2-9 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-3; 3)$, $x^2-9 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 3$, горизонтальная асимптота $y=1$. Возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0)$, убывает на $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -1)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-3; 3)$. Точек перегиба нет.

2) $y = \frac{3+x^2}{x^2-4}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{3+(-x)^2}{(-x)^2-4} = \frac{3+x^2}{x^2-4} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3+0}{0-4} = -\frac{3}{4}$. Точка $(0, -3/4)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3+x^2}{x^2-4} = 0 \Rightarrow 3+x^2=0 \Rightarrow x^2=-3$. Действительных корней нет, пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=2$ и $x=-2$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3+x^2}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1+3/x^2)}{x^2(1-4/x^2)} = 1$.

Горизонтальная асимптота $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^2+3}{x^2-4})' = \frac{2x(x^2-4) - (x^2+3) \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 6x}{(x^2-4)^2} = \frac{-14x}{(x^2-4)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 2) \cup (2; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -3/4$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-14x}{(x^2-4)^2})' = -14 \frac{(x^2-4)^2 - x \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = -14 \frac{x^2-4-4x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{-14(-3x^2-4)}{(x^2-4)^3} = \frac{14(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $3x^2+4 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-4)^3$.

При $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, $x^2-4 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-2; 2)$, $x^2-4 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -3/4)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$, убывает на $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -3/4)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-2; 2)$. Точек перегиба нет.

3) $y = \frac{3-2x^2}{x^2-1}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{3-2(-x)^2}{(-x)^2-1} = \frac{3-2x^2}{x^2-1} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3-2x^2}{x^2-1} = 0 \Rightarrow 3-2x^2=0 \Rightarrow x^2=3/2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3/2} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$. Точки $(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=-1$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-2x^2}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(-2+3/x^2)}{x^2(1-1/x^2)} = -2$.

Горизонтальная асимптота $y=-2$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{3-2x^2}{x^2-1})' = \frac{-4x(x^2-1) - (3-2x^2) \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x^3+4x-6x+4x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -3$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-2x}{(x^2-1)^2})' = -2 \frac{(x^2-1)^2 - x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = -2 \frac{x^2-1-4x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-2(-3x^2-1)}{(x^2-1)^3} = \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $3x^2+1 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-1)^3$.

При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $x^2-1 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-1; 1)$, $x^2-1 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точках $(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, горизонтальная асимптота $y=-2$. Возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$, убывает на $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -3)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-1; 1)$. Точек перегиба нет.

50.17.1) $y = \frac{x^3}{x+1}$;

2) $y = \frac{x^3}{1-x}$;

3) $y = \frac{2x^3}{x-1}$;

4) $y = \frac{3x^3}{2-x}$.

1) $y = \frac{x^3}{x+1}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{(-x)^3}{-x+1} = \frac{-x^3}{1-x}$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{0^3}{0+1} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies \frac{x^3}{x+1} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = -1$.

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x+1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x+1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x+1} = \infty$.

Так как предел не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{x^3}{x+1}\right)' = \frac{3x^2(x+1) - x^3 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x+1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies x^2(2x+3)=0 \implies x=0, x=-1.5$.

- При $x \in (-\infty; -1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (-1.5; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1.5$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(-1.5) = \frac{(-1.5)^3}{-1.5+1} = \frac{-3.375}{-0.5} = 6.75$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2}\right)' = \frac{(6x^2+6x)(x+1)^2 - (2x^3+3x^2) \cdot 2(x+1)}{((x+1)^2)^2} = \frac{(6x^2+6x)(x+1) - 2(2x^3+3x^2)}{(x+1)^3} = \frac{6x^3+12x^2+6x - 4x^3-6x^2}{(x+1)^3} = \frac{2x^3+6x^2+6x}{(x+1)^3} = \frac{2x(x^2+3x+3)}{(x+1)^3}$.

Дискриминант выражения $x^2+3x+3$ равен $D=9-12=-3<0$, значит, оно всегда положительно.

$y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

- При $x \in (-1; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).

- При $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; -1.5]$, возрастает на $[-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка локального минимума $(-1.5, 6.75)$. График вогнутый на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, выпуклый на $(-1; 0)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=-1$.

2) $y = \frac{x^3}{1-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1-(-x)} = \frac{-x^3}{1+x}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{+0} = +\infty$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{-0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{1-x} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{x^3}{1-x}\right)' = \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies x^2(3-2x)=0 \implies x=0, x=1.5$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1; 1.5)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1.5; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=1.5$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(1.5) = \frac{(1.5)^3}{1-1.5} = \frac{3.375}{-0.5} = -6.75$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}\right)' = \frac{(6x-6x^2)(1-x)^2 - (3x^2-2x^3) \cdot 2(1-x)(-1)}{((1-x)^2)^2} = \frac{(6x-6x^2)(1-x)+2(3x^2-2x^3)}{(1-x)^3} = \frac{6x-6x^2-6x^2+6x^3+6x^2-4x^3}{(1-x)^3} = \frac{2x^3-6x^2+6x}{(1-x)^3} = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3}$.

$x^2-3x+3>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 1) \cup (1; 1.5]$, убывает на $[1.5; +\infty)$. Точка локального максимума $(1.5, -6.75)$. График выпуклый на $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, вогнутый на $(0; 1)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=1$.

3) $y = \frac{2x^3}{x-1}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{2(-x)^3}{-x-1} = \frac{-2x^3}{-(x+1)} = \frac{2x^3}{x+1}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3}{x-1} = \frac{2}{-0} = -\infty$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^3}{x-1} = \frac{2}{+0} = +\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x-1} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{2x^3}{x-1}\right)' = \frac{6x^2(x-1) - 2x^3}{(x-1)^2} = \frac{6x^3 - 6x^2 - 2x^3}{(x-1)^2} = \frac{4x^3 - 6x^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2(2x-3)}{(x-1)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies 2x^2(2x-3)=0 \implies x=0, x=1.5$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; 1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1.5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1.5$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(1.5) = \frac{2(1.5)^3}{1.5-1} = \frac{2(3.375)}{0.5} = 13.5$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{4x^3 - 6x^2}{(x-1)^2}\right)' = \frac{(12x^2-12x)(x-1)^2 - (4x^3-6x^2) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12x(x-1)^2 - 2x^2(4x-6)}{(x-1)^3} = \frac{12x(x^2-2x+1) - 8x^3+12x^2}{(x-1)^3} = \frac{4x^3-12x^2+12x}{(x-1)^3} = \frac{4x(x^2-3x+3)}{(x-1)^3}$.

$x^2-3x+3>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (0; 1)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; 1) \cup (1; 1.5]$, возрастает на $[1.5; +\infty)$. Точка локального минимума $(1.5, 13.5)$. График вогнутый на $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, выпуклый на $(0; 1)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=1$.

4) $y = \frac{3x^3}{2-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$2-x \neq 0 \implies x \neq 2$.

$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{3(-x)^3}{2-(-x)} = \frac{-3x^3}{2+x}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 2$.

$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x^3}{2-x} = \frac{24}{+0} = +\infty$.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{3x^3}{2-x} = \frac{24}{-0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2}{2-x} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{3x^3}{2-x}\right)' = \frac{9x^2(2-x) - 3x^3(-1)}{(2-x)^2} = \frac{18x^2 - 9x^3 + 3x^3}{(2-x)^2} = \frac{18x^2 - 6x^3}{(2-x)^2} = \frac{6x^2(3-x)}{(2-x)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies 6x^2(3-x)=0 \implies x=0, x=3$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (2; 3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (3; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(3) = \frac{3(3)^3}{2-3} = \frac{81}{-1} = -81$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{18x^2 - 6x^3}{(2-x)^2}\right)' = \frac{(36x-18x^2)(2-x)^2 - (18x^2-6x^3) \cdot 2(2-x)(-1)}{(2-x)^4} = \frac{(36x-18x^2)(2-x) + 2(18x^2-6x^3)}{(2-x)^3} = \frac{72x-36x^2-36x^2+18x^3 + 36x^2-12x^3}{(2-x)^3} = \frac{6x^3-36x^2+72x}{(2-x)^3} = \frac{6x(x^2-6x+12)}{(2-x)^3}$.

$x^2-6x+12>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (0; 2)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 2) \cup (2; 3]$, убывает на $[3; +\infty)$. Точка локального максимума $(3, -81)$. График выпуклый на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, вогнутый на $(0; 2)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=2$.

50.18. Исследуйте функцию и постройте ее график. Проверьте правильность построения графика, используя программу “Живая геометрия”:

1) $y = x^2 \cdot \sqrt{3-x}$;

2) $y = x^2 \cdot \sqrt{2+x}$;

3) $y = x^2 \cdot \sqrt{4-x}$;

4) $y = x^2 \cdot \sqrt{3+x}$.

1) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{3-x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: при $x=0$, $y=0^2\sqrt{3-0} = 0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: при $y=0$, $x^2\sqrt{3-x} = 0$, откуда $x=0$ или $x=3$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Так как $\lim_{x \to -\infty} x^2\sqrt{3-x} = +\infty$, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем производную:$y' = (x^2)'\sqrt{3-x} + x^2(\sqrt{3-x})' = 2x\sqrt{3-x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4x(3-x) - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{x(12 - 5x)}{2\sqrt{3-x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = \frac{12}{5} = 2.4$.- На интервале $(-\infty, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На интервале $(0, 2.4)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На интервале $(2.4, 3)$ $y' < 0$, функция убывает.Следовательно, $x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.Точка $x=2.4$ - точка локального максимума, $y(2.4) = (2.4)^2 \sqrt{3-2.4} = 5.76\sqrt{0.6} = \frac{144\sqrt{15}}{125} \approx 4.47$.В точке $x=3$ производная не определена. $\lim_{x \to 3^-} y' = -\infty$, касательная к графику в этой точке вертикальна.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную:$y'' = \left(\frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}}\right)' = \frac{(12-10x)2\sqrt{3-x} - (12x-5x^2)(-\frac{1}{\sqrt{3-x}})}{4(3-x)} = \frac{2(12-10x)(3-x) + (12x-5x^2)}{4(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{15x^2-72x+72}{4(3-x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2-72x+72=0 \implies 5x^2-24x+24=0$.$x = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. В область определения входит только $x_1 = \frac{12 - 2\sqrt{6}}{5} \approx 1.42$.- На интервале $(-\infty, 1.42)$ $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).- На интервале $(1.42, 3)$ $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).$x \approx 1.42$ - точка перегиба.

7. Построение графика. На основе проведенного анализа строим график функции. Для проверки правильности построений рекомендуется использовать программу "Живая геометрия".

Ответ: Функция определена при $x \le 3$. Пересекает оси в точках $(0,0)$ и $(3,0)$. Имеет локальный минимум в $(0,0)$ и локальный максимум в $(2.4, \approx 4.47)$. Убывает на $(-\infty, 0) \cup (2.4, 3)$, возрастает на $(0, 2.4)$. Имеет точку перегиба при $x \approx 1.42$. График начинается из $+\infty$ слева, проходит через точки экстремумов и заканчивается в точке $(3,0)$ с вертикальной касательной.

2) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{2+x}$.

1. Область определения. $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$. $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x^2\sqrt{2+x} = 0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. Точки $(0,0)$ и $(-2,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} x^2\sqrt{2+x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(2+x) + x^2}{2\sqrt{2+x}} = \frac{8x + 5x^2}{2\sqrt{2+x}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{2+x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = -\frac{8}{5} = -1.6$.- На $(-2, -1.6)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(-1.6, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.$x=-2$ - точка минимума (граничная), $y(-2)=0$.$x=-1.6$ - точка локального максимума, $y(-1.6) = (-1.6)^2\sqrt{2-1.6} = 2.56\sqrt{0.4} = \frac{64\sqrt{10}}{125} \approx 1.62$.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.В точке $x=-2$ $\lim_{x \to -2^+} y' = +\infty$, касательная вертикальна.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{5x^2+8x}{2\sqrt{2+x}}\right)' = \frac{15x^2+48x+32}{4(2+x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2+48x+32=0$.$x = \frac{-24 \pm 4\sqrt{6}}{15}$. В область определения входит $x_1 = \frac{-24 + 4\sqrt{6}}{15} \approx -0.95$.- На $(-2, -0.95)$ $y'' < 0$, график выпуклый.- На $(-0.95, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.$x \approx -0.95$ - точка перегиба.

7. Построение графика. На основе анализа строим график. Правильность можно проверить в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \ge -2$. Пересекает оси в $(-2,0)$ и $(0,0)$. Имеет локальный максимум в $(-1.6, \approx 1.62)$ и локальный минимум в $(0,0)$. Возрастает на $(-2, -1.6) \cup (0, +\infty)$, убывает на $(-1.6, 0)$. Точка перегиба при $x \approx -0.95$. График начинается в точке $(-2,0)$ с вертикальной касательной, проходит через экстремумы и уходит в $+\infty$.

3) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{4-x}$.

1. Область определения. $4-x \ge 0 \implies x \le 4$. $D(y) = (-\infty, 4]$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x=0$ или $x=4$. Точки $(0,0)$ и $(4,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to -\infty} x^2\sqrt{4-x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(4-x) - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{x(16-5x)}{2\sqrt{4-x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = \frac{16}{5} = 3.2$.- На $(-\infty, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, 3.2)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(3.2, 4)$ $y' < 0$, функция убывает.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.$x=3.2$ - точка локального максимума, $y(3.2) = (3.2)^2\sqrt{4-3.2} = 10.24\sqrt{0.8} = \frac{512\sqrt{5}}{125} \approx 9.16$.В точке $x=4$ касательная вертикальна ($\lim_{x \to 4^-} y' = -\infty$).

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{16x-5x^2}{2\sqrt{4-x}}\right)' = \frac{15x^2-96x+128}{4(4-x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2-96x+128=0$.$x = \frac{48 \pm 8\sqrt{6}}{15}$. В область определения входит $x_1 = \frac{48 - 8\sqrt{6}}{15} \approx 1.89$.- На $(-\infty, 1.89)$ $y'' > 0$, график вогнутый.- На $(1.89, 4)$ $y'' < 0$, график выпуклый.$x \approx 1.89$ - точка перегиба.

7. Построение графика. Строим график на основе анализа, проверяем в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \le 4$. Пересекает оси в $(0,0)$ и $(4,0)$. Локальный минимум в $(0,0)$, локальный максимум в $(3.2, \approx 9.16)$. Убывает на $(-\infty, 0) \cup (3.2, 4)$, возрастает на $(0, 3.2)$. Точка перегиба при $x \approx 1.89$. График приходит из $+\infty$, проходит через экстремумы и заканчивается в $(4,0)$ с вертикальной касательной.

4) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{3+x}$.

1. Область определения. $3+x \ge 0 \implies x \ge -3$. $D(y) = [-3, +\infty)$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x=0$ или $x=-3$. Точки $(0,0)$ и $(-3,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} x^2\sqrt{3+x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(3+x) + x^2}{2\sqrt{3+x}} = \frac{12x + 5x^2}{2\sqrt{3+x}} = \frac{x(5x+12)}{2\sqrt{3+x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = -\frac{12}{5} = -2.4$.- На $(-3, -2.4)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(-2.4, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.$x=-3$ - точка минимума (граничная), $y(-3)=0$.$x=-2.4$ - точка локального максимума, $y(-2.4) = (-2.4)^2\sqrt{3-2.4} = 5.76\sqrt{0.6} = \frac{144\sqrt{15}}{125} \approx 4.47$.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.В точке $x=-3$ касательная вертикальна ($\lim_{x \to -3^+} y' = +\infty$).

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{5x^2+12x}{2\sqrt{3+x}}\right)' = \frac{15x^2+72x+72}{4(3+x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2+72x+72=0 \implies 5x^2+24x+24=0$.$x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. В область определения входит $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{6}}{5} \approx -1.42$.- На $(-3, -1.42)$ $y'' < 0$, график выпуклый.- На $(-1.42, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.$x \approx -1.42$ - точка перегиба.

7. Построение графика. Строим график по результатам анализа, проверяем в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \ge -3$. Пересекает оси в $(-3,0)$ и $(0,0)$. Локальный максимум в $(-2.4, \approx 4.47)$, локальный минимум в $(0,0)$. Возрастает на $(-3, -2.4) \cup (0, +\infty)$, убывает на $(-2.4, 0)$. Точка перегиба при $x \approx -1.42$. График начинается в $(-3,0)$ с вертикальной касательной, проходит через экстремумы и уходит в $+\infty$.

50.19. Исследуйте на монотонность функцию:

1) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 1}$;

2) $y = \sqrt{x - x^2}$;

3) $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$;

4) $y = \sqrt{2x - x^2}$.

1) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + x + 1}$

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Сначала определим область определения функции. Знаменатель $x^2 + x + 1$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$, так как дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x^2 - 3x + 1)'(x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x + 1)'}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x - 3)(x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 + 2x^2 + 2x - 3x^2 - 3x - 3) - (2x^3 + x^2 - 6x^2 - 3x + 2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{(2x^3 - x^2 - x - 3) - (2x^3 - 5x^2 - x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - x^2 - x - 3 - 2x^3 + 5x^2 + x - 1}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4x^2 - 4}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{4(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{4(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = 0$

Так как знаменатель всегда положителен, то $4(x - 1)(x + 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале.

- При $x \in (-\infty, -1)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-1, 1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (1, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$ и убывает на промежутке $[-1, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

2) $y = \sqrt{x - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x(1 - x) \geq 0$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем $x \in [0, 1]$. Итак, $D(y) = [0, 1]$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (\sqrt{x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}} \cdot (x - x^2)' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}}$.

Производная определена на интервале $(0, 1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1 - 2x}{2\sqrt{x - x^2}} = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

Критическая точка $x = 1/2$ делит область определения $(0, 1)$ на два интервала: $(0, 1/2)$ и $(1/2, 1)$.

- При $x \in (0, 1/2)$, $1 - 2x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

- При $x \in (1/2, 1)$, $1 - 2x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

С учетом непрерывности функции на концах отрезка, получаем, что функция возрастает на $[0, 1/2]$ и убывает на $[1/2, 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1/2]$, убывает на промежутке $[1/2, 1]$.

3) $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \frac{(x^2)'(x^2 + 1) - x^2(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - x^2(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Найдем критические точки: $y' = 0$.

$\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$, возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $y = \sqrt{2x - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \geq 0 \Rightarrow x(2 - x) \geq 0$.

Решая неравенство, получаем $x \in [0, 2]$. Итак, $D(y) = [0, 2]$.

Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$.

Производная определена на интервале $(0, 2)$.

Найдем критические точки: $y' = 0$.

$\frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ делит область определения $(0, 2)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

- При $x \in (0, 1)$, $1 - x > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

- При $x \in (1, 2)$, $1 - x < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

С учетом непрерывности функции, функция возрастает на $[0, 1]$ и убывает на $[1, 2]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутке $[1, 2]$.