Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите что абсцисса точки $B_{\alpha}$ пересечения прямой $OP_{\alpha}$ с касательной $t$ к единичной окружности, проведенной через точку $P_{\frac{\pi}{2}}$, равна $ctg\alpha$ (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Для доказательства данного утверждения введем декартову систему координат с центром в начале координат $O(0,0)$.

Единичная окружность имеет центр в точке $O$ и радиус $R=1$. Точка $P_\alpha$ на этой окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет по определению координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Прямая $t$ является касательной к единичной окружности в точке $P_{\frac{\pi}{2}}$. Координаты точки $P_{\frac{\pi}{2}}$ равны $(0, 1)$. Касательная к окружности в этой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (то есть оси $Oy$), и, следовательно, она горизонтальна и задается уравнением $y=1$. Эта прямая известна как «линия котангенсов».

Точка $B_\alpha$ — это точка пересечения прямой $OP_\alpha$ и касательной $t$. Обозначим абсциссу точки $B_\alpha$ как $x_0$. Поскольку точка $B_\alpha$ лежит на прямой $y=1$, ее ордината равна 1. Таким образом, координаты точки $B_\alpha$ — это $(x_0, 1)$.

Прямая $OP_\alpha$ проходит через начало координат $O(0,0)$ и точку $P_\alpha(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$, где $k$ — ее угловой коэффициент. Для прямой $OP_\alpha$ угловой коэффициент равен отношению ординаты к абсциссе любой ее точки (кроме начала координат):

$k = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Таким образом, уравнение прямой $OP_\alpha$ имеет вид $y = x \cdot \tan\alpha$. Это уравнение справедливо для всех $\alpha$, при которых $\cos\alpha \neq 0$ (то есть прямая $OP_\alpha$ не вертикальна).

Поскольку точка $B_\alpha(x_0, 1)$ принадлежит прямой $OP_\alpha$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим координаты точки $B_\alpha$ в уравнение:

$1 = x_0 \cdot \tan\alpha$

Выразим $x_0$ из этого уравнения. Это возможно, если $\tan\alpha \neq 0$, то есть когда прямая $OP_\alpha$ не горизонтальна ($\sin\alpha \neq 0$).

$x_0 = \frac{1}{\tan\alpha}$

По основному тригонометрическому тождеству $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$. Следовательно, мы получаем:

$x_0 = \cot\alpha$

Таким образом, доказано, что абсцисса точки $B_\alpha$ пересечения прямой $OP_\alpha$ с линией котангенсов $y=1$ равна котангенсу угла $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано.

1. Верно ли утверждение: любая стационарная точка является критической точкой?

2. В любой ли критической точке имеется экстремум?

1. Верно ли утверждение: любая стационарная точка является критической точкой?

Да, это утверждение верно. Чтобы это доказать, обратимся к определениям.

Критическими точками функции $f(x)$ называются внутренние точки ее области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

Стационарными точками функции $f(x)$ называются внутренние точки ее области определения, в которых производная $f'(x)$ равна нулю.

Из этих определений видно, что множество стационарных точек является подмножеством множества критических точек. Если в точке $x_0$ производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$), то она по определению является стационарной. В то же время, она удовлетворяет одному из условий для критической точки (производная равна нулю), а значит, является и критической.

Например, для функции $f(x) = x^2 - 4x + 1$ производная $f'(x) = 2x - 4$. Стационарная точка находится из условия $f'(x) = 0$, то есть $2x - 4 = 0$, откуда $x=2$. Эта точка является и стационарной, и критической.

При этом обратное неверно: не любая критическая точка является стационарной. Например, для функции $f(x) = |x|$ в точке $x=0$ производная не существует, поэтому $x=0$ — критическая точка, но не стационарная.

Ответ: Да, утверждение верно.

2. В любой ли критической точке имеется экстремум?

Нет, не в любой критической точке имеется экстремум. Наличие критической точки является необходимым, но не достаточным условием для существования экстремума функции.

Критические точки — это лишь «подозрительные» на экстремум точки. Чтобы определить, является ли критическая точка точкой экстремума (минимума или максимума), необходимо провести дополнительное исследование, например, проанализировать смену знака производной при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функция $f(x) = x^3$.

1. Найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2$.

2. Найдем критические точки. Производная существует при всех $x$. Приравняем ее к нулю: $3x^2 = 0$, откуда получаем $x=0$. Таким образом, $x=0$ — единственная критическая (и стационарная) точка.

3. Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. При $x < 0$ производная $f'(x) = 3x^2 > 0$, значит, функция возрастает. При $x > 0$ производная $f'(x) = 3x^2 > 0$, значит, функция также возрастает. Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак, в этой точке нет ни максимума, ни минимума. Точка $x=0$ для функции $f(x) = x^3$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной, но не точкой экстремума.

Ответ: Нет, не в любой.

48.1. На рисунке 48.5 изображен график функции $y = f(x)$. По графику найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции.

Рис. 48.5

1) Анализ графика функции $y=f(x)$, изображенного на рисунке 1.

Будем считать, что область определения функции — это отрезок $[a_1, a_{10}]$. График имеет характерные особенности: в точке $x=a_2$ — острый минимум (касп), в точке $x=a_5$ — излом, а в точке $x=a_9$ — разрыв типа "скачок" (значение функции $f(a_9)$ показано закрашенной точкой, а предел слева — незакрашенной).

Промежутки возрастания:Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

• На промежутке $[a_2, a_4]$ график идет вверх, значит, функция возрастает.

• На промежутке $[a_7, a_9)$ график также идет вверх. Правая граница не включается ($a_9$), так как из-за скачка значение функции в точке $a_9$ меньше, чем значения функции слева от нее, что нарушает определение возрастания на промежутке, включающем $a_9$.

Итак, промежутки возрастания: $[a_2, a_4]$ и $[a_7, a_9)$.

Промежутки убывания:Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

• На промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_7]$ график идет вниз, значит, функция убывает. Наличие излома в точке $a_5$ не меняет того факта, что функция убывает на всем промежутке $[a_4, a_7]$.

• На промежутке $(a_9, a_{10}]$ график также идет вниз. Левая граница $a_9$ не включается из-за разрыва.

Итак, промежутки убывания: $[a_1, a_2]$, $[a_4, a_7]$ и $(a_9, a_{10}]$.

Точки экстремума:Это точки из области определения функции, в которых достигается локальный максимум или минимум.

Точки максимума ($x_{max}$): Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

• $x=a_1$: Это левая граница области определения, и функция убывает после нее, поэтому это точка локального максимума.

• $x=a_4$: В этой точке возрастание сменяется убыванием. Это точка локального максимума.

Точка $a_9$ не является точкой максимума, так как значение функции в ней $f(a_9)$ (положение закрашенной точки) меньше, чем значения функции в точках слева от нее.

Точки минимума ($x_{min}$): Точка $x_0$ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

• $x=a_2$: В этой точке убывание сменяется возрастанием. Это точка локального минимума.

• $x=a_7$: В этой точке убывание также сменяется возрастанием. Это точка локального минимума.

• $x=a_{10}$: Это правая граница области определения, к которой функция убывала, поэтому это точка локального минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[a_2, a_4], [a_7, a_9)$.

Промежутки убывания: $[a_1, a_2], [a_4, a_7], (a_9, a_{10}]$.

Точки максимума: $a_1, a_4$.

Точки минимума: $a_2, a_7, a_{10}$.

Точки экстремума: $a_1, a_2, a_4, a_7, a_{10}$.

2) Анализ графика функции $y=f(x)$, изображенного на рисунке 2.

Будем считать, что область определения функции — отрезок $[a_1, a_8]$. График имеет участок, на котором функция постоянна, — $[a_6, a_7]$. При определении промежутков монотонности принято находить максимальные по включению промежутки, на которых функция не убывает или не возрастает (нестрогая монотонность).

Промежутки возрастания (неубывания):Функция не убывает, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется $f(x_1) \le f(x_2)$.

• На промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_6]$ функция строго возрастает. На промежутке $[a_6, a_7]$ функция постоянна. Объединяя, получаем, что функция не убывает на промежутках $[a_1, a_2]$ и $[a_4, a_7]$.

Промежутки убывания (невозрастания):Функция не возрастает, если для любых $x_1 < x_2$ из промежутка выполняется $f(x_1) \ge f(x_2)$.

• На промежутках $[a_2, a_4]$ и $[a_7, a_8]$ функция строго убывает. На промежутке $[a_6, a_7]$ функция постоянна. Объединяя, получаем, что функция не возрастает на промежутках $[a_2, a_4]$ и $[a_6, a_8]$.

Точки экстремума:

Точки максимума ($x_{max}$):

• $x=a_2$: В этой точке возрастание сменяется убыванием, это точка локального максимума.

• Все точки $x$ из отрезка $[a_6, a_7]$ являются точками локального максимума (нестрогого), так как для любой точки $c$ из этого отрезка в ее окрестности выполняется $f(x) \le f(c)$.

Точки минимума ($x_{min}$):

• $x=a_1$: Левая граница области определения, является точкой локального минимума.

• $x=a_4$: В этой точке убывание сменяется возрастанием, это точка локального минимума.

• $x=a_8$: Правая граница области определения, является точкой локального минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[a_1, a_2], [a_4, a_7]$.

Промежутки убывания: $[a_2, a_4], [a_6, a_8]$.

Точки максимума: $a_2$ и все точки отрезка $[a_6, a_7]$.

Точки минимума: $a_1, a_4, a_8$.

Точки экстремума: $a_1, a_2, a_4, a_8$ и все точки отрезка $[a_6, a_7]$.

48.2. Укажите критические точки функции $y = f(x)$ и установите, какие из них являются точками минимума, какие — точками максимума (рис. 48.6).

Рис. 48.6

1) Критические точки функции — это внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Рассмотрим график 1:

- В точках $x=b_3$ и $x=b_6$ касательная к графику горизонтальна. Это означает, что производная в этих точках равна нулю: $f'(b_3) = 0$ и $f'(b_6) = 0$. Следовательно, $b_3$ и $b_6$ являются критическими точками.

- В точках $x=b_2$ и $x=b_4$ функция имеет разрывы. Поскольку в этих точках функция определена (обозначены закрашенными кружками), но не является дифференцируемой, производная в них не существует. Следовательно, $b_2$ и $b_4$ также являются критическими точками.

Таким образом, все критические точки функции, изображенной на графике 1, это $b_2, b_3, b_4, b_6$.

Теперь определим характер этих точек:

- Точка $b_2$ является точкой минимума, так как существует окрестность этой точки, в которой значение $f(b_2)$ является наименьшим.

- Точка $b_3$ является точкой максимума, так как в ее окрестности значение $f(b_3)$ является наибольшим. При переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-».

- Точка $b_4$ не является точкой экстремума (ни минимума, ни максимума), так как в любой ее окрестности есть точки, где значение функции больше $f(b_4)$ (слева), и точки, где значение функции меньше $f(b_4)$ (справа).

- Точка $b_6$ является точкой минимума, так как в ее окрестности значение $f(b_6)$ является наименьшим. При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+».

Ответ: Критические точки: $b_2, b_3, b_4, b_6$. Точки минимума: $b_2, b_6$. Точка максимума: $b_3$.

2) Рассмотрим график 2:

- Функция на этом графике является непрерывной и гладкой. Критическими будут только стационарные точки, то есть те, в которых производная равна нулю.

- В точках $x=b_2$ и $x=b_4$ касательная к графику горизонтальна, что означает $f'(b_2) = 0$ и $f'(b_4) = 0$.

Таким образом, критические точки функции, изображенной на графике 2, это $b_2, b_4$.

Теперь определим характер этих точек:

- Точка $b_2$ является точкой максимума. В этой точке функция достигает локального пика, а ее производная меняет знак с «+» на «-».

- Точка $b_4$ является точкой минимума. В этой точке функция достигает локальной впадины, а ее производная меняет знак с «-» на «+».

Ответ: Критические точки: $b_2, b_4$. Точка минимума: $b_4$. Точка максимума: $b_2$.