Страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

(47.14—47.17):

47.14.1) $f(x) = x^2 - 8x + 12;$

2) $f(x) = -x^2 - 8x + 9;$

3) $f(x) = 4x^2 - 4x - 3;$

4) $f(x) = -2x^2 + 7x - 5.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 - 8x + 12$ воспользуемся производной.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 8x + 12)' = 2x - 8$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

Критическая точка $x=4$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 4)$ и $(4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

- На промежутке $(-\infty, 4)$: возьмем пробную точку, например $x=0$. $f'(0) = 2(0) - 8 = -8$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.

- На промежутке $(4, +\infty)$: возьмем пробную точку, например $x=5$. $f'(5) = 2(5) - 8 = 10 - 8 = 2$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 4]$.

2) Для функции $f(x) = -x^2 - 8x + 9$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-x^2 - 8x + 9)' = -2x - 8$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$-2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$.

Критическая точка $x=-4$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -4)$ и $(-4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- На промежутке $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$. $f'(-5) = -2(-5) - 8 = 10 - 8 = 2$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.

- На промежутке $(-4, +\infty)$: возьмем $x=0$. $f'(0) = -2(0) - 8 = -8$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -4]$ и убывает на промежутке $[-4, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -4]$, убывает на промежутке $[-4, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = 4x^2 - 4x - 3$.

Найдем производную:

$f'(x) = (4x^2 - 4x - 3)' = 8x - 4$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$8x - 4 = 0$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Критическая точка $x=\frac{1}{2}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

- На промежутке $(-\infty, \frac{1}{2})$: возьмем $x=0$. $f'(0) = 8(0) - 4 = -4$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На промежутке $(\frac{1}{2}, +\infty)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = 8(1) - 4 = 4$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Итак, функция убывает на $(-\infty, \frac{1}{2}]$ и возрастает на $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{1}{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{2}]$.

4) Для функции $f(x) = -2x^2 + 7x - 5$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-2x^2 + 7x - 5)' = -4x + 7$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$-4x + 7 = 0$

$-4x = -7$

$x = \frac{7}{4}$.

Критическая точка $x=\frac{7}{4}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{7}{4})$ и $(\frac{7}{4}, +\infty)$.

- На промежутке $(-\infty, \frac{7}{4})$: возьмем $x=0$. $f'(0) = -4(0) + 7 = 7$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На промежутке $(\frac{7}{4}, +\infty)$: возьмем $x=2$. $f'(2) = -4(2) + 7 = -8 + 7 = -1$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, \frac{7}{4}]$ и убывает на $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{7}{4}]$, убывает на промежутке $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

47.15.1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10;$

2) $f(x) = x^3 + 3x - 20;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1;$

4) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 13.$

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 8 \cdot 2x^{2-1} - 0 = x^2 - 16x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 16x = 0$

$x(x - 16) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 16)$ и $(16; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^2 - 16(-1) = 1 + 16 = 17 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 16)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = 1^2 - 16(1) = 1 - 16 = -15 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(16; +\infty)$, например, при $x = 20$: $f'(20) = 20^2 - 16(20) = 400 - 320 = 80 > 0$. Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

$f_{max} = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 8(0)^2 - 10 = -10$.

- В точке $x = 16$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$f_{min} = f(16) = \frac{1}{3}(16)^3 - 8(16)^2 - 10 = \frac{4096}{3} - 8 \cdot 256 - 10 = \frac{4096}{3} - 2048 - 10 = \frac{4096}{3} - 2058 = \frac{4096 - 6174}{3} = -\frac{2078}{3} = -692\frac{2}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[16; +\infty)$; убывает на промежутке $[0; 16]$; точка максимума $x_{max} = 0$, $f(0) = -10$; точка минимума $x_{min} = 16$, $f(16) = -692\frac{2}{3}$.

2) $f(x) = x^3 + 3x - 20$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 3x - 20)' = 3x^2 + 3$.

2. Находим критические точки:

$f'(x) = 0$

$3x^2 + 3 = 0$

$3(x^2 + 1) = 0$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, критических точек нет.

3. Исследуем знак производной.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, $f'(x) = 3(x^2 + 1) > 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Делаем вывод о монотонности и экстремумах.

Так как производная функции положительна на всей числовой оси, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2,5 \cdot 2x + 7 = x^2 + 5x + 7$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 + 5x + 7 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Критических точек нет.

3. Исследуем знак производной.

Графиком производной $f'(x) = x^2 + 5x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), которая не пересекает ось абсцисс. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$.

4. Делаем вывод о монотонности и экстремумах.

Так как производная функции всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей области определения. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

4) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 13$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x - 13)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 12 = 6x^2 - 6x - 12$.

2. Находим критические точки:

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -1)$, например, при $x = -2$: $f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-1; 2)$, например, при $x = 0$: $f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$: $f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума.

$f_{max} = f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) - 13 = -2 - 3 + 12 - 13 = -6$.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума.

$f_{min} = f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) - 13 = 16 - 12 - 24 - 13 = -33$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1; 2]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $f(-1) = -6$; точка минимума $x_{min} = 2$, $f(2) = -33$.

47.16. 1) $f(x) = \frac{5}{x - 9} - 1;$

2) $f(x) = 2 - \frac{3}{x + 4};$

3) $f(x) = 3 - \frac{2}{x - 2}.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x-9} - 1$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования. Производная разности функций равна разности производных:

$f'(x) = (\frac{5}{x-9} - 1)' = (\frac{5}{x-9})' - (1)'.$

Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.

Для нахождения производной дроби $\frac{5}{x-9}$ представим ее в виде степенной функции $5(x-9)^{-1}$ и воспользуемся формулой производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ и правилом вынесения константы за знак производной.

Пусть $u = x-9$, тогда $u' = (x-9)' = 1$.

$(\frac{5}{x-9})' = (5(x-9)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x-9)^{-1-1} \cdot (x-9)' = -5(x-9)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

Теперь объединим результаты:

$f'(x) = -\frac{5}{(x-9)^2} - 0 = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

2) Дана функция $f(x) = 2 - \frac{3}{x+4}$.

Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило производной разности:

$f'(x) = (2 - \frac{3}{x+4})' = (2)' - (\frac{3}{x+4})'.$

Производная константы $2$ равна нулю: $(2)' = 0$.

Найдем производную дроби $\frac{3}{x+4}$. Представим ее как $3(x+4)^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x+4$, тогда $u' = (x+4)' = 1$.

$(\frac{3}{x+4})' = (3(x+4)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x+4)^{-1-1} \cdot (x+4)' = -3(x+4)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+4)^2}$.

Подставим найденные производные в исходное выражение:

$f'(x) = 0 - (-\frac{3}{(x+4)^2}) = \frac{3}{(x+4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{(x+4)^2}$.

3) Дана функция $f(x) = 3 - \frac{2}{x-2}$.

Для нахождения производной $f'(x)$ применим правило производной разности:

$f'(x) = (3 - \frac{2}{x-2})' = (3)' - (\frac{2}{x-2})'.$

Производная константы $3$ равна нулю: $(3)' = 0$.

Найдем производную дроби $\frac{2}{x-2}$. Представим ее в виде $2(x-2)^{-1}$ и воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x-2$, тогда $u' = (x-2)' = 1$.

$(\frac{2}{x-2})' = (2(x-2)^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -2(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{2}{(x-2)^2}$.

Соберем все вместе:

$f'(x) = 0 - (-\frac{2}{(x-2)^2}) = \frac{2}{(x-2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{(x-2)^2}$.

47.17.1) $f(x) = -\frac{2 + x}{x + 3} + 4x;$

2) $f(x) = 6x - \frac{1 - x}{2x + 7};$

3) $f(x) = 2x - \frac{x + 3}{x - 2}.$

1) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{2+x}{x+3} + 4x$, сначала преобразуем её, выделив целую часть в дроби. Числитель дроби $2+x$ можно представить как $x+3-1$.

Тогда дробная часть функции примет вид:

$-\frac{2+x}{x+3} = -\frac{x+3-1}{x+3} = - \left( \frac{x+3}{x+3} - \frac{1}{x+3} \right) = - \left( 1 - \frac{1}{x+3} \right) = -1 + \frac{1}{x+3}$.

Теперь исходная функция записывается как:

$f(x) = -1 + \frac{1}{x+3} + 4x$.

Найдём первообразную $F(x)$, интегрируя каждое слагаемое по отдельности. Общая первообразная $F(x)$ есть сумма первообразных для каждого слагаемого плюс произвольная постоянная $C$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left( -1 + \frac{1}{x+3} + 4x \right) dx = \int (-1)dx + \int \frac{1}{x+3}dx + \int 4x dx$.

Используем табличные интегралы:

$\int (-1)dx = -x$

$\int \frac{1}{x+3}dx = \ln|x+3|$

$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

Суммируя полученные выражения и добавляя постоянную интегрирования $C$, получаем окончательный вид первообразной:

$F(x) = -x + \ln|x+3| + 2x^2 + C$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 - x + \ln|x+3| + C$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 6x - \frac{1-x}{2x+7}$. Для нахождения её первообразной сначала преобразуем дробное выражение.

Изменим знак перед дробью и в числителе:

$f(x) = 6x + \frac{x-1}{2x+7}$.

Выделим целую часть в дроби $\frac{x-1}{2x+7}$, для этого выразим числитель через знаменатель:

$x-1 = \frac{1}{2}(2x) - 1 = \frac{1}{2}(2x+7-7) - 1 = \frac{1}{2}(2x+7) - \frac{7}{2} - 1 = \frac{1}{2}(2x+7) - \frac{9}{2}$.

Теперь дробь можно переписать так:

$\frac{x-1}{2x+7} = \frac{\frac{1}{2}(2x+7) - \frac{9}{2}}{2x+7} = \frac{\frac{1}{2}(2x+7)}{2x+7} - \frac{\frac{9}{2}}{2x+7} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = 6x + \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, проинтегрировав функцию $f(x)$:

$F(x) = \int \left( 6x + \frac{1}{2} - \frac{9}{2(2x+7)} \right) dx = \int 6x dx + \int \frac{1}{2} dx - \int \frac{9}{2(2x+7)} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 6x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}x$

$\int \frac{9}{2(2x+7)} dx = \frac{9}{2} \int \frac{1}{2x+7} dx = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}\ln|2x+7| = \frac{9}{4}\ln|2x+7|$

Собираем все части вместе и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{9}{4}\ln|2x+7| + C$.

Ответ: $F(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{9}{4}\ln|2x+7| + C$.

3) Дана функция $f(x) = 2x - \frac{x+3}{x-2}$. Для нахождения её первообразной преобразуем дробное слагаемое, выделив в нём целую часть.

Представим числитель $x+3$ через знаменатель $x-2$:

$x+3 = x-2+5$.

Тогда дробь равна:

$\frac{x+3}{x-2} = \frac{x-2+5}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}$.

Подставим полученное выражение в исходную функцию:

$f(x) = 2x - \left( 1 + \frac{5}{x-2} \right) = 2x - 1 - \frac{5}{x-2}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$ для полученной функции путем интегрирования:

$F(x) = \int \left( 2x - 1 - \frac{5}{x-2} \right) dx = \int 2x dx - \int 1 dx - \int \frac{5}{x-2} dx$.

Вычислим интегралы для каждого слагаемого:

$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

$\int 1 dx = x$

$\int \frac{5}{x-2} dx = 5 \int \frac{1}{x-2} dx = 5\ln|x-2|$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = x^2 - x - 5\ln|x-2| + C$.

Ответ: $F(x) = x^2 - x - 5\ln|x-2| + C$.

47.18. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^4 - 3x^2 - 4;$

2) $y = x^4 - 6x^2 + 8;$

3) $y = 125x^5 - x;$

4) $y = -0,2x^5 + x.$

1) $y = x^4 - 3x^2 - 4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Производная функции: $y' = (x^4 - 3x^2 - 4)' = 4x^3 - 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$4x^3 - 6x = 0$

$2x(2x^2 - 3) = 0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $2x^2 - 3 = 0$, что дает $x^2 = \frac{3}{2}$, то есть $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Критические точки $x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$, $x = 0$ и $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ разбивают числовую ось на четыре промежутка. Определим знак производной $y' = 2x(2x^2 - 3)$ на каждом из них:

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{6}}{2})$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0; \frac{\sqrt{6}}{2})$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\frac{\sqrt{6}}{2}; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0]$ и $[\frac{\sqrt{6}}{2}, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{2}]$ и $[0, \frac{\sqrt{6}}{2}]$.

2) $y = x^4 - 6x^2 + 8$

Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 6x^2 + 8)' = 4x^3 - 12x$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$4x^3 - 12x = 0$

$4x(x^2 - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x^2 - 3 = 0$, то есть $x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Критические точки $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$ и $x = \sqrt{3}$ разбивают числовую ось на промежутки. Определим знак производной $y' = 4x(x^2 - 3)$ на этих промежутках:

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; \sqrt{3})$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{3}, 0]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$ и $[0, \sqrt{3}]$.

3) $y = 125x^5 - x$

Найдем производную функции: $y' = (125x^5 - x)' = 625x^4 - 1$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$625x^4 - 1 = 0$

$x^4 = \frac{1}{625}$

Корни уравнения: $x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \pm\frac{1}{5}$.

Критические точки $x = -1/5$ и $x = 1/5$ разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной $y' = 625x^4 - 1$ на них:

• При $x \in (-\infty; -1/5)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1/5; 1/5)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1/5; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1/5]$ и $[1/5, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1/5, 1/5]$.

4) $y = -0,2x^5 + x$

Найдем производную функции: $y' = (-0,2x^5 + x)' = -0,2 \cdot 5x^4 + 1 = -x^4 + 1$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$-x^4 + 1 = 0$

$x^4 = 1$

Корни уравнения: $x = \pm 1$.

Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три промежутка. Определим знак производной $y' = 1 - x^4$ на них:

• При $x \in (-\infty; -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty]$.

Исследуйте на монотонность функции (47.19–47.20):

47.19.1) $y = \sqrt{2+3x}$;

2) $y = \sqrt{4x-1}$;

3) $y = \frac{1}{x^2-4x+3}$;

4) $y = \frac{1}{-2x^2+5x-3}$;

1) $y = \sqrt{2+3x}$

Для исследования функции на монотонность найдем ее область определения и производную, а затем определим знаки производной.

Область определения функции $D(y)$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2+3x \ge 0$, откуда $3x \ge -2$, то есть $x \ge -2/3$. Таким образом, $D(y) = [-2/3, +\infty)$.

Найдём производную функции: $y' = (\sqrt{2+3x})' = \frac{1}{2\sqrt{2+3x}} \cdot (2+3x)' = \frac{3}{2\sqrt{2+3x}}$.

На всей области определения, кроме точки $x = -2/3$, производная существует. Числитель производной равен 3 (положителен), а знаменатель $2\sqrt{2+3x}$ также положителен для всех $x$ из интервала $(-2/3, +\infty)$. Следовательно, $y' > 0$ на всем этом интервале. Поскольку функция непрерывна в точке $x = -2/3$, она монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2/3, +\infty)$.

2) $y = \sqrt{4x-1}$

Аналогично предыдущему пункту, исследуем функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y)$ определяется условием $4x-1 \ge 0$, откуда $4x \ge 1$, то есть $x \ge 1/4$. Таким образом, $D(y) = [1/4, +\infty)$.

Найдём производную функции: $y' = (\sqrt{4x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot (4x-1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x-1}} = \frac{2}{\sqrt{4x-1}}$.

Для всех $x$ из интервала $(1/4, +\infty)$ числитель производной (2) и знаменатель ($\sqrt{4x-1}$) положительны. Следовательно, $y' > 0$ на этом интервале. Функция непрерывна в точке $x = 1/4$, поэтому она монотонно возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/4, +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{x^2-4x+3}$

Исследуем данную дробно-рациональную функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y)$ состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Решим уравнение $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Найдём производную функции по правилу дифференцирования дроби: $y' = \left(\frac{1}{x^2-4x+3}\right)' = -\frac{(x^2-4x+3)'}{(x^2-4x+3)^2} = -\frac{2x-4}{(x^2-4x+3)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x+3)^2}$.

Знаменатель производной $(x^2-4x+3)^2$ положителен во всей области определения функции. Следовательно, знак $y'$ совпадает со знаком ее числителя $4-2x$. Решим неравенства:$4-2x > 0 \Rightarrow 2x < 4 \Rightarrow x < 2$.$4-2x < 0 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$.Точка $x=2$ является точкой экстремума (максимума).

Сопоставим эти результаты с областью определения. Функция возрастает ($y'>0$) при $x<2$, то есть на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 2)$. Функция убывает ($y'<0$) при $x>2$, то есть на промежутках $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 2)$; функция убывает на промежутках $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{-2x^2+5x-3}$

Проведем исследование на монотонность для данной функции.

Область определения $D(y)$: знаменатель не должен быть равен нулю. Решим уравнение $-2x^2+5x-3=0$ или $2x^2-5x+3=0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{4}{4}=1$ и $x_2 = \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, 3/2) \cup (3/2, +\infty)$.

Найдём производную: $y' = \left(\frac{1}{-2x^2+5x-3}\right)' = -\frac{(-2x^2+5x-3)'}{(-2x^2+5x-3)^2} = -\frac{-4x+5}{(-2x^2+5x-3)^2} = \frac{4x-5}{(-2x^2+5x-3)^2}$.

Знак производной определяется знаком числителя $4x-5$, так как знаменатель всегда положителен в $D(y)$.$4x-5 < 0 \Rightarrow 4x < 5 \Rightarrow x < 5/4$.$4x-5 > 0 \Rightarrow 4x > 5 \Rightarrow x > 5/4$.Точка $x=5/4$ является точкой экстремума (минимума).

Сопоставим с областью определения. Функция убывает ($y'<0$) при $x < 5/4$, то есть на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 5/4)$. Функция возрастает ($y'>0$) при $x > 5/4$, то есть на промежутках $(5/4, 3/2)$ и $(3/2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(1, 5/4)$; функция возрастает на промежутках $(5/4, 3/2)$ и $(3/2, +\infty)$.

47.20.

1) $y = x - \sin2x$;

2) $y = 2x + \sin x$;

3) $y = x - \cos2x$;

4) $y = 3x - \cos x$.

1) $y = x - \sin 2x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - (\sin 2x)' = 1 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная положительна, то есть $y' > 0$.

$1 - 2\cos 2x > 0$

$1 > 2\cos 2x$

$\cos 2x < \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки возрастания для $x$:

$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $y' < 0$.

$1 - 2\cos 2x < 0$

$\cos 2x > \frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$-\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n)$ и убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2x + \sin x$

Найдем производную функции. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (2x + \sin x)' = 2 + \cos x$.

Чтобы определить знак производной, оценим ее значение. Мы знаем, что для любого $x$ значение косинуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos x \le 1$

Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим:

$2 - 1 \le 2 + \cos x \le 2 + 1$

$1 \le y' \le 3$

Так как производная $y' = 2 + \cos x$ всегда положительна (ее наименьшее значение равно 1), функция $y = 2x + \sin x$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

3) $y = x - \cos 2x$

Для нахождения промежутков монотонности, найдем производную. Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (x - \cos 2x)' = 1 - (-\sin 2x \cdot 2) = 1 + 2\sin 2x$.

Функция возрастает при $y' > 0$:

$1 + 2\sin 2x > 0$

$\sin 2x > -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки возрастания для $x$:

$-\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$:

$1 + 2\sin 2x < 0$

$\sin 2x < -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы:

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{7\pi}{12} + \pi n)$ и убывает на каждом из интервалов $(\frac{7\pi}{12} + \pi n, \frac{11\pi}{12} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = 3x - \cos x$

Найдем производную функции. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.

$y' = (3x - \cos x)' = 3 - (-\sin x) = 3 + \sin x$.

Оценим значение производной. Значение синуса находится в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \sin x \le 1$

Прибавив 3 ко всем частям неравенства, получим:

$3 - 1 \le 3 + \sin x \le 3 + 1$

$2 \le y' \le 4$

Поскольку производная $y' = 3 + \sin x$ всегда положительна (ее наименьшее значение равно 2), функция $y = 3x - \cos x$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

47.21. Упростите выражение:

1)

$\sqrt{1200} - 20\sqrt{2,43} + 4,5\sqrt{0,48}$;

2)

$\sqrt{\frac{20}{81}} - \frac{2}{9}\sqrt{\frac{45}{49}} - \frac{11}{20}\sqrt{\frac{80}{121}}$.

1) Упростим каждое слагаемое в выражении $\sqrt{1200} - 20\sqrt{2,43} + 4,5\sqrt{0,48}$. Цель состоит в том, чтобы выделить общий множитель из-под корня.

Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $-20\sqrt{2,43} = -20\sqrt{\frac{243}{100}} = -20 \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{100}} = -20 \frac{\sqrt{81 \cdot 3}}{10} = -20 \frac{9\sqrt{3}}{10} = -2 \cdot 9\sqrt{3} = -18\sqrt{3}$.

Рассмотрим третье слагаемое: $4,5\sqrt{0,48} = 4,5\sqrt{\frac{48}{100}} = 4,5 \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{100}} = 4,5 \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{10} = 4,5 \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{4,5 \cdot 4\sqrt{3}}{10} = \frac{18\sqrt{3}}{10} = 1,8\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные значения: $20\sqrt{3} - 18\sqrt{3} + 1,8\sqrt{3} = (20 - 18 + 1,8)\sqrt{3} = (2 + 1,8)\sqrt{3} = 3,8\sqrt{3}$.

Ответ: $3,8\sqrt{3}$.

2) Упростим каждое слагаемое в выражении $\sqrt{\frac{20}{81}} - \frac{2}{9}\sqrt{\frac{45}{49}} - \frac{11}{20}\sqrt{\frac{80}{121}}$.

Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{\frac{20}{81}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{81}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{9} = \frac{2\sqrt{5}}{9}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $-\frac{2}{9}\sqrt{\frac{45}{49}} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{49}} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = -\frac{2 \cdot \cancel{3}\sqrt{5}}{\cancel{9}_3 \cdot 7} = -\frac{2\sqrt{5}}{21}$.

Рассмотрим третье слагаемое: $-\frac{11}{20}\sqrt{\frac{80}{121}} = -\frac{11}{20} \cdot \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{121}} = -\frac{11}{20} \cdot \frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{11} = -\frac{\cancel{11}}{20} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{\cancel{11}} = -\frac{4\sqrt{5}}{20} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Теперь объединим все упрощенные слагаемые: $\frac{2\sqrt{5}}{9} - \frac{2\sqrt{5}}{21} - \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9, 21 и 5 равно 315. $\sqrt{5} \left(\frac{2}{9} - \frac{2}{21} - \frac{1}{5}\right) = \sqrt{5} \left(\frac{2 \cdot 35}{315} - \frac{2 \cdot 15}{315} - \frac{1 \cdot 63}{315}\right) = \sqrt{5} \left(\frac{70 - 30 - 63}{315}\right) = \sqrt{5} \left(\frac{40 - 63}{315}\right) = \sqrt{5} \left(-\frac{23}{315}\right) = -\frac{23\sqrt{5}}{315}$.

Ответ: $-\frac{23\sqrt{5}}{315}$.

47.22. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x^3 (2+x) + \frac{8}{x+2}}$;

2) $\frac{7}{\sqrt{36x - x^3}} - \sqrt{x^2 - 16}$?

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{x^3(2+x)+\frac{8}{x+2}}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не равнялся нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} x^3(2+x)+\frac{8}{x+2} \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство. Преобразуем левую часть, приведя ее к общему знаменателю:

$\frac{x^3(x+2)(x+2) + 8}{x+2} \ge 0$

$\frac{x^3(x+2)^2 + 8}{x+2} \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Для этого нам нужно найти нули числителя и знаменателя.

Знаменатель $x+2$ обращается в ноль при $x=-2$. Это значение должно быть исключено из области допустимых значений.

Числитель равен нулю, когда $N(x) = x^3(x+2)^2 + 8 = 0$. Решить это уравнение стандартными школьными методами невозможно. Поэтому исследуем функцию $N(x)$, чтобы определить знаки числителя. Найдем производную функции $N(x)$:

$N'(x) = (x^3)'(x+2)^2 + x^3((x+2)^2)' = 3x^2(x+2)^2 + x^3 \cdot 2(x+2) \cdot 1 = x^2(x+2)(3(x+2)+2x) = x^2(x+2)(5x+6)$.

Критические точки функции $N(x)$ (где производная равна нулю): $x=0$, $x=-2$, $x=-\frac{6}{5}=-1.2$.

Проанализируем поведение функции $N(x)$:

При $x \to -\infty$, $N(x) \to -\infty$.

На интервале $(-\infty, -2)$ производная $N'(x) > 0$, значит, функция возрастает.

В точке $x=-2$ функция имеет локальный максимум: $N(-2)=(-2)^3(-2+2)^2+8 = 8$.

На интервале $(-2, -1.2)$ производная $N'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1.2$ функция имеет локальный минимум: $N(-1.2) = (-1.2)^3(0.8)^2+8 = -1.728 \cdot 0.64 + 8 = 6.89408$.

На интервале $(-1.2, \infty)$ производная $N'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \to +\infty$, $N(x) \to +\infty$.

Поскольку $N(x)$ возрастает от $-\infty$ до $8$ на интервале $(-\infty, -2]$, на этом интервале существует единственная точка $x_0$, в которой $N(x_0)=0$. Так как $N(-3) = (-3)^3(-1)^2+8 = -19$, а $N(-2)=8$, то корень $x_0$ находится в интервале $(-3, -2)$.

Поскольку локальный минимум функции при $x=-1.2$ положителен ($6.89408 > 0$), на всем промежутке $(-2, +\infty)$ функция $N(x)$ принимает только положительные значения.

Таким образом, числитель $N(x) < 0$ при $x < x_0$, $N(x_0)=0$, и $N(x)>0$ при $x > x_0$.

Теперь решим неравенство $\frac{N(x)}{x+2} \ge 0$, используя метод интервалов с критическими точками $x_0$ и $-2$.

- На интервале $(-\infty, x_0)$: числитель $N(x) < 0$, знаменатель $x+2 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

- На интервале $(x_0, -2)$: числитель $N(x) > 0$, знаменатель $x+2 < 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна.

- На интервале $(-2, +\infty)$: числитель $N(x) > 0$, знаменатель $x+2 > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на объединении интервалов, где дробь положительна или равна нулю. Равенство нулю достигается при $x=x_0$. Точка $x=-2$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, x_0] \cup (-2, +\infty)$, где $x_0$ — единственный действительный корень уравнения $x^3(x+2)^2+8=0$.

2) Для того чтобы выражение $\frac{7}{\sqrt{36x-x^3}} - \sqrt{x^2-16}$ имело смысл, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение под корнем, находящимся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя):

$36x-x^3 > 0$

2. Выражение под вторым корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-16 \ge 0$

Решим эти два неравенства и найдем пересечение их решений.

Решаем первое неравенство:

$36x-x^3 > 0$

$x(36-x^2) > 0$

$x(6-x)(6+x) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (0, 6)$.

Решаем второе неравенство:

$x^2-16 \ge 0$

$(x-4)(x+4) \ge 0$

Это неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней $-4$ и $4$, то есть при $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств:

$((-\infty, -6) \cup (0, 6)) \cap ((-\infty, -4] \cup [4, \infty))$

Для наглядности можно изобразить множества на числовой оси. Пересечение дает два интервала:

- Первый интервал: $(-\infty, -6) \cap (-\infty, -4] = (-\infty, -6)$.

- Второй интервал: $(0, 6) \cap [4, \infty) = [4, 6)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговую область определения выражения.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup [4, 6)$.

47.23. Решите неравенство $f'(x) < 0$:

1) $f(x) = 12x - x^3$;

2) $f(x) = \sqrt{3} x - 2\cos \frac{x}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = 12x - x^3$.Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (12x - x^3)' = (12x)' - (x^3)' = 12 \cdot 1 - 3x^{3-1} = 12 - 3x^2$.

Теперь составим и решим неравенство:

$12 - 3x^2 < 0$

Перенесем $3x^2$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$12 < 3x^2$

Разделим обе части на 3:

$4 < x^2$

Это неравенство можно переписать как $x^2 - 4 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как это парабола с ветвями вверх, выражение $(x-2)(x+2)$ положительно на крайних интервалах.

Следовательно, решение неравенства есть объединение интервалов $x < -2$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}x - 2\cos\frac{x}{2}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции для $\cos\frac{x}{2}$:

$f'(x) = (\sqrt{3}x - 2\cos\frac{x}{2})' = (\sqrt{3}x)' - (2\cos\frac{x}{2})' = \sqrt{3} - 2 \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = \sqrt{3} + 2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \sin\frac{x}{2}$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) < 0$:

$\sqrt{3} + \sin\frac{x}{2} < 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\sin\frac{x}{2} < -\sqrt{3}$

Известно, что область значений функции синус для любого действительного аргумента принадлежит отрезку $[-1, 1]$. То есть, для любого $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin\frac{x}{2} \le 1$

Оценим значение $-\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $-\sqrt{3} \approx -1.732$.

Значение $-\sqrt{3}$ находится вне области значений синуса, так как $-\sqrt{3} < -1$.

Поскольку минимальное значение, которое может принять $\sin\frac{x}{2}$, равно -1, то неравенство $\sin\frac{x}{2} < -\sqrt{3}$ не может быть выполнено ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).