Страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.25. Найдите знак выражения:

1)

$sin1 \cdot cos2;$

2)

$sin (-3) \cdot cos2;$

3)

$sin2 \cdot cos6;$

4)

$sin (-4) \cdot cos(-3).$

1) sin1 ⋅ cos2;

Чтобы определить знак выражения, найдем знаки каждого множителя. Так как у углов не указана единица измерения, по умолчанию считаем, что они даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Границы четвертей на единичной окружности: I ($0; \pi/2$), II ($\pi/2; \pi$), III ($\pi; 3\pi/2$), IV ($3\pi/2; 2\pi$).

В числовом виде: I ($0; \approx 1.57$), II ($\approx 1.57; \approx 3.14$), III ($\approx 3.14; \approx 4.71$), IV ($\approx 4.71; \approx 6.28$).

1. Определим знак $ \sin(1) $. Так как $ 0 < 1 < \pi/2 $ ($0 < 1 < 1.57$), угол в 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $ \sin(1) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(2) $. Так как $ \pi/2 < 2 < \pi $ ($1.57 < 2 < 3.14$), угол в 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos(2) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение положительного числа ($ \sin(1) $) и отрицательного ($ \cos(2) $) отрицательно: $ (+) \cdot (-) = (-) $.

Ответ: знак минус.

2) sin(–3) ⋅ cos2;

1. Определим знак $ \sin(-3) $. Функция синуса нечетная, поэтому $ \sin(-3) = -\sin(3) $. Угол в 3 радиана находится во II четверти, так как $ \pi/2 < 3 < \pi $ ($1.57 < 3 < 3.14$). Синус во II четверти положителен, $ \sin(3) > 0 $. Значит, $ \sin(-3) = -\sin(3) < 0 $.

2. Определим знак $ \cos(2) $. Как мы уже выяснили, угол в 2 радиана находится во II четверти, где косинус отрицателен, $ \cos(2) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение двух отрицательных чисел ($ \sin(-3) $ и $ \cos(2) $) положительно: $ (-) \cdot (-) = (+) $.

Ответ: знак плюс.

3) sin2 ⋅ cos6;

1. Определим знак $ \sin(2) $. Угол в 2 радиана находится во II четверти ($ \pi/2 < 2 < \pi $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin(2) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(6) $. Угол в 6 радиан находится в IV четверти, так как $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $ ($4.71 < 6 < 6.28$). Косинус в IV четверти положителен. Следовательно, $ \cos(6) > 0 $.

3. Знак произведения. Произведение двух положительных чисел ($ \sin(2) $ и $ \cos(6) $) положительно: $ (+) \cdot (+) = (+) $.

Ответ: знак плюс.

4) sin(–4) ⋅ cos(–3);

1. Определим знак $ \sin(-4) $. Функция синуса нечетная, $ \sin(-4) = -\sin(4) $. Угол в 4 радиана находится в III четверти, так как $ \pi < 4 < 3\pi/2 $ ($3.14 < 4 < 4.71$). Синус в III четверти отрицателен, $ \sin(4) < 0 $. Значит, $ \sin(-4) = -\sin(4) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(-3) $. Функция косинуса четная, $ \cos(-3) = \cos(3) $. Угол в 3 радиана находится во II четверти ($ \pi/2 < 3 < \pi $), где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(-3) = \cos(3) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение положительного числа ($ \sin(-4) $) и отрицательного ($ \cos(-3) $) отрицательно: $ (+) \cdot (-) = (-) $.

Ответ: знак минус.

14.26. Докажите тождество:

1) $\frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\text{ctg}x - \sin x \cos x} = 2\text{tg}^2x;$

2) $\frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\text{tg}x - \sin x \cos x} = 2\text{ctg}^2x.$

1) Для доказательства тождества $ \frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\operatorname{ctg} x - \sin x \cos x} = 2\operatorname{tg}^2 x $ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим числитель дроби. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$ (\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) - 1 = (1 + 2\sin x \cos x) - 1 = 2\sin x \cos x $.

Теперь преобразуем знаменатель. Выразим котангенс через синус и косинус ($ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $):

$ \operatorname{ctg} x - \sin x \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} - \sin x \cos x $.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\cos x - \sin^2 x \cos x}{\sin x} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \cos x $ и снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, выразив $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $:

$ \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{\sin x} = \frac{\cos x \cdot \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos^3 x}{\sin x} $.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:

$ \frac{2\sin x \cos x}{\frac{\cos^3 x}{\sin x}} = 2\sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos^3 x} = \frac{2\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} $.

Сократим полученную дробь на $ \cos x $ и используем определение тангенса $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} = 2 \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 = 2\operatorname{tg}^2 x $.

Мы получили, что левая часть тождества равна $ 2\operatorname{tg}^2 x $, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ \frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\operatorname{tg} x - \sin x \cos x} = 2\operatorname{ctg}^2 x $ преобразуем его левую часть.

Числитель дроби преобразуется так же, как и в предыдущем пункте:

$ (\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) - 1 = (1 + 2\sin x \cos x) - 1 = 2\sin x \cos x $.

Далее преобразуем знаменатель. Выразим тангенс через синус и косинус ($ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $):

$ \operatorname{tg} x - \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \cos x $.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x - \sin x \cos^2 x}{\cos x} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \sin x $ и применим основное тригонометрическое тождество, выразив $ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x $:

$ \frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\cos x} = \frac{\sin x \cdot \sin^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^3 x}{\cos x} $.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:

$ \frac{2\sin x \cos x}{\frac{\sin^3 x}{\cos x}} = 2\sin x \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin^3 x} = \frac{2\sin x \cos^2 x}{\sin^3 x} $.

Сократим полученную дробь на $ \sin x $ и используем определение котангенса $ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $:

$ \frac{2\cos^2 x}{\sin^2 x} = 2 \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^2 = 2\operatorname{ctg}^2 x $.

Мы получили, что левая часть тождества равна $ 2\operatorname{ctg}^2 x $, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1. Четной функцией является:

A) $f(x) = 5x^4 - \sin3x$;

B) $f(x) = x^2 + x\sin3x$;

C) $f(x) = 2 + x\cos4x$;

D) $f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x^2}$.

2. Нечетной функцией является:

Для того чтобы определить, является ли функция четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим условиям.

А) $f(x) = 5x^4 - \sin3x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 5(-x)^4 - \sin(3(-x)) = 5x^4 - \sin(-3x)$.Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:$f(-x) = 5x^4 - (-\sin3x) = 5x^4 + \sin3x$.Так как $f(-x) = 5x^4 + \sin3x \neq 5x^4 - \sin3x = f(x)$, функция не является четной. Она также не является нечетной, так как $f(-x) \neq -f(x)$. Это функция общего вида.

Ответ: не является четной.

B) $f(x) = x^2 + x\sin3x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^2 + (-x)\sin(3(-x)) = x^2 - x\sin(-3x)$.Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:$f(-x) = x^2 - x(-\sin3x) = x^2 + x\sin3x$.Видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: является четной.

C) $f(x) = 2 + x\cos4x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 2 + (-x)\cos(4(-x)) = 2 - x\cos(-4x)$.Используя свойство четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$), получаем:$f(-x) = 2 - x\cos4x$.Так как $f(-x) = 2 - x\cos4x \neq 2 + x\cos4x = f(x)$, функция не является четной. Это функция общего вида.

Ответ: не является четной.

D) $f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x^2}$

Область определения: $\sin(x^2) \neq 0$, что означает $x^2 \neq k\pi$ для целых $k$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x \neq \pm\sqrt{k\pi}$ для $k \in \{1, 2, 3, \dots \}$. Эта область симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{\sin^3(-x)}{\sin((-x)^2)} = \frac{(\sin(-x))^3}{\sin(x^2)}$.Используя свойство нечетности синуса, получаем:$f(-x) = \frac{(-\sin x)^3}{\sin(x^2)} = \frac{-\sin^3 x}{\sin(x^2)} = -f(x)$.Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.

2. Нечетной функцией является:

A) $f(x) = \cos3x;$

B) $f(x) = x^3 + \frac{\cos^3 x}{\operatorname{tg}^2 x};$

C) $f(x) = 2x + \frac{\cos^3 x}{\operatorname{tg}^2 x};$

D) $f(x) = \frac{2\sin^3 x}{\operatorname{ctg}x^3}.$

Для определения, является ли функция нечетной, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Область определения нечетной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

A) f(x) = cos3x

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$

Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$f(-x) = \cos(3x)$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Это условие для четной функции. Следовательно, данная функция является четной, а не нечетной.

Ответ: Функция является четной.

B) f(x) = x³ + $\frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Проверим эту функцию на четность. Она представляет собой сумму двух функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Проанализируем каждое слагаемое:

1. $g(x) = x^3$. $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$. Эта функция является нечетной.

2. $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$. Найдем $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{\cos^3(-x)}{\tg^2(-x)} = \frac{(\cos(-x))^3}{(\tg(-x))^2}$

Так как $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечетная), получаем:

$h(-x) = \frac{(\cos x)^3}{(-\tg x)^2} = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x} = h(x)$. Эта функция является четной.

Исходная функция $f(x)$ является суммой нечетной функции $g(x)$ и четной функции $h(x)$. Сумма нечетной и четной функций (если ни одна из них не является тождественным нулем) не является ни четной, ни нечетной.

Проверим это напрямую:

$f(-x) = g(-x) + h(-x) = -g(x) + h(x) = -x^3 + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Этот результат не равен ни $f(x) = x^3 + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$, ни $-f(x) = -x^3 - \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

C) f(x) = 2x + $\frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Эта функция аналогична предыдущей. Она является суммой функции $g(x) = 2x$ и $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

1. $g(x) = 2x$. $g(-x) = 2(-x) = -2x = -g(x)$. Эта функция нечетная.

2. $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$. Как мы установили в пункте B, эта функция является четной.

Таким образом, $f(x)$ является суммой нечетной и четной функций, и, следовательно, не является ни четной, ни нечетной.

$f(-x) = 2(-x) + \frac{\cos^3(-x)}{\tg^2(-x)} = -2x + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Это не равно $f(x)$ или $-f(x)$.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

D) f(x) = $\frac{2\sin^3 x}{\ctg x^3}$

Проанализируем числитель и знаменатель.

1. Числитель: $g(x) = 2\sin^3 x$.

$g(-x) = 2\sin^3(-x) = 2(\sin(-x))^3 = 2(-\sin x)^3 = -2\sin^3 x = -g(x)$. Числитель — нечетная функция.

2. Знаменатель: $h(x) = \ctg(x^3)$.

$h(-x) = \ctg((-x)^3) = \ctg(-x^3)$.

Используя свойство нечетности котангенса, $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$, получаем:

$h(-x) = -\ctg(x^3) = -h(x)$. Знаменатель — нечетная функция.

Теперь найдем $f(-x)$ для всей дроби:

$f(-x) = \frac{g(-x)}{h(-x)} = \frac{-g(x)}{-h(x)} = \frac{g(x)}{h(x)} = f(x)$.

Частное двух нечетных функций является четной функцией. Таким образом, $f(x)$ — четная функция.

Ответ: Функция является четной.

Проанализировав все предложенные варианты, можно заключить, что среди них нет нечетной функции. Функции A и D являются четными, а функции B и C не являются ни четными, ни нечетными (являются функциями общего вида). Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

3. Наименьший положительный период функции $y = \sin(0.2x)\cos(0.2x)$
равен:

A) $\frac{2}{5}\pi$;

B) $2.5\pi$;

C) $4\pi$;

D) $5\pi$.

3. Для того чтобы найти наименьший положительный период функции $y = \sin(0.2x)\cos(0.2x)$, необходимо сначала упростить данное выражение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим данную формулу к нашей функции, приняв $\alpha = 0.2x$:

$y = \sin(0.2x)\cos(0.2x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0.2x) = \frac{1}{2}\sin(0.4x)$.

Теперь мы имеем дело с функцией вида $y = A\sin(kx+b)$. Наименьший положительный период такой функции находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае функция имеет вид $y = \frac{1}{2}\sin(0.4x)$, где коэффициент $A = \frac{1}{2}$ и $k=0.4$.

Подставим значение $k=0.4$ в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{0.4}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Тогда период равен:

$T = \frac{2\pi}{\frac{2}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{10\pi}{2} = 5\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период функции равен $5\pi$, что соответствует варианту D.

Ответ: $5\pi$.

4. Множество значений функции $f(x) = 4 - \sin 7x$ равно:

A) $[3; 7)$; B) $[3; 5]$; C) $(3; 7]$; D) $(2; 7]$.

Для того чтобы найти множество значений функции $f(x) = 4 - \sin^7 7x$, необходимо определить, в каких пределах могут изменяться значения этой функции.

1. Начнём с базовой функции синуса. Область значений функции синус для любого аргумента, в данном случае $7x$, находится в промежутке от -1 до 1, включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \sin(7x) \le 1$

2. Далее рассмотрим возведение в степень 7. Поскольку 7 — это нечётное число, функция $y = t^7$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что при возведении в нечётную степень неравенство сохраняется.

Возведём все части неравенства в 7-ю степень:

$(-1)^7 \le \sin^7(7x) \le 1^7$

$-1 \le \sin^7(7x) \le 1$

Таким образом, множество значений для $\sin^7(7x)$ также находится в отрезке $[-1; 1]$.

3. Следующий шаг — умножение на -1 (что эквивалентно вычитанию $\sin^7(7x)$ из числа). При умножении всех частей неравенства на отрицательное число (-1), знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge -\sin^7(7x) \ge 1 \cdot (-1)$

$1 \ge -\sin^7(7x) \ge -1$

Запишем это неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):

$-1 \le -\sin^7(7x) \le 1$

4. Последний шаг — прибавление константы 4 ко всем частям неравенства:

$4 - 1 \le 4 - \sin^7(7x) \le 4 + 1$

$3 \le f(x) \le 5$

Следовательно, множество значений функции $f(x) = 4 - \sin^7 7x$ — это отрезок [3; 5].

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что верный вариант — B).

Ответ: B) [3; 5]

5. Сколько видов преобразований нужно применить к графику функции $y=\cos x$, чтобы построить график функции $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5?

Для того чтобы определить количество видов преобразований, необходимых для построения графика функции $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$ из графика функции $y = \cos x$, мы должны привести конечную функцию к виду, который использует ту же тригонометрическую функцию, что и начальная, то есть косинус.

Начальная функция: $y = \cos x$.

Конечная функция: $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$.

Используем тригонометрическую формулу приведения, связывающую синус и косинус: $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Применим эту формулу к нашей конечной функции, подставив $\alpha = 2x - \frac{\pi}{3}$:

$f(x) = 3 \cos\left(\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{2}\right) - 2$

Теперь упростим выражение в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:

$2x - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = 2x - \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = 2x - \frac{5\pi}{6}$

Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в эквивалентном виде через косинус:

$f(x) = 3 \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2$

Чтобы явно определить все преобразования, представим функцию в стандартном виде $g(x) = A \cos(B(x - C)) + D$. Для этого вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе косинуса:

$f(x) = 3 \cos\left(2\left(x - \frac{5\pi}{12}\right)\right) - 2$

Теперь мы можем сравнить это выражение с исходной функцией $y = \cos x$ и перечислить все примененные виды преобразований, соответствующие параметрам $A, B, C$ и $D$:

1. Вертикальное растяжение. Коэффициент $A = 3$ означает, что график растягивается вдоль оси OY в 3 раза по сравнению с $y=\cos x$.

2. Горизонтальное сжатие. Коэффициент $B = 2$ означает, что график сжимается вдоль оси OX в 2 раза.

3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Параметр $C = \frac{5\pi}{12}$ означает, что график сдвигается вправо вдоль оси OX на $\frac{5\pi}{12}$.

4. Вертикальный сдвиг. Параметр $D = -2$ означает, что график сдвигается вниз вдоль оси OY на 2 единицы.

В итоге, для построения графика функции $f(x)$ из графика $y=\cos x$ необходимо применить четыре различных вида преобразований: вертикальное растяжение, горизонтальное сжатие, горизонтальный сдвиг и вертикальный сдвиг. Все четыре вида присутствуют в данном преобразовании.

Ответ: C) 4

6. Областью определения функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{\cos x}$ является:

A) R;

B) R, кроме; $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$;

C) R, кроме $x \neq \pi n, n \in Z$;

D) R, кроме $x \neq 2\pi n, n \in Z$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Данная функция $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{\cos x}$ представляет собой дробь. Основное ограничение для дроби заключается в том, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями являются все углы, косинус которых равен нулю. На единичной окружности это точки, лежащие на оси ординат. Общая формула для этих решений выглядит следующим образом:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$ (то есть $n$ — любое целое число).

Числитель функции, $x^2 - 3x + 2$, является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$. Поэтому единственное ограничение на область определения накладывает знаменатель.

Таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел $R$, за исключением точек, в которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом B.

Ответ: B) R, кроме; $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

7. Множество значений функции $f(x) = |3-4\cos2x|$ равно:

A) $[0;7];$

B) $[-1;7];$

C) $[1;7);$

D) $[1;7].$

Для нахождения множества значений функции $f(x) = |3 - 4\cos(2x)|$ необходимо определить наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать данное выражение. В основе лежит тригонометрическая функция $\cos(2x)$.

Известно, что множество значений функции косинуса — это отрезок $[-1; 1]$, независимо от аргумента. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Далее, выполним преобразования с этим неравенством, чтобы получить выражение, стоящее под знаком модуля. Сначала умножим все части неравенства на $-4$. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-4) \ge -4\cos(2x) \ge 1 \cdot (-4)$

$4 \ge -4\cos(2x) \ge -4$

Перепишем это в более привычном порядке, от меньшего к большему:

$-4 \le -4\cos(2x) \le 4$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 4 \le 3 - 4\cos(2x) \le 3 + 4$

$-1 \le 3 - 4\cos(2x) \le 7$

Мы получили, что выражение под модулем, $3 - 4\cos(2x)$, принимает все значения из отрезка $[-1; 7]$.

Наконец, применим операцию взятия модуля. Функция $f(x)$ является модулем выражения, которое принимает значения от $-1$ до $7$.

Наименьшее значение модуля будет 0, так как отрезок $[-1; 7]$ включает в себя 0 (это значение достигается, когда $3-4\cos(2x)=0$, то есть $\cos(2x) = 3/4$, что возможно, так как $3/4 \in [-1, 1]$).

Наибольшее значение модуля будет равно максимальному из модулей концов отрезка $[-1; 7]$. Сравним $|-1|=1$ и $|7|=7$. Наибольшее значение равно 7.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа от 0 до 7 включительно.

Ответ: $[0; 7]$.

8. Наименьший положительный период функции $f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{4}$ равен:

A) $\frac{1}{4}\pi;$ B) $2\pi;$ C) $\pi;$ D) $4\pi.$

8. Для нахождения наименьшего положительного периода функции $f(x) = \text{tg}\frac{x}{4}$ необходимо использовать формулу для периода функции вида $y = g(kx+b)$.

Наименьший положительный период основной функции $y = \text{tg}(x)$ равен $T_0 = \pi$.

Для функции $y = \text{tg}(kx)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае, функция $f(x) = \text{tg}\frac{x}{4}$ может быть записана как $f(x) = \text{tg}(\frac{1}{4}x)$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{4}$.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{4}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{4}} = \pi \cdot 4 = 4\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период заданной функции равен $4\pi$, что соответствует варианту ответа D.

Ответ: $4\pi$.

50.20. 1) Постройте график функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ не имеет корней?

2) Постройте график функции $f(x) = x^4 - x^2 + 1$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - x^2 + 1 = a$ не имеет корней?

3) Постройте график функции $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ имеет три корня?

1) Для построения графика функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ проведем ее исследование.

Это биквадратичная функция. Она является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Определим значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ является точкой локального максимума.

$f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

$f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ являются точками локального минимума.

Таким образом, график функции представляет собой кривую, похожую на букву W, с вершинами в точках $(-1, 2)$, $(0, 3)$ и $(1, 2)$. Наименьшее значение функции равно 2.

Теперь рассмотрим уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$.

Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Из графика видно, что прямая $y = a$ не будет иметь общих точек с графиком функции $y = f(x)$, если она будет расположена ниже наименьшего значения функции.

Наименьшее значение функции $f(x)$ равно 2. Следовательно, при $a < 2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $a < 2$.

2) Для построения графика функции $f(x) = x^4 - x^2 + 1$ проведем ее исследование.

Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1 = f(x)$, ее график симметричен относительно оси Oy.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратичную функцию $g(t) = t^2 - t + 1$.

Найдем вершину параболы $g(t)$:

$t_{вершины} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

$g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Это наименьшее значение функции $g(t)$, а значит, и функции $f(x)$.

Точки минимума для $f(x)$ достигаются при $x^2 = t = \frac{1}{2}$, то есть при $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значение функции в этих точках равно $\frac{3}{4}$.

Найдем точку пересечения с осью Oy, то есть $f(0)$:

$f(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является локальным максимумом.

График функции - кривая в форме буквы W с точками минимума $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{4})$ и локальным максимумом $(0, 1)$.

Рассмотрим уравнение $x^4 - x^2 + 1 = a$.

Это уравнение не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$.

Поскольку наименьшее значение функции $f(x)$ равно $\frac{3}{4}$, уравнение не будет иметь корней, если $a < \frac{3}{4}$.

Ответ: $a < \frac{3}{4}$.

3) Для построения графика функции $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$ проведем ее исследование.

Функция является четной, так как $f(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 8 = -x^4 + 2x^2 + 8 = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Найдем производную функции для определения точек экстремума:

$f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 8)' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ является точкой локального минимума.

$f(1) = -1^4 + 2 \cdot 1^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

$f(-1) = -(-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Точки $(1, 9)$ и $(-1, 9)$ являются точками локального максимума. Наибольшее значение функции равно 9.

График функции представляет собой кривую, похожую на перевернутую букву W (или букву М), с вершинами в точках $(-1, 9)$, $(0, 8)$ и $(1, 9)$.

Рассмотрим уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$.

Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и прямой $y = a$. Нам нужно найти такое значение $a$, при котором будет ровно три точки пересечения.

Анализируя график, видим, что три точки пересечения будут только в том случае, если прямая $y=a$ пройдет через точку локального минимума $(0, 8)$.

При $a = 8$ уравнение принимает вид $-x^4 + 2x^2 + 8 = 8$, что упрощается до $-x^4 + 2x^2 = 0$, или $x^2(-x^2 + 2) = 0$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$, и $-x^2+2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a=8$ уравнение имеет ровно три корня.

Ответ: $a = 8$.

50.21. Исследуйте функцию и постройте ее график. Проверьте правильность построения графика, используя программу “Живая геометрия”:

1) $y = x + \sin x;$

2) $y = \cos 2x - \sin x;$

3) $y = \sin^2 x + \cos x;$

4) $y = \sin 2x + \cos x.$

1) $y = x + \sin x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как функции $y=x$ и $y=\sin x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Периодичность. Функция не является периодической, так как содержит слагаемое $x$, которое не является периодической функцией.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = 0 + \sin 0 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies x + \sin x = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$, так как производная функции $y' = 1 + \cos x \ge 0$, то есть функция строго возрастает (кроме отдельных точек) и может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную: $y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Отсюда $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $y' = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, функция является неубывающей на всей области определения. Так как производная обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является строго возрастающей. Экстремумов у функции нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (1 + \cos x)' = -\sin x$. Приравняем вторую производную к нулю: $y''=0 \implies -\sin x = 0 \implies x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $\sin x > 0$, значит $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $\sin x < 0$, значит $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

7. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (x + \sin x) = \pm\infty$. Проверим наличие наклонных асимптот $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+\sin x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1$. $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x+\sin x - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \sin x$. Данный предел не существует. Следовательно, наклонных асимптот нет. Однако график функции колеблется вокруг прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y=x+\sin x$ представляет собой монотонно возрастающую кривую, симметричную относительно начала координат. График не имеет экстремумов и асимптот, но имеет точки перегиба в точках $(\pi k, \pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \pi + 2\pi k$ касательная к графику горизонтальна. График колеблется вокруг прямой $y=x$, находясь в полосе между прямыми $y=x-1$ и $y=x+1$.

2) $y = \cos(2x) - \sin x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \cos(-2x) - \sin(-x) = \cos(2x) + \sin x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Периодичность. Период функции $\cos(2x)$ равен $T_1 = 2\pi/2 = \pi$. Период функции $\sin x$ равен $T_2 = 2\pi$. Наименьший общий период $T = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$. Функция периодическая с периодом $2\pi$. Исследование достаточно провести на отрезке $[0, 2\pi]$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \cos 0 - \sin 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \cos(2x) - \sin x = 0$. Используем формулу $\cos(2x) = 1-2\sin^2 x$. $1 - 2\sin^2 x - \sin x = 0 \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $t \in [-1, 1]$. $2t^2+t-1=0 \implies t_1=1/2, t_2=-1$. $\sin x = 1/2 \implies x = \pi/6 + 2\pi k, x = 5\pi/6 + 2\pi k$. $\sin x = -1 \implies x = 3\pi/2 + 2\pi k$. На отрезке $[0, 2\pi]$ корни: $\pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = -2\sin(2x) - \cos x = -4\sin x \cos x - \cos x = -\cos x(4\sin x + 1)$. $y' = 0 \implies \cos x = 0$ или $\sin x = -1/4$. На отрезке $[0, 2\pi]$ критические точки:

• $\cos x = 0 \implies x=\pi/2, x=3\pi/2$.
• $\sin x = -1/4 \implies x = \arcsin(-1/4)+2\pi k$ и $x = \pi-\arcsin(-1/4)+2\pi k$. Пусть $\alpha=\arcsin(1/4)$. Тогда $x = 2\pi-\alpha$ и $x=\pi+\alpha$.

• $x \in (0, \pi/2)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (\pi/2, \pi+\alpha)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (\pi+\alpha, 3\pi/2)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (3\pi/2, 2\pi-\alpha)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (2\pi-\alpha, 2\pi)$: $y' < 0$ (убывает).

• $x=\pi/2$: точка минимума. $y(\pi/2) = \cos(\pi) - \sin(\pi/2) = -1-1 = -2$.
• $x=\pi+\alpha$: точка максимума. $y = \cos(2(\pi+\alpha))-\sin(\pi+\alpha) = \cos(2\alpha)+\sin\alpha = 1-2\sin^2\alpha+\sin\alpha = 1-2(-1/4)^2+(-1/4) = 1-1/8-1/4 = 5/8$. Ошибка в вычислении. $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=1/4$. $\cos(2(\pi+\alpha))=\cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha=1-2(1/4)^2=7/8$. $y=7/8-(-1/4)=9/8=1.125$.
• $x=3\pi/2$: точка минимума. $y(3\pi/2) = \cos(3\pi) - \sin(3\pi/2) = -1 - (-1) = 0$.
• $x=2\pi-\alpha$: точка максимума. $y = \cos(2(2\pi-\alpha))-\sin(2\pi-\alpha) = \cos(-2\alpha)-\sin(-\alpha)=\cos(2\alpha)+\sin\alpha=9/8$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = (-2\sin(2x) - \cos x)' = -4\cos(2x) + \sin x$. $y''=0 \implies -4(1-2\sin^2 x) + \sin x = 0 \implies 8\sin^2 x + \sin x - 4 = 0$. Решения $\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{129}}{16}$. Это дает 4 точки перегиба на периоде.

7. Асимптоты. Нет, так как функция периодическая.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график начинается в точке $(0, 1)$, убывает до точки минимума $(\pi/2, -2)$, затем возрастает до точки максимума $(\pi+\arcsin(1/4), 9/8)$, убывает до точки минимума $(3\pi/2, 0)$, возрастает до точки максимума $(2\pi-\arcsin(1/4), 9/8)$ и убывает до конца периода. Область значений функции $[-2, 9/8]$.

3) $y = \sin^2 x + \cos x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \sin^2(-x) + \cos(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x = \sin^2 x + \cos x = y(x)$. Функция является четной. График симметричен относительно оси $Oy$.

3. Периодичность. Период $\sin^2 x$ равен $\pi$, период $\cos x$ равен $2\pi$. Наименьший общий период $T=2\pi$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sin^2 0 + \cos 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \sin^2 x + \cos x = 0 \implies 1-\cos^2 x + \cos x = 0 \implies \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$. Пусть $t=\cos x$, $t \in [-1, 1]$. $t^2 - t - 1 = 0 \implies t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Корень $t = \frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$ не подходит. $\cos x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$. Решения $x = \pm \arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 2\pi k$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = 2\sin x \cos x - \sin x = \sin x (2\cos x - 1)$. $y' = 0 \implies \sin x = 0$ или $\cos x = 1/2$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ критические точки: $x = -\pi, 0, \pi$ и $x = \pm \pi/3$.

• $x \in (-\pi, -\pi/3)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (-\pi/3, 0)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (0, \pi/3)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (\pi/3, \pi)$: $y' < 0$ (убывает).

• $x = \pm \pi/3$: точки максимума. $y(\pm\pi/3) = (\sin(\pm\pi/3))^2 + \cos(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^2 + 1/2 = 3/4+1/2 = 5/4 = 1.25$.
• $x=0$: точка минимума. $y(0) = 1$.
• $x=\pm\pi$: точки минимума. $y(\pm\pi) = \sin^2(\pm\pi) + \cos(\pm\pi) = 0 - 1 = -1$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = (2\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x)' = (2\cos^2 x - \cos x - (1-\cos^2x))' = (3\cos^2 x - \cos x - 1)'$. Ошибка. $y'' = (\sin x (2\cos x - 1))' = \cos x(2\cos x-1)+\sin x(-2\sin x)=2\cos^2 x - \cos x - 2\sin^2 x = 4\cos^2 x - \cos x - 2$. $y''=0 \implies \cos x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$. Это дает 4 точки перегиба на периоде.

7. Асимптоты. Нет.

Ответ: График функции является четной периодической кривой с периодом $2\pi$. Область значений $[-1, 5/4]$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ график имеет точки максимума $(\pm\pi/3, 5/4)$ и точки минимума $(0, 1)$ и $(\pm\pi, -1)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

4) $y = \sin(2x) + \cos x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \sin(-2x) + \cos(-x) = -\sin(2x) + \cos x$. Функция общего вида.

3. Периодичность. Период $\sin(2x)$ равен $\pi$, период $\cos x$ равен $2\pi$. Наименьший общий период $T=2\pi$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sin 0 + \cos 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \sin(2x) + \cos x = 0 \implies 2\sin x\cos x + \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x + 1) = 0$. На $[0, 2\pi]$ корни: $\cos x=0 \implies x=\pi/2, 3\pi/2$; $\sin x = -1/2 \implies x=7\pi/6, 11\pi/6$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = 2\cos(2x) - \sin x = 2(1-2\sin^2 x) - \sin x = -4\sin^2 x - \sin x + 2$. $y'=0 \implies 4\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$. Пусть $t=\sin x$, $t \in [-1, 1]$. $4t^2+t-2=0 \implies t = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$. $t_1 = \frac{-1+\sqrt{33}}{8} \approx 0.593$, $t_2 = \frac{-1-\sqrt{33}}{8} \approx -0.843$. $y' > 0$ при $t_2 < \sin x < t_1$. $y' < 0$ при $\sin x < t_2$ или $\sin x > t_1$. Экстремумы достигаются при $\sin x = t_1$ и $\sin x = t_2$.

• $x_1 = \arcsin(t_1) \approx 0.635$ (max), $y(x_1) \approx 1.76$.
• $x_2 = \pi - \arcsin(t_1) \approx 2.507$ (min), $y(x_2) \approx -1.76$.
• $x_3 = \pi - \arcsin(t_2) \approx 4.145$ (max), $y(x_3) \approx 0.37$.
• $x_4 = 2\pi + \arcsin(t_2) \approx 5.28$ (min), $y(x_4) \approx -0.37$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = -4\sin(2x) - \cos x = -8\sin x \cos x - \cos x = -\cos x(8\sin x+1)$. $y''=0 \implies \cos x = 0$ или $\sin x = -1/8$. Точки перегиба на $[0, 2\pi]$: $x=\pi/2, x=3\pi/2$, $x=\pi+\arcsin(1/8)$, $x=2\pi-\arcsin(1/8)$. В точках $x=\pi/2$ и $x=3\pi/2$ значения функции равны нулю, т.е. $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$ являются точками перегиба и одновременно корнями функции.

7. Асимптоты. Нет.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. Область значений примерно $[-1.76, 1.76]$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график начинается в точке $(0, 1)$, имеет два максимума (один абсолютный, другой локальный) и два минимума (один абсолютный, другой локальный). Точки пересечения с осью абсцисс: $\pi/2, 7\pi/6, 3\pi/2, 11\pi/6$. Точки $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$ являются точками перегиба.

50.22. Найдите значение функции:

1) $y = x^2 - 2$ при $x = 0; -3; 0,3;$

2) $y = \sin 0.5x$ при $x = 300; \pi; 4\pi$.

50.23.

1) Чтобы найти значения функции $y = x^2 - 2$, нужно подставить заданные значения $x$ в ее формулу.

При $x = 0$:

$y = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2$.

При $x = -3$:

$y = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.

При $x = 0,3$:

$y = (0,3)^2 - 2 = 0,09 - 2 = -1,91$.

Ответ: -2; 7; -1,91.

2) Чтобы найти значения функции $y = \sin(0,5x)$, нужно подставить заданные значения $x$ в ее формулу. В тригонометрических функциях значения без указания единиц измерения (такие как $\pi$ и $4\pi$) считаются радианами, а числа, подобные 300, обычно подразумевают градусы.

При $x = 300^\circ$ (в градусах):

$y = \sin(0,5 \cdot 300^\circ) = \sin(150^\circ)$.

Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$:

$y = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$.

При $x = \pi$ (в радианах):

$y = \sin(0,5 \cdot \pi) = \sin(\frac{\pi}{2})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно 1.

При $x = 4\pi$ (в радианах):

$y = \sin(0,5 \cdot 4\pi) = \sin(2\pi)$.

Синус для угла $2\pi$ (полный оборот) равен 0.

Ответ: 0,5; 1; 0.

50.23. Решите уравнение:

1) $sin^2x - cosx = 1;$

2) $sin^2x + 2cosx = 0.$

1) $ \sin^2x - \cos x = 1 $

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, из которого выразим $ \sin^2x = 1 - \cos^2x $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 - \cos^2x) - \cos x = 1 $

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$ 1 - \cos^2x - \cos x - 1 = 0 $

$ -\cos^2x - \cos x = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \cos^2x + \cos x = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

а) $ \cos x = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x + 1 = 0 $, что равносильно $ \cos x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin^2x + 2\cos x = 0 $

Как и в предыдущем задании, заменим $ \sin^2x $ на $ 1 - \cos^2x $ с помощью основного тригонометрического тождества.

Подставим в уравнение:

$ (1 - \cos^2x) + 2\cos x = 0 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $ \cos x $:

$ -\cos^2x + 2\cos x + 1 = 0 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ \cos^2x - 2\cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Учитывая, что область значений косинуса $ [-1, 1] $, должно выполняться условие $ |t| \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение:

$ t^2 - 2t - 1 = 0 $

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $:

$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} $

$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} $

$ t = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} $

$ t = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} $

$ t = 1 \pm \sqrt{2} $

Мы получили два возможных значения для $ t $:

а) $ t_1 = 1 + \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ t_1 \approx 2.414 $. Это значение больше 1, поэтому оно не входит в область значений косинуса. Следовательно, уравнение $ \cos x = 1 + \sqrt{2} $ не имеет решений.

б) $ t_2 = 1 - \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ t_2 \approx -0.414 $. Это значение находится в промежутке $ [-1, 1] $, поэтому оно является допустимым корнем.

Вернемся к замене $ \cos x = t $:

$ \cos x = 1 - \sqrt{2} $

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$ x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

50.24. Решите неравенство:

1) $-3x^2 - 2x + 8 > 0$;

2) $12x^2 + x - 1 < 0$.

1) Чтобы решить неравенство $-3x^2 - 2x + 8 \ge 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 - 2x + 8 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на $-1$:

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=2$, $c=-8$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-3x^2 - 2x + 8 \ge 0$. Графиком функции $y = -3x^2 - 2x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a=-3 < 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = \frac{4}{3}$.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-2, \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2, \frac{4}{3}]$

2) Чтобы решить неравенство $12x^2 + x - 1 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 + x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=12$, $b=1$, $c=-1$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Графиком функции $y = 12x^2 + x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=12 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{4}$.

Неравенство $< 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится строго ниже оси абсцисс, то есть между корнями, не включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{4})$

50.25. Найдите наибольшее или наименьшее значение функции

$y = f(x):$

1) $f(x) = x^2 - 8x + 14;$

2) $f(x) = 8x^2 - 5x - 3.$

1) Функция $f(x) = x^2 - 8x + 14$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=-8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию. Это и будет наименьшее значение функции.

$y_{min} = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 14 = 16 - 32 + 14 = -2$.

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$f(x) = x^2 - 8x + 14 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 14 = (x - 4)^2 - 2$.

Так как выражение $(x - 4)^2$ всегда больше или равно нулю, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=4$). Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 - 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

2) Функция $f(x) = 8x^2 - 5x - 3$ также является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен 8, что больше нуля ($a=8 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего.

Найдем координаты вершины параболы. Для данной функции $a=8$ и $b=-5$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 8} = \frac{5}{16}$.

Наименьшее значение функции — это ордината вершины:

$y_{min} = f(x_0) = f(\frac{5}{16}) = 8 \cdot (\frac{5}{16})^2 - 5 \cdot (\frac{5}{16}) - 3$.

$y_{min} = 8 \cdot \frac{25}{256} - \frac{25}{16} - 3 = \frac{8 \cdot 25}{256} - \frac{25}{16} - 3 = \frac{25}{32} - \frac{25}{16} - 3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 32:

$y_{min} = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 32}{1 \cdot 32} = \frac{25}{32} - \frac{50}{32} - \frac{96}{32} = \frac{25 - 50 - 96}{32} = \frac{-25 - 96}{32} = -\frac{121}{32}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{121}{32}$.