Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите, что промежутки $[2\pi n; \pi+2\pi n]$, где $n$ — целое число, являются промежутками убывания функции $y = \cos x$.

Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ убывает на промежутках $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), мы воспользуемся производной. Функция является убывающей на интервале, если её производная на этом интервале неположительна ($f'(x) \le 0$) и равна нулю лишь в конечном числе точек.

1. Найдём производную функции.

Производная функции $y = \cos x$ находится по известной формуле:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Определим условие убывания функции.

Функция $y = \cos x$ убывает, когда её производная $y' \le 0$.

Подставим найденную производную в это неравенство:

$-\sin x \le 0$.

Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим:

$\sin x \ge 0$.

3. Решим полученное тригонометрическое неравенство.

Неравенство $\sin x \ge 0$ справедливо для тех значений угла $x$, при которых ордината точки на единичной окружности неотрицательна. Это соответствует углам, находящимся в I и II координатных четвертях, включая границы.

На основном промежутке длиной $2\pi$ решением является отрезок $[0; \pi]$.

4. Учтём периодичность функции синуса.

Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Поэтому, чтобы найти все решения неравенства $\sin x \ge 0$, нужно к границам найденного отрезка $[0; \pi]$ прибавить $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, общее решение неравенства имеет вид:

$x \in [0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n]$, или $x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n]$.

Вывод:

Мы показали, что на промежутках $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$ производная функции $y = \cos x$ удовлетворяет условию $y' = -\sin x \le 0$. При этом производная обращается в ноль только в граничных точках $x = 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$. Следовательно, функция $y = \cos x$ является убывающей на каждом из промежутков вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку производная функции $y = \cos x$, равная $y' = -\sin x$, является неположительной ($y' \le 0$) на всех промежутках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ - целое число, то функция на этих промежутках является убывающей.

1. Дана функция $f(x) = x\cos 2x$. Тогда $f'(x)$ равна:

A) $2x\cos 2x\sin x$;

B) $\cos 2x - 2x\sin 2x$;

C) $-2\cos x\sin x$;

D) $1 - \cos 2x\sin x$.

Для нахождения производной функции $f(x) = x \cos(2x)$ необходимо применить правило дифференцирования произведения. Правило произведения для двух функций $u(x)$ и $v(x)$ выглядит следующим образом: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

В нашем случае определим функции $u(x)$ и $v(x)$:

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \cos(2x)$.

Теперь найдем производные этих функций.

Производная от $u(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной от $v(x) = \cos(2x)$ нужно использовать цепное правило (правило дифференцирования сложной функции). Производная косинуса равна минус синусу, а производная внутреннего аргумента $(2x)$ равна $2$.

$v'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Теперь, когда у нас есть все компоненты, подставим их в формулу правила произведения:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 1 \cdot \cos(2x) + x \cdot (-2\sin(2x))$

Упростив выражение, получим окончательный вид производной:

$f'(x) = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$

Этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B) $\cos(2x) - 2x\sin(2x)$

2. Если $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$, то $f'(2)$ равна:

A) $\frac{\sqrt{5}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{5}}{3}$;

C) $\frac{2}{3}$;

D) $2\sqrt{5}$.

Для решения задачи необходимо найти производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ и вычислить ее значение в точке $x=2$.

Функция $f(x)$ является сложной, поэтому для нахождения ее производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Если функция имеет вид $h(g(x))$, то ее производная равна $h'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае внешняя функция — это квадратный корень, $h(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция — подкоренное выражение, $g(x) = x^2 + 5$.

Найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Теперь, используя цепное правило, найдем производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot (x^2 + 5)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 5}} \cdot 2x$.

Упростим полученное выражение, сократив на 2:

$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$.

Наконец, вычислим значение производной в точке $x = 2$, подставив это значение в полученную формулу:

$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 5}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 5}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

Полученный результат соответствует варианту C.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3. Дана функция $f(x) = 4 - (2x^2 - 3)^3$. Тогда $f'(x)$ равна:

A) $1 - 12x(2x^2 - 3)^2$;

B) $-12x(2x^2 - 3)$;

C) $(3 - 4x)^2$;

D) $-12x(2x^2 - 3)^2$.

Чтобы найти производную $f'(x)$ от функции $f(x) = 4 - (2x^2 - 3)^3$, необходимо применить правила дифференцирования.

1. Сначала применяем правило производной разности: $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (4 - (2x^2 - 3)^3)' = (4)' - ((2x^2 - 3)^3)'$.

2. Производная константы (числа 4) равна нулю: $(4)' = 0$.

Таким образом, выражение для производной принимает вид:

$f'(x) = 0 - ((2x^2 - 3)^3)' = -((2x^2 - 3)^3)'$.

3. Далее находим производную сложной функции $((2x^2 - 3)^3)'$ по цепному правилу. Если функция имеет вид $g(h(x))$, то ее производная равна $g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В нашем случае, внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя $h(x) = 2x^2 - 3$.

- Производная внешней функции: $(u^3)' = 3u^2$. Подставляя вместо $u$ нашу внутреннюю функцию, получаем $3(2x^2 - 3)^2$.

- Производная внутренней функции: $(2x^2 - 3)' = (2x^2)' - (3)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

4. Теперь перемножаем производную внешней функции на производную внутренней:

$((2x^2 - 3)^3)' = 3(2x^2 - 3)^2 \cdot 4x = 12x(2x^2 - 3)^2$.

5. Наконец, подставляем полученный результат в выражение из шага 2, не забывая про знак минуса:

$f'(x) = - (12x(2x^2 - 3)^2) = -12x(2x^2 - 3)^2$.

Сравнив результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) $-12x(2x^2 - 3)^2$.

4. Дана функция $f(x) = \sin^2(3x + 2)$. Тогда $f'(x)$ равна:

A) $2\cos(6x + 4)$;

B) $\sin(6x + 4)$;

C) $3\sin(6x + 4)$;

D) $2\sin(6x + 4)$.

Для нахождения производной функции $f(x) = \sin^2(3x + 2)$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функцию можно представить в виде $f(x) = (\sin(3x + 2))^2$. Это композиция трех функций: внешней $g(u)=u^2$, средней $h(v)=\sin(v)$ и внутренней $v(x)=3x+2$.

Производная находится по формуле $f'(x) = g'(h(v(x))) \cdot h'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Найдем производные каждой функции последовательно:

1. Производная внешней функции (степенной): $(u^2)' = 2u$. Подставив $u = \sin(3x+2)$, получаем $2\sin(3x+2)$.

2. Производная средней функции (тригонометрической): $(\sin(v))' = \cos(v)$. Подставив $v = 3x+2$, получаем $\cos(3x+2)$.

3. Производная внутренней функции (линейной): $(3x+2)' = 3$.

Теперь перемножим полученные производные, чтобы найти $f'(x)$:

$f'(x) = 2\sin(3x+2) \cdot \cos(3x+2) \cdot 3$

Сгруппируем множители для удобства:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin(3x+2)\cos(3x+2))$

Далее воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. В нашем случае аргумент $\alpha = 3x+2$.

Применяя формулу, получаем:

$2\sin(3x+2)\cos(3x+2) = \sin(2(3x+2)) = \sin(6x+4)$

Подставим это упрощенное выражение обратно в нашу производную:

$f'(x) = 3\sin(6x+4)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) $3\sin(6x + 4)$

5. Для функции $f(x) = 5x + \frac{1}{x} + 2\sqrt{x}$ найдите $f'(1)$:

A) 7;

B) 3;

C) 4;

D) 5.

5. Для того чтобы найти значение производной $f'(1)$, необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем подставить в нее значение $x=1$.

Дана функция: $f(x) = 5x + \frac{1}{x} + 2\sqrt{x}$.

Для удобства нахождения производной представим каждое слагаемое в виде степени:

$f(x) = 5x^1 + x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}}$

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования суммы функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная от $5x$ равна $(5x^1)' = 5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5x^0 = 5$.

Производная от $\frac{1}{x}$ равна $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Производная от $2\sqrt{x}$ равна $(2x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = 1 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Сложив производные всех слагаемых, получим производную исходной функции:

$f'(x) = 5 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 1$, подставив это значение в полученное выражение:

$f'(1) = 5 - \frac{1}{1^2} + \frac{1}{\sqrt{1}}$

Выполним вычисления:

$f'(1) = 5 - \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 5 - 1 + 1 = 5$

Таким образом, значение производной функции в точке $x=1$ равно 5. Это соответствует варианту ответа D.

Ответ: 5.

6. Приближенное значение выражения $\sqrt{102}$, найденное с помощью дифференциала, равно:

A) $\approx 10,2$; B) $\approx 10,03$; C) $\approx 10,15$; D) $\approx 10,1$.

Для нахождения приближенного значения выражения с помощью дифференциала используется формула линейного приближения: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

Выбор функции и точки для аппроксимации.Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Чтобы найти приближенное значение $\sqrt{102}$, выберем точку $x_0 = 100$, так как это ближайший к 102 полный квадрат, и значение $\sqrt{100}$ легко вычислить. Тогда приращение аргумента $\Delta x = 102 - 100 = 2$.

Нахождение значения функции в точке $x_0$.Значение функции в точке $x_0=100$ равно:$f(x_0) = f(100) = \sqrt{100} = 10$.

Нахождение производной функции и ее значения в точке $x_0$.Производная функции $f(x) = \sqrt{x}$ находится по формуле:$f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.Вычислим значение производной в точке $x_0=100$:$f'(100) = \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{2 \cdot 10} = \frac{1}{20} = 0,05$.

Расчет приближенного значения.Теперь подставим все найденные значения в формулу приближения:$\sqrt{102} \approx f(100) + f'(100) \cdot \Delta x$$\sqrt{102} \approx 10 + 0,05 \cdot 2$$\sqrt{102} \approx 10 + 0,1$$\sqrt{102} \approx 10,1$.

Полученное значение 10,1 соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) ≈10,1.

7. Тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции $y = 3 - x^2 + x^3$ в точке $x_0 = 2$, равен:

A) -12; B) 16; C) 6; D) 8.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

В данной задаче функция $y = 3 - x^2 + x^3$, а точка, в которой нужно найти тангенс угла наклона, $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции.

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования: производная константы равна нулю $(c)'=0$, и производная степенной функции равна $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

$y'(x) = (3 - x^2 + x^3)' = (3)' - (x^2)' + (x^3)' = 0 - 2x + 3x^2 = 3x^2 - 2x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$.

Подставим значение $x_0 = 2$ в найденное выражение для производной $y'(x)$:

$y'(2) = 3 \cdot (2)^2 - 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к графику данной функции в точке $x_0 = 2$ равен 8. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: D) 8.

8. Дана функция $f(x) = 2\arcsin x^2$. Тогда $f'(x)$ равна:

A) $-\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^4}};$

B) $-\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}};$

C) $-\frac{2}{\sqrt{1-x^4}};$

D) $\frac{4x}{\sqrt{1-x^4}};$

Чтобы найти производную функции $f(x) = 2\arcsin(x^2)$, необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом), так как аргументом арксинуса является не просто $x$, а функция $x^2$.

Функция $f(x)$ представляет собой композицию двух функций:

• Внешняя функция: $g(u) = 2\arcsin(u)$
• Внутренняя функция: $u(x) = x^2$

Производная сложной функции находится по формуле: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Найдем производные каждой из функций по отдельности:

1. Производная внутренней функции $u(x) = x^2$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

2. Производная внешней функции $g(u) = 2\arcsin(u)$. Используем табличное значение производной $(\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ и выносим константу за знак производной:

$g'(u) = (2\arcsin(u))' = 2 \cdot (\arcsin(u))' = \frac{2}{\sqrt{1-u^2}}$.

Теперь применим цепное правило, подставив $u = x^2$ в производную внешней функции $g'(u)$ и умножив результат на производную внутренней функции $u'(x)$:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (2x)$.

Упростим полученное выражение:

$(x^2)^2 = x^4$.

$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $\frac{4x}{\sqrt{1-x^4}}$

9. Если уравнение кривой имеет вид $y = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x - 1\frac{5}{6}$, то
уравнение касательной к графику кривой в точке (1; 1) имеет вид:

A) $y = 4x - 3$;

B) $y = 4x - 2$;

C) $y = 4x + 1$;

D) $y = 4x + 6$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Исходные данные:

Уравнение кривой: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1\frac{5}{6}$.

Точка касания: $(x_0; y_0) = (1; 1)$.

1. Нахождение производной функции.

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x - 1\frac{5}{6})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x + 2 = x^2 + x + 2$.

2. Вычисление углового коэффициента касательной.

Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $x_0 = 1$ равен значению производной в этой точке.

$k = f'(1) = 1^2 + 1 + 2 = 4$.

3. Составление уравнения касательной.

Подставим известные значения $x_0 = 1$, $y_0 = 1$ (ордината точки касания) и $k = 4$ в уравнение касательной:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 1 = 4(x - 1)$

$y - 1 = 4x - 4$

$y = 4x - 4 + 1$

$y = 4x - 3$.

Полученное уравнение соответствует варианту A).

Ответ: A) $y=4x-3$.

10. Если материальная точка движется прямолинейно по закону $S = \frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10$, то ее скорость равна нулю в моменты времени:

A) $t = 1$ c;

B) $t_1 = 2$ c; $t_2 = 3$ c;

C) $t_1 = 1$ c; $t_2 = 2,5$ c;

D) $t = 2$ c.

Задан закон прямолинейного движения материальной точки, который описывает зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$:

$S(t) = \frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10$

Скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной от пути $S(t)$ по времени $t$. Чтобы найти функцию скорости, необходимо продифференцировать функцию пути по переменной $t$.

$v(t) = S'(t) = (\frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10)'$

Используя основные правила дифференцирования (в частности, производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$), находим производную:

$v(t) = \frac{2}{3} \cdot (t^3)' - \frac{7}{2} \cdot (t^2)' + 5 \cdot (t)' + (10)'$

$v(t) = \frac{2}{3} \cdot 3t^{3-1} - \frac{7}{2} \cdot 2t^{2-1} + 5 \cdot 1t^{1-1} + 0$

$v(t) = 2t^2 - 7t + 5$

По условию задачи требуется найти моменты времени, когда скорость равна нулю. Для этого приравниваем полученное выражение для скорости к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

$2t^2 - 7t + 5 = 0$

Для решения квадратного уравнения вида $at^2 + bt + c = 0$ найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = 5$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Таким образом, скорость материальной точки обращается в нуль в моменты времени $t_1 = 1$ с и $t_2 = 2,5$ с. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту C.

Ответ: C) $t_1 = 1$ c; $t_2 = 2,5$ c;