Страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.16. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos(3x - 4)$;

3) $y = \cos \left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Сначала преобразуем данную функцию, вынеся коэффициент при $x$ за скобки, чтобы явно увидеть сдвиг: $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начинаем с построения графика основной функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой 1, проходящая через ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Следующий шаг — построение графика $y = \cos(2x)$. Этот график получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали (к оси Oy) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Ключевые точки одного периода теперь: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Заключительный шаг — построение графика $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$. Этот график получается из графика $y = \cos(2x)$ путем сдвига по горизонтали (вдоль оси Ox) влево на величину $\frac{\pi}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(2x)$ смещается влево на $\frac{\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{2}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 2 раза (период становится $\pi$) и последующего сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

2) Для построения графика функции $y = \cos(3x - 4)$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразуем функцию, вынеся коэффициент 3 за скобки: $y = \cos(3(x - \frac{4}{3}))$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y = \cos(3x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза. Период функции становится $T' = \frac{2\pi}{3}$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

3. Строим график функции $y = \cos(3(x - \frac{4}{3}))$. Он получается из графика $y = \cos(3x)$ путем сдвига по горизонтали вправо на $\frac{4}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(3x)$ смещается вправо на $\frac{4}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(\frac{4}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{3}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{3} + \frac{4}{3}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(3x - 4)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 3 раза (период становится $\frac{2\pi}{3}$) и последующего сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{4}{3}$.

3) Для построения графика функции $y = \cos(4x + \frac{4\pi}{3})$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразуем функцию, вынеся коэффициент 4 за скобки: $y = \cos(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y = \cos(4x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали в 4 раза. Период функции становится $T' = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{8}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -1)$, $(\frac{3\pi}{8}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$.

3. Строим график функции $y = \cos(4(x + \frac{\pi}{3}))$. Он получается из графика $y = \cos(4x)$ путем сдвига по горизонтали влево на $\frac{\pi}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(4x)$ смещается влево на $\frac{\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{4}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, -1) = (-\frac{\pi}{12}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 4 раза (период становится $\frac{\pi}{2}$) и последующего сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

12.17. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 4 + \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\cos(3x - 4) - 3$;

3) $y = -2\cos \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$.

1) $y = 4 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + 4$. Построение графика осуществляется в несколько этапов, начиная с базового графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Сжимаем его по горизонтали к оси OY в 2 раза. Это преобразование дает график функции $y = \cos(2x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$. Это дает график функции $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

4. Сдвигаем последний график вверх вдоль оси OY на 4 единицы. Это дает искомый график функции $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + 4$.

Для нахождения промежутков возрастания функции заметим, что она возрастает на тех же промежутках, на которых возрастает функция $y = \cos(t)$, где $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$. Это связано с тем, что коэффициент перед косинусом положителен (равен 1), а вертикальный сдвиг не влияет на монотонность.

Функция $y = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти промежутки возрастания для исходной функции, решим двойное неравенство:

$(2k-1)\pi \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le 2k\pi$

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$(2k-1)\pi - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

$2k\pi - \pi - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

$2k\pi - \frac{5\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на 2:

$k\pi - \frac{5\pi}{6} \le x \le k\pi - \frac{\pi}{3}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[k\pi - \frac{5\pi}{6}, k\pi - \frac{\pi}{3}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[-\frac{5\pi}{6} + k\pi, -\frac{\pi}{3} + k\pi\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2\cos(3x - 4) - 3$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right) - 3$. Построение графика осуществляется с помощью последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его по вертикали от оси OX в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$. Амплитуда колебаний становится равной 2.

3. Сжимаем полученный график по горизонтали к оси OY в 3 раза, получая $y = 2\cos(3x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.

4. Сдвигаем график вправо вдоль оси OX на $\frac{4}{3}$, получая $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right)$.

5. Сдвигаем последний график вниз вдоль оси OY на 3 единицы, получая искомый график $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right) - 3$.

Для нахождения промежутков возрастания учтем, что коэффициент перед косинусом (2) положителен. Следовательно, функция $y = 2\cos(3x-4)-3$ возрастает там же, где и $y = \cos(t)$, где $t = 3x - 4$.

Функция $y = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим двойное неравенство:

$(2k-1)\pi \le 3x - 4 \le 2k\pi$

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$(2k-1)\pi + 4 \le 3x \le 2k\pi + 4$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{(2k-1)\pi + 4}{3} \le x \le \frac{2k\pi + 4}{3}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[\frac{(2k-1)\pi + 4}{3}, \frac{2k\pi + 4}{3}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[\frac{(2k-1)\pi + 4}{3}, \frac{2k\pi + 4}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -2\cos\left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = -2\cos\left(4\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$. Построение графика осуществляется с помощью последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Отражаем его симметрично относительно оси OX, получая $y = -\cos(x)$.

3. Растягиваем полученный график по вертикали от оси OX в 2 раза, получая $y = -2\cos(x)$.

4. Сжимаем график по горизонтали к оси OY в 4 раза, получая $y = -2\cos(4x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

5. Сдвигаем последний график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$, получая искомый график $y = -2\cos\left(4\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Для нахождения промежутков возрастания заметим, что коэффициент перед косинусом (-2) отрицателен. Это означает, что функция $y = -2\cos\left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$ возрастает на тех промежутках, где функция $y = \cos(t)$ убывает, где $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Функция $y = \cos(t)$ убывает на промежутках вида $[2k\pi, (2k+1)\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим двойное неравенство:

$2k\pi \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le (2k+1)\pi$

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$2k\pi - \frac{4\pi}{3} \le 4x \le (2k+1)\pi - \frac{4\pi}{3}$

$\frac{6k\pi - 4\pi}{3} \le 4x \le \frac{3(2k+1)\pi - 4\pi}{3}$

$\frac{(6k-4)\pi}{3} \le 4x \le \frac{(6k-1)\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{(6k-4)\pi}{12} \le x \le \frac{(6k-1)\pi}{12}$

$\frac{(3k-2)\pi}{6} \le x \le \frac{(6k-1)\pi}{12}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[\frac{(3k-2)\pi}{6}, \frac{(6k-1)\pi}{12}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[\frac{(3k-2)\pi}{6}, \frac{(6k-1)\pi}{12}\right], k \in \mathbb{Z}$.

12.18. Исследуйте функцию на четность, найдите промежутки убывания и множество значений функции:

1) $y = 3 + 2\cos2x$;

2) $y = -2\cos(3x - 2)$;

3) $y = 1 - \cos^2x$.

1) $y = 3 + 2\cos(2x)$

Исследование на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 3 + 2\cos(2(-x)) = 3 + 2\cos(-2x)$.

Поскольку косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$y(-x) = 3 + 2\cos(2x) = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции: $y' = (3 + 2\cos(2x))' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = -4\sin(2x)$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$. Решим неравенство:

$-4\sin(2x) \le 0$

$\sin(2x) \ge 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса $2x$ находится в промежутке $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделив все части неравенства на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение множества значений. Множество значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 2 \le 3 + 2\cos(2x) \le 3 + 2$

$1 \le y \le 5$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [1, 5]$.

Ответ: функция четная; промежутки убывания $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[1, 5]$.

2) $y = -2\cos(3x - 2)$

Исследование на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = -2\cos(3(-x) - 2) = -2\cos(-3x - 2) = -2\cos(-(3x + 2))$.

Используя четность косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$y(-x) = -2\cos(3x + 2)$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(x) = -2\cos(3x - 2)$

$-y(x) = 2\cos(3x - 2)$

В общем случае $\cos(3x+2)$ не равно ни $\cos(3x-2)$, ни $-\cos(3x-2)$. Следовательно, условия $y(-x) = y(x)$ и $y(-x) = -y(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции: $y' = (-2\cos(3x - 2))' = -2 \cdot (-\sin(3x - 2)) \cdot (3x - 2)' = 6\sin(3x - 2)$.

Функция убывает, когда $y' \le 0$:

$6\sin(3x - 2) \le 0$

$\sin(3x - 2) \le 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса $3x-2$ находится в промежутке $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k \le 3x - 2 \le 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 + \pi + 2\pi k \le 3x \le 2 + 2\pi + 2\pi k$

Разделим все части на 3:

$\frac{2 + \pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{2 + 2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$.

Нахождение множества значений. Значения функции $\cos(3x-2)$ находятся в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos(3x-2) \le 1$

Умножим все части неравенства на -2, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-2 \cdot 1 \le -2\cos(3x-2) \le -2 \cdot (-1)$

$-2 \le y \le 2$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной; промежутки убывания $[\frac{2+\pi+2\pi k}{3}, \frac{2+2\pi+2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[-2, 2]$.

3) $y = 1 - \cos^2(x)$

Исследование на четность. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, преобразуем функцию:

$y = 1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$y(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) = y(x)$.

Функция является четной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции $y = \sin^2(x)$:

$y' = (\sin^2(x))' = 2\sin(x) \cdot (\sin(x))' = 2\sin(x)\cos(x)$.

Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, получаем $y' = \sin(2x)$.

Функция убывает, когда $y' \le 0$:

$\sin(2x) \le 0$

Это неравенство выполняется, когда $2x$ находится в промежутке $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k \le 2x \le 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение множества значений. Рассмотрим функцию $y = \sin^2(x)$. Мы знаем, что:

$-1 \le \sin(x) \le 1$

При возведении в квадрат значения синуса будут неотрицательными. Минимальное значение равно $0^2 = 0$, а максимальное $(\pm1)^2 = 1$.

$0 \le \sin^2(x) \le 1$

$0 \le y \le 1$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [0, 1]$.

Ответ: функция четная; промежутки убывания $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[0, 1]$.

*12.19. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = x + \cos x$;

2) $y = x - \cos x$.

1) Рассмотрим функцию $y = x + \cos x$.

Построение графика:

График данной функции можно получить сложением графиков двух более простых функций: линейной функции $y_1 = x$ (биссектриса первого и третьего координатных углов) и функции косинуса $y_2 = \cos x$.

Основные свойства для построения:

• Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то для любого $x$ выполняется неравенство $x - 1 \le x + \cos x \le x + 1$. Это означает, что график функции $y = x + \cos x$ лежит в полосе, ограниченной двумя параллельными прямыми: $y = x - 1$ и $y = x + 1$.
• График касается верхней прямой $y = x + 1$ в точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(0, 1)$, $(2\pi, 2\pi+1)$.
• График касается нижней прямой $y = x - 1$ в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\pi, \pi-1)$, $(3\pi, 3\pi-1)$.
• График пересекает прямую $y=x$ в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Исследование на монотонность:

Для исследования функции на монотонность найдем её производную: $y' = (x + \cos x)' = 1 - \sin x$.

Проанализируем знак производной. Область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, выражение $1 - \sin x$ всегда неотрицательно: $y' = 1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.

Производная $y' \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ график имеет горизонтальные касательные, которые являются точками перегиба.

Ответ: функция $y = x + \cos x$ монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x - \cos x$.

Построение графика:

Аналогично предыдущему пункту, график данной функции можно получить сложением графиков функций $y_1 = x$ и $y_2 = -\cos x$.

Основные свойства для построения:

• Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Поскольку $-1 \le -\cos x \le 1$, то для любого $x$ выполняется неравенство $x - 1 \le x - \cos x \le x + 1$. График этой функции также лежит в полосе, ограниченной прямыми $y = x - 1$ и $y = x + 1$.
• График касается верхней прямой $y = x + 1$ в точках, где $-\cos x = 1$ (т.е. $\cos x = -1$), что происходит при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\pi, \pi+1)$, $(3\pi, 3\pi+1)$.
• График касается нижней прямой $y = x - 1$ в точках, где $-\cos x = -1$ (т.е. $\cos x = 1$), что происходит при $x = 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(0, -1)$, $(2\pi, 2\pi-1)$.
• График пересекает прямую $y=x$ в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Исследование на монотонность:

Найдем производную функции: $y' = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Проанализируем знак производной. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то выражение $1 + \sin x$ всегда неотрицательно: $y' = 1 + \sin x \ge 1 + (-1) = 0$.

Производная $y' \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. В точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ график имеет горизонтальные касательные, которые являются точками перегиба.

Ответ: функция $y = x - \cos x$ монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

*12.20. Найдите графическим способом число корней уравнения:

1) $2 - x^2 = \cos x$;

2) $2x^2 - 4x = 2\cos x$.

1) Для того чтобы найти число корней уравнения $2 - x^2 = \cos x$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2 - x^2$ и $y = \cos x$. Число корней уравнения будет равно числу точек пересечения этих графиков.

Функция $y_1 = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.

Функция $y_2 = \cos x$ — это косинусоида, область значений которой — отрезок $[-1; 1]$.

Обе функции являются четными, следовательно, их графики симметричны относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем.

Рассмотрим поведение функций. Максимальное значение функции $y = 2 - x^2$ равно 2 (при $x=0$), а максимальное значение функции $y = \cos x$ равно 1. В точке $x=0$ значение параболы $y_1(0)=2$, а значение косинусоиды $y_2(0)=1$. Таким образом, в центре, вблизи оси OY, график параболы находится выше графика косинусоиды.

Поскольку область значений функции $y=\cos x$ есть $[-1; 1]$, точки пересечения могут существовать только при тех значениях $x$, для которых значение функции $y = 2 - x^2$ также находится в этом диапазоне, то есть $-1 \le 2 - x^2 \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

1) $2 - x^2 \le 1 \implies 1 \le x^2 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

2) $2 - x^2 \ge -1 \implies x^2 \le 3 \implies x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств дает нам интервалы, где могут находиться корни: $x \in [-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$.

Сравним значения функций на границах одного из интервалов, например, $[1; \sqrt{3}] \approx [1; 1.732]$.

При $x=1$: $y_1 = 2 - 1^2 = 1$, а $y_2 = \cos(1)$. Так как $0 < 1 < \pi/2$, то $0 < \cos(1) < 1$. Следовательно, в точке $x=1$ парабола выше косинусоиды ($y_1 > y_2$).

При $x = \sqrt{3}$: $y_1 = 2 - (\sqrt{3})^2 = -1$. Значение косинуса $y_2 = \cos(\sqrt{3})$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < \sqrt{3} < \pi \approx 3.14$, то $\cos(\sqrt{3})$ находится в интервале $(-1; 0)$. Следовательно, в точке $x=\sqrt{3}$ парабола ниже косинусоиды ($y_1 < y_2$).

Так как на отрезке $[1; \sqrt{3}]$ обе функции непрерывны, и на одном конце отрезка парабола выше косинусоиды, а на другом — ниже, то на интервале $(1; \sqrt{3})$ существует как минимум одна точка пересечения.

В силу симметрии графиков относительно оси OY, такая же ситуация наблюдается на отрезке $[-\sqrt{3}; -1]$. Там также будет одна точка пересечения. За пределами этих отрезков $y_1=2-x^2 < -1$, в то время как $y_2=\cos x \ge -1$, поэтому других пересечений нет.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) Рассмотрим уравнение $2x^2 - 4x = 2\cos x$. Для упрощения разделим обе части на 2: $x^2 - 2x = \cos x$.

Чтобы найти число корней этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = \cos x$. Число корней будет равно числу точек пересечения их графиков.

Функция $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Для нахождения вершины выделим полный квадрат: $y_1 = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$. Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$, и это ее минимальное значение.

Функция $y_2 = \cos x$ — косинусоида с областью значений $[-1; 1]$.

Точки пересечения могут существовать только там, где значения параболы находятся в области значений косинуса, то есть $-1 \le x^2 - 2x \le 1$.

1) $x^2 - 2x \ge -1 \implies (x-1)^2 \ge 0$, что верно для любого $x$.

2) $x^2 - 2x \le 1 \implies x^2 - 2x - 1 \le 0$. Корнями уравнения $x^2-2x-1=0$ являются $x=1 \pm \sqrt{2}$. Следовательно, пересечения могут быть только на отрезке $[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}]$.

Сравним значения функций на концах этого отрезка и в точке минимума параболы ($x=1$):

- При $x = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$: $y_1 = (1-\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (-\sqrt{2})^2 - 1 = 1$. $y_2 = \cos(1-\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}-1)$. Так как $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, то $y_2 = \cos(\sqrt{2}-1) < 1$. Следовательно, $y_1 > y_2$.

- При $x = 1$: $y_1 = (1-1)^2 - 1 = -1$. $y_2 = \cos(1) > 0$. Следовательно, $y_1 < y_2$.

- При $x = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$: $y_1 = (1+\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1$. $y_2 = \cos(1+\sqrt{2})$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < 1+\sqrt{2} < \pi \approx 3.14$, то $y_2 < 0$. Следовательно, $y_1 > y_2$.

На интервале $(1-\sqrt{2}; 1)$ разность $y_1-y_2$ меняет знак с плюса на минус, значит, там есть корень. На интервале $(1; 1+\sqrt{2})$ разность $y_1-y_2$ меняет знак с минуса на плюс, значит, там есть второй корень.

Поскольку за пределами отрезка $[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}]$ значение параболы $y_1 > 1$, а значение косинуса $y_2 \le 1$, других пересечений быть не может.

Следовательно, графики функций пересекаются ровно в двух точках.

Ответ: 2 корня.

12.21. Найдите период и постройте график функции:

1) $y = \{x\} - 2;$

2) $y = 2\{x\};$

3) $y = 2\{4x\};$

4) $y = \{\frac{x}{4}\} + 2$, где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

1) y = {x} - 2;

Функция $y = \\{x\\}$ (дробная часть числа $x$) является периодической с основным периодом $T_0 = 1$.

Функция $y = \\{x\\} - 2$ получается из функции $g(x) = \\{x\\}$ сдвигом графика вдоль оси ординат на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не изменяет период функции. Следовательно, период функции $y = \\{x\\} - 2$ также равен 1.

Для построения графика сначала рассмотрим базовый график функции $y = \\{x\\}$ на промежутке $[0, 1)$. На этом промежутке $\\{x\\} = x$, поэтому график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, где точка $(1, 1)$ выколота.

График функции $y = \\{x\\} - 2$ получается сдвигом базового графика на 2 единицы вниз. Таким образом, на промежутке $[0, 1)$ график функции $y = \\{x\\} - 2$ совпадает с графиком функции $y = x - 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -2)$ и $(1, -1)$, где точка $(1, -1)$ выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=1$, мы можем скопировать этот отрезок на все промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. График представляет собой бесконечную последовательность параллельных отрезков. Область значений функции: $[-2, -1)$.

Ответ: Период функции $T = 1$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, -2)$ (включительно) с точкой $(n+1, -1)$ (выколота).

2) y = 2{x};

Период функции $y = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$.

Функция $y = 2\\{x\\}$ получается из функции $g(x) = \\{x\\}$ растяжением графика вдоль оси ординат в 2 раза. Такое преобразование не изменяет период функции. Следовательно, период функции $y = 2\\{x\\}$ также равен 1.

Для построения графика рассмотрим промежуток $[0, 1)$. На этом промежутке $\\{x\\} = x$, поэтому $y = 2x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$, где точка $(1, 2)$ выколота.

Используя периодичность с $T=1$, повторяем этот отрезок на каждом промежутке вида $[n, n+1)$ для целых $n$. График представляет собой "пилу" с высотой зубцов, равной 2. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период функции $T = 1$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 0)$ (включительно) с точкой $(n+1, 2)$ (выколота).

3) y = 2{4x};

Сначала найдем период функции. Период функции $g(x) = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$. Для функции вида $h(x) = f(kx)$, её период $T$ связан с периодом $T_0$ функции $f(x)$ соотношением $T = T_0 / |k|$.

В нашем случае $f(x) = \\{x\\}$, а аргумент имеет вид $kx$ с $k=4$. Таким образом, период функции $h(x) = \\{4x\\}$ равен $T_h = T_0 / 4 = 1/4$.

Умножение на 2, то есть $y = 2 \cdot h(x) = 2\\{4x\\}$, является растяжением вдоль оси ординат и не влияет на период. Значит, искомый период $T = 1/4$.

Для построения графика рассмотрим один период, например, промежуток $[0, 1/4)$. Если $0 \le x < 1/4$, то $0 \le 4x < 1$. В этом случае $\\{4x\\} = 4x$. Тогда на промежутке $[0, 1/4)$ функция принимает вид $y = 2(4x) = 8x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1/4, 2)$, где правая точка выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=1/4$, этот отрезок повторяется на всех промежутках вида $[n/4, (n+1)/4)$ для целых $n$. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период функции $T = 1/4$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n/4, (n+1)/4)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n/4, 0)$ (включительно) с точкой $((n+1)/4, 2)$ (выколота).

4) y = {x/4} + 2, где {x} — дробная часть числа x.

Найдем период функции. Период функции $g(x) = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$. Для функции вида $h(x) = f(kx)$, её период $T$ равен $T_0 / |k|$.

В нашем случае аргумент имеет вид $kx$ с $k=1/4$. Следовательно, период функции $h(x) = \\{\frac{x}{4}\\}$ равен $T_h = T_0 / (1/4) = 4$.

Прибавление константы 2, то есть $y = h(x) + 2 = \\{\frac{x}{4}\\} + 2$, является сдвигом вдоль оси ординат и не влияет на период. Значит, искомый период $T = 4$.

Для построения графика рассмотрим один период, например, промежуток $[0, 4)$. Если $0 \le x < 4$, то $0 \le x/4 < 1$. В этом случае $\\{\frac{x}{4}\\} = \frac{x}{4}$. Тогда на промежутке $[0, 4)$ функция принимает вид $y = \frac{x}{4} + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(4, 3)$, где правая точка выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=4$, этот отрезок повторяется на всех промежутках вида $[4n, 4(n+1))$ для целых $n$. Область значений функции: $[2, 3)$.

Ответ: Период функции $T = 4$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[4n, 4(n+1))$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(4n, 2)$ (включительно) с точкой $(4(n+1), 3)$ (выколота).

12.22. Упростите выражение:

1)

$\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}$;

2)

$\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}$;

3)

$\operatorname{ctg} \beta + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta}$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Проще всего выразить тангенсы в знаменателе через котангенсы, используя формулу $ \text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} + \frac{1}{\text{ctg}\beta} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $:

$ \frac{1}{\text{ctg}\alpha} + \frac{1}{\text{ctg}\beta} = \frac{\text{ctg}\beta + \text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta} $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) \cdot \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} $

Сокращаем одинаковые выражения $ (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) $:

$ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $

Ответ: $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $

2) Упростим выражение $ \frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha} $. Для этого выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ и $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Преобразуем числитель:

$ \cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $

Вынесем $ \cos^2\alpha $ за скобки:

$ \frac{\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin^2\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $. Тогда числитель принимает вид:

$ \frac{\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} $

Теперь преобразуем знаменатель:

$ \sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $

Вынесем $ \sin^2\alpha $ за скобки:

$ \frac{\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1)}{\cos^2\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $. Тогда знаменатель принимает вид:

$ \frac{\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha} = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = (\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^6 = \text{ctg}^6\alpha $

Ответ: $ \text{ctg}^6\alpha $

3) Упростим выражение $ \text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} $. Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $ и приведем слагаемые к общему знаменателю.

$ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} $

Общий знаменатель будет $ \sin\beta(1 + \cos\beta) $.

$ \frac{\cos\beta(1 + \cos\beta)}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} + \frac{\sin\beta \cdot \sin\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} = \frac{\cos\beta(1 + \cos\beta) + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1 $ в числителе:

$ \frac{\cos\beta + 1}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (1 + \cos\beta) $:

$ \frac{1}{\sin\beta} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin\beta} $

12.23. Докажите тождество:

1) $\sin^2x - \cos^2x - \sin^4x + \cos^4x = 0;$

2) $(1 + \cos\alpha)(1 + \operatorname{tg}\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \operatorname{tg}\alpha;$

3) $(\operatorname{tg}x + 2\operatorname{ctg}x)^2 - (\operatorname{tg}x - 2\operatorname{ctg}x)^2 = 8.$

1) Для доказательства тождества $ \sin^2x - \cos^2x - \sin^4x + \cos^4x = 0 $ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^4x - \sin^4x) - (\cos^2x - \sin^2x) $

Выражение $ \cos^4x - \sin^4x $ можно разложить по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $. Тогда:

$ (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) = (\cos^2x - \sin^2x) \cdot 1 = \cos^2x - \sin^2x $

Подставим полученное выражение обратно в сгруппированное выражение:

$ (\cos^2x - \sin^2x) - (\cos^2x - \sin^2x) = 0 $

Левая часть тождества равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ (1 + \cos\alpha)(1 + \tg\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \tg\alpha $ преобразуем его левую часть.

Раскроем скобки в произведении $ (1 + \cos\alpha)(1 + \tg\alpha) $:

$ 1 \cdot 1 + 1 \cdot \tg\alpha + \cos\alpha \cdot 1 + \cos\alpha \cdot \tg\alpha = 1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \cos\alpha \cdot \tg\alpha $

Используем определение тангенса $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Тогда:

$ \cos\alpha \cdot \tg\alpha = \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha $

Подставим это в раскрытое выражение:

$ 1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha $

Теперь подставим это в исходное выражение левой части:

$ (1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha $

Приведем подобные слагаемые:

$ \tg\alpha + (1 - 1) + (\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \sin\alpha) = \tg\alpha + 0 + 0 + 0 = \tg\alpha $

Левая часть тождества равна $ \tg\alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $ (\tg x + 2\ctg x)^2 - (\tg x - 2\ctg x)^2 = 8 $ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \tg x + 2\ctg x $ и $ b = \tg x - 2\ctg x $.

Найдем $ a-b $:

$ (\tg x + 2\ctg x) - (\tg x - 2\ctg x) = \tg x + 2\ctg x - \tg x + 2\ctg x = 4\ctg x $

Найдем $ a+b $:

$ (\tg x + 2\ctg x) + (\tg x - 2\ctg x) = \tg x + 2\ctg x + \tg x - 2\ctg x = 2\tg x $

Перемножим полученные выражения:

$ (4\ctg x) \cdot (2\tg x) = 8 \cdot \ctg x \cdot \tg x $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $.

$ 8 \cdot 1 = 8 $

Левая часть тождества равна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

47.4.1) $f(x) = x^2 - 3x;$

2) $f(x) = 5x + x^2;$

3) $f(x) = 8 - x^3;$

4) $f(x) = x^3 + 1.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = x^2 - 3x$, мы воспользуемся правилами дифференцирования для степенной функции и разности функций.

Правило для степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Правило для разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Применяем эти правила к каждому члену функции:

Производная от $x^2$ равна $2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Производная от $3x$ равна $3 \cdot (x^1)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot x^0 = 3$.

Теперь вычитаем производные:

$f'(x) = (x^2)' - (3x)' = 2x - 3$.

Ответ: $f'(x) = 2x - 3$.

2) Чтобы найти производную функции $f(x) = 5x + x^2$, мы воспользуемся правилами дифференцирования для степенной функции и суммы функций.

Правило для суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Применяем правила к каждому члену функции:

Производная от $5x$ равна $5$.

Производная от $x^2$ равна $2x$.

Теперь складываем производные:

$f'(x) = (5x)' + (x^2)' = 5 + 2x$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 5$.

3) Чтобы найти производную функции $f(x) = 8 - x^3$, мы воспользуемся правилами дифференцирования. Производная константы равна нулю, а для $x^3$ применим степенное правило.

Производная от константы $8$ равна $0$.

Производная от $x^3$ равна $3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Применяем правило разности:

$f'(x) = (8)' - (x^3)' = 0 - 3x^2 = -3x^2$.

Ответ: $f'(x) = -3x^2$.

4) Чтобы найти производную функции $f(x) = x^3 + 1$, мы воспользуемся правилами дифференцирования. Применим степенное правило для $x^3$ и правило для константы.

Производная от $x^3$ равна $3x^2$.

Производная от константы $1$ равна $0$.

Применяем правило суммы:

$f'(x) = (x^3)' + (1)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2$.

47.5.1) $f(x) = x^2 - 4;$

2) $f(x) = -1 + x^2;$

3) $f(x) = -27 + x^3;$

4) $f(x) = -x^3 + 1.$

Для нахождения нулей функции $f(x)$ необходимо найти значения $x$, при которых $f(x)=0$.

1) $f(x) = x^2 - 4$

Приравниваем функцию к нулю:

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

Альтернативно, можно перенести 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: -2; 2.

2) $f(x) = -1 + x^2$

Приравниваем функцию к нулю:

$x^2 - 1 = 0$

Используем формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Находим корни:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

Ответ: -1; 1.

3) $f(x) = -27 + x^3$

Приравниваем функцию к нулю:

$x^3 - 27 = 0$

Переносим 27 в правую часть:

$x^3 = 27$

Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Это уравнение имеет только один действительный корень, так как разложение разности кубов $x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$ дает квадратный трехчлен $x^2+3x+9$, дискриминант которого $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9-36 = -27 < 0$, что означает отсутствие других действительных корней.

Ответ: 3.

4) $f(x) = -x^3 + 1$

Приравниваем функцию к нулю:

$-x^3 + 1 = 0$

$x^3 = 1$

Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{1}$

$x = 1$

Это уравнение имеет только один действительный корень. Разложение на множители $1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$ дает квадратный трехчлен $1+x+x^2$, дискриминант которого $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1-4 = -3 < 0$, что подтверждает отсутствие других действительных корней.

Ответ: 1.

47.6. Докажите, что в области определения является возрастающей функция:

1) $f(x) = 14 + 5x;$ 2) $f(x) = 4 + x^5;$

3) $f(x) = -\frac{3}{x};$ 4) $f(x) = -\frac{6}{x} + 9.$

47.7. Докажите, что в области определения является убывающей

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из каждого непрерывного промежутка области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Это эквивалентно тому, что разность $f(x_2) - f(x_1)$ положительна.

1) $f(x) = 14 + 5x$

Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем любые два значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (14 + 5x_2) - (14 + 5x_1) = 14 + 5x_2 - 14 - 5x_1 = 5(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1 > 0$.

Так как $5 > 0$ и $x_2 - x_1 > 0$, то их произведение $5(x_2 - x_1) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что означает $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = 4 + x^5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем любые два значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (4 + x_2^5) - (4 + x_1^5) = x_2^5 - x_1^5$.

Рассмотрим три возможных случая для $x_1$ и $x_2$:

1. Если $0 \le x_1 < x_2$, то, поскольку функция $y=t^5$ возрастает для положительных $t$, имеем $x_1^5 < x_2^5$, и значит $x_2^5 - x_1^5 > 0$.

2. Если $x_1 < x_2 \le 0$, пусть $y_1 = -x_2$ и $y_2 = -x_1$. Тогда $0 \le y_1 < y_2$. В этом случае $x_2^5 - x_1^5 = (-y_1)^5 - (-y_2)^5 = -y_1^5 - (-y_2^5) = y_2^5 - y_1^5$. Так как $y_1 < y_2$ и они неотрицательны, $y_2^5 - y_1^5 > 0$.

3. Если $x_1 < 0 < x_2$, то $x_1^5 < 0$, а $x_2^5 > 0$. Следовательно, разность $x_2^5 - x_1^5$ будет положительной (положительное число минус отрицательное).

Во всех случаях для $x_2 > x_1$ выполняется $x_2^5 > x_1^5$, а значит и $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = -\frac{3}{x}$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Докажем, что функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

1. Промежуток $(0; +\infty)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $0 < x_1 < x_2$.

Так как $x_1$ и $x_2$ положительны, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим обе части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{x_1} < -\frac{3}{x_2}$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 < 0$.

Так как $x_1$ и $x_2$ отрицательны, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим обе части неравенства на -3: $-\frac{3}{x_1} < -\frac{3}{x_2}$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

Функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = -\frac{6}{x} + 9$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Данная функция является суммой функции $g(x) = -\frac{6}{x}$ и константы $9$. Характер монотонности (возрастание или убывание) определяется функцией $g(x)$.

Докажем, что функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

1. Промежуток $(0; +\infty)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $0 < x_1 < x_2$.

Из $x_1 < x_2$ следует $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим на -6 (знак неравенства изменится): $-\frac{6}{x_1} < -\frac{6}{x_2}$.

Прибавим к обеим частям 9: $-\frac{6}{x_1} + 9 < -\frac{6}{x_2} + 9$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Функция возрастает на $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 < 0$.

Из $x_1 < x_2$ следует $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим на -6 (знак неравенства изменится): $-\frac{6}{x_1} < -\frac{6}{x_2}$.

Прибавим к обеим частям 9: $-\frac{6}{x_1} + 9 < -\frac{6}{x_2} + 9$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

Функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

47.7. Докажите, что в области определения является убывающей функция:

1) $f(x) = -2x + 8$;

2) $f(x) = 4 - x^3$;

3) $f(x) = \frac{10}{x}$;

4) $f(x) = \frac{5}{x} - 11$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -2x + 8$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной линейной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (-2x + 8)' = -2$.

Так как производная $f'(x) = -2$ является постоянным отрицательным числом для любого значения $x$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = -2x + 8$ является убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, поскольку ее производная $f'(x) = -2 < 0$.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 4 - x^3$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной кубической функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (4 - x^3)' = -3x^2$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = -3x^2$ всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$, а во всех остальных точках она строго отрицательна. Это означает, что функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция $f(x) = 4 - x^3$ является убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, поскольку ее производная $f'(x) = -3x^2 \le 0$ для всех $x$.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{10}{x}$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (\frac{10}{x})' = (10x^{-1})' = -10x^{-2} = -\frac{10}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \ne 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{10}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = \frac{10}{x}$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения, $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $f'(x) = -\frac{10}{x^2} < 0$ для всех $x \ne 0$.

4) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{5}{x} - 11$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (\frac{5}{x} - 11)' = (5x^{-1} - 11)' = -5x^{-2} - 0 = -\frac{5}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \ne 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{5}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = \frac{5}{x} - 11$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения, $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $f'(x) = -\frac{5}{x^2} < 0$ для всех $x \ne 0$.

47.8. Найдите промежутки возрастания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 0,49;$

2) $f(x) = -0,64 + x^2;$

3) $f(x) = -0,027 + x^3.$

1) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = x^2 - 0,49$ необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

Производная функции: $f'(x) = (x^2 - 0,49)' = 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) > 0$.

Решим неравенство: $2x > 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку принято включать в промежуток возрастания.

Также можно отметить, что график данной функции — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $x=0$. Такая парабола возрастает на промежутке от своей вершины до плюс бесконечности.

Ответ: $[0; +\infty)$.

2) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = -0,64 + x^2$, которую можно записать как $f(x) = x^2 - 0,64$, найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (x^2 - 0,64)' = 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) > 0$.

Решим неравенство: $2x > 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Промежуток возрастания — $(0; +\infty)$. Включая граничную точку $x=0$ (из-за непрерывности функции), получаем итоговый промежуток.

Ответ: $[0; +\infty)$.

3) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = -0,027 + x^3$ найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (-0,027 + x^3)' = 3x^2$.

Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, $f'(x) \ge 0$.

Рассмотрим неравенство: $3x^2 \ge 0$.

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в изолированной точке, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

47.9. Найдите промежутки убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 + 0,5x$;

2) $f(x) = 0,4x - x^2$;

3) $f(x) = -0,64x + x^3$.

Для нахождения промежутков убывания функции $y=f(x)$ используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения.
5. Промежутки, на которых $f'(x) \le 0$, являются промежутками убывания функции.

1) f(x) = x² + 0,5x;

1. Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 0,5x)' = 2x + 0,5$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$2x + 0,5 = 0$

$2x = -0,5$

$x = -0,25$

4. Критическая точка $x = -0,25$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -0,25)$ и $(-0,25, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

Для $x < -0,25$ (например, $x=-1$): $f'(-1) = 2(-1) + 0,5 = -1,5 < 0$.

Для $x > -0,25$ (например, $x=0$): $f'(0) = 2(0) + 0,5 = 0,5 > 0$.

5. Функция убывает на том промежутке, где её производная $f'(x) \le 0$. Это выполняется при $x \le -0,25$.

Ответ: $(-\infty, -0,25]$.

2) f(x) = 0,4x - x²;

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,4x - x^2)' = 0,4 - 2x$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$0,4 - 2x = 0$

$2x = 0,4$

$x = 0,2$

4. Критическая точка $x = 0,2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 0,2)$ и $(0,2, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

Для $x < 0,2$ (например, $x=0$): $f'(0) = 0,4 - 2(0) = 0,4 > 0$.

Для $x > 0,2$ (например, $x=1$): $f'(1) = 0,4 - 2(1) = -1,6 < 0$.

5. Функция убывает на том промежутке, где её производная $f'(x) \le 0$. Это выполняется при $0,4 - 2x \le 0$, то есть $x \ge 0,2$.

Ответ: $[0,2, +\infty)$.

3) f(x) = -0,64x + x³;

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (-0,64x + x^3)' = -0,64 + 3x^2$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$-0,64 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 0,64$

$x^2 = \frac{0,64}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{0,64}{3}} = \pm\frac{\sqrt{0,64}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{0,8}{\sqrt{3}}$

Критические точки: $x_1 = -\frac{0,8}{\sqrt{3}}$ и $x_2 = \frac{0,8}{\sqrt{3}}$.

4. Функция убывает, когда её производная $f'(x) \le 0$. Решим неравенство:

$3x^2 - 0,64 \le 0$

Графиком функции $y = 3x^2 - 0,64$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между её корнями, включая сами корни.

Таким образом, неравенство выполняется для $x \in [-\frac{0,8}{\sqrt{3}}, \frac{0,8}{\sqrt{3}}]$.

Этот промежуток можно также записать, избавившись от иррациональности в знаменателе: $[-\frac{0,8\sqrt{3}}{3}, \frac{0,8\sqrt{3}}{3}]$.

Ответ: $[-\frac{0,8}{\sqrt{3}}, \frac{0,8}{\sqrt{3}}]$.

47.10. Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $f(x)$:

1) возрастает на интервале $(-\infty, -4]$ и убывает на интервале $[-4, +\infty)$;

2) убывает на интервале $(-\infty, -0.5]$ и возрастает на интервале $[-0.5, +\infty)$.

Для того чтобы изобразить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, необходимо использовать основное свойство производной, связывающее её знак с поведением самой функции $f(x)$.

Правило гласит:

1. Если на некотором интервале функция $f(x)$ возрастает, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна (то есть $f'(x) \ge 0$). График производной на этом интервале лежит выше или на оси абсцисс (Ox).

2. Если на некотором интервале функция $f(x)$ убывает, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна (то есть $f'(x) \le 0$). График производной на этом интервале лежит ниже или на оси абсцисс (Ox).

3. В точках, где характер монотонности функции меняется (точки экстремума), производная дифференцируемой функции равна нулю ($f'(x) = 0$). График производной в этих точках пересекает ось абсцисс.

1) возрастает на интервале $(-\infty; -4]$ и убывает на интервале $[-4; +\infty)$

Проанализируем поведение производной $f'(x)$ на основе данных о функции $f(x)$.

Так как $f(x)$ возрастает на $(-\infty; -4]$, это означает, что её производная $f'(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -4]$. То есть, для всех $x < -4$ производная $f'(x) > 0$, а в точке $x=-4$ она может быть равна нулю.

Так как $f(x)$ убывает на $[-4; +\infty)$, это означает, что её производная $f'(x) \le 0$ при $x \in [-4, +\infty)$. То есть, для всех $x > -4$ производная $f'(x) < 0$, а в точке $x=-4$ она равна нулю.

В точке $x = -4$ функция $f(x)$ достигает своего максимума, и её производная в этой точке равна нулю: $f'(-4) = 0$.

Таким образом, для эскиза графика $y=f'(x)$ мы имеем следующие условия:

- при $x < -4$, график $y=f'(x)$ находится выше оси Ox;

- при $x > -4$, график $y=f'(x)$ находится ниже оси Ox;

- при $x = -4$, график $y=f'(x)$ пересекает ось Ox.

Простейшим эскизом, удовлетворяющим этим условиям, является прямая линия с отрицательным наклоном, проходящая через точку $(-4, 0)$. Например, это может быть график функции $y = -x - 4$.

Ответ: Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой график функции, которая положительна при $x \in (-\infty, -4)$, равна нулю при $x = -4$ и отрицательна при $x \in (-4, +\infty)$. Например, это прямая, пересекающая ось Ox в точке $(-4, 0)$ и проходящая из второй в четвертую координатную четверть.

2) убывает на интервале $(-\infty; -0,5]$ и возрастает на интервале $[-0,5; +\infty)$

Проанализируем поведение производной $f'(x)$ на основе данных о функции $f(x)$.

Так как $f(x)$ убывает на $(-\infty; -0,5]$, это означает, что её производная $f'(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, -0,5]$. То есть, для всех $x < -0,5$ производная $f'(x) < 0$, а в точке $x=-0,5$ она может быть равна нулю.

Так как $f(x)$ возрастает на $[-0,5; +\infty)$, это означает, что её производная $f'(x) \ge 0$ при $x \in [-0,5, +\infty)$. То есть, для всех $x > -0,5$ производная $f'(x) > 0$, а в точке $x=-0,5$ она равна нулю.

В точке $x = -0,5$ функция $f(x)$ достигает своего минимума, и её производная в этой точке равна нулю: $f'(-0,5) = 0$.

Таким образом, для эскиза графика $y=f'(x)$ мы имеем следующие условия:

- при $x < -0,5$, график $y=f'(x)$ находится ниже оси Ox;

- при $x > -0,5$, график $y=f'(x)$ находится выше оси Ox;

- при $x = -0,5$, график $y=f'(x)$ пересекает ось Ox.

Простейшим эскизом, удовлетворяющим этим условиям, является прямая линия с положительным наклоном, проходящая через точку $(-0,5, 0)$. Например, это может быть график функции $y = x + 0,5$.

Ответ: Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой график функции, которая отрицательна при $x \in (-\infty, -0.5)$, равна нулю при $x = -0.5$ и положительна при $x \in (-0.5, +\infty)$. Например, это прямая, пересекающая ось Ox в точке $(-0.5, 0)$ и проходящая из третьей в первую координатную четверть.

47.11. Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $f(x):$

1) возрастает на интервалах $(-\infty; 2]$ и $[5; +\infty)$ и убывает на интервале $[2; 5.5];$

2) убывает на интервалах $(-\infty; -3]$ и $[6; +\infty)$ и возрастает на интервале $[-3; 6].$

1) Для построения эскиза графика производной $y = f'(x)$ воспользуемся связью между знаком производной и монотонностью функции $f(x)$. Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x) \ge 0$ на этом интервале. Если функция $f(x)$ убывает, то её производная $f'(x) \le 0$. В точках, где характер монотонности меняется (точки экстремума), производная дифференцируемой функции равна нулю.

Согласно условию, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(-\infty, 2]$ и $[5,5, +\infty)$. Следовательно, на этих интервалах её производная $f'(x) \ge 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ будет находиться не ниже оси абсцисс (оси Ox).

Функция $f(x)$ убывает на интервале $[2, 5,5]$. Следовательно, на этом интервале её производная $f'(x) \le 0$. Это означает, что график производной $y=f'(x)$ будет находиться не выше оси абсцисс.

В точках $x=2$ и $x=5,5$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума), а в точке $x=5,5$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума). В этих точках производная равна нулю: $f'(2)=0$ и $f'(5,5)=0$. Таким образом, график производной пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=5,5$.

Обобщая, эскиз графика функции $y=f'(x)$ — это любая непрерывная кривая, которая находится выше оси Ox на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5,5, +\infty)$, ниже оси Ox на интервале $(2, 5,5)$ и пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=5,5$. Например, это может быть парабола, ветви которой направлены вверх.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой кривую, которая положительна на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5,5, +\infty)$, отрицательна на интервале $(2, 5,5)$ и обращается в ноль в точках $x=2$ и $x=5,5$.

2) Аналогично первому пункту, проанализируем поведение функции $f(x)$ и определим свойства её производной $f'(x)$.

Согласно условию, функция $f(x)$ убывает на интервалах $(-\infty, -3]$ и $[6, +\infty)$. Следовательно, на этих интервалах её производная $f'(x) \le 0$. График производной $y=f'(x)$ будет находиться не выше оси абсцисс (оси Ox).

Функция $f(x)$ возрастает на интервале $[-3, 6]$. Следовательно, на этом интервале её производная $f'(x) \ge 0$. График производной $y=f'(x)$ будет находиться не ниже оси абсцисс.

В точках $x=-3$ и $x=6$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=-3$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума), а в точке $x=6$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума). В этих точках производная равна нулю: $f'(-3)=0$ и $f'(6)=0$. Таким образом, график производной пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=6$.

Обобщая, эскиз графика функции $y=f'(x)$ — это любая непрерывная кривая, которая находится ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$, выше оси Ox на интервале $(-3, 6)$ и пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=6$. Например, это может быть парабола, ветви которой направлены вниз.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой кривую, которая отрицательна на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(6, +\infty)$, положительна на интервале $(-3, 6)$ и обращается в ноль в точках $x=-3$ и $x=6$.

47.12. Докажите, что в области определения является возрастающей функция:

1) $f(x) = 5x + \cos x$;

2) $f(x) = x + \sin x$;

3) $f(x) = 2x + \cos x$.

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, достаточно найти ее производную и показать, что она неотрицательна (или строго положительна) для всех значений аргумента из области определения.

1) $f(x) = 5x + \cos x$

Область определения данной функции — все действительные числа, так как функции $y=5x$ и $y=\cos x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (5x + \cos x)' = (5x)' + (\cos x)' = 5 - \sin x$.

Известно, что значения функции синус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Используем это свойство для оценки знака производной:

Если $\sin x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 5 - 1 = 4$.

Если $\sin x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 5 - (-1) = 6$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $4 \le f'(x) \le 6$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда строго больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x) = 5x + \cos x$ является возрастающей.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

2) $f(x) = x + \sin x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Известно, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим знак производной:

Если $\cos x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 1 - 1 = 0$.

Если $\cos x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 1 + 1 = 2$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $0 \le f'(x) \le 2$.

Производная функции неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) для всех $x$. Равенство нулю $f'(x) = 0$ достигается только в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку производная равна нулю лишь в изолированных точках, а на всех интервалах между этими точками она строго положительна, функция $f(x) = x + \sin x$ является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

3) $f(x) = 2x + \cos x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x + \cos x)' = (2x)' + (\cos x)' = 2 - \sin x$.

Как и в первом пункте, используем свойство $-1 \le \sin x \le 1$.

Оценим знак производной:

Если $\sin x = 1$ (максимальное значение), то $f'(x) = 2 - 1 = 1$.

Если $\sin x = -1$ (минимальное значение), то $f'(x) = 2 - (-1) = 3$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $1 \le f'(x) \le 3$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда строго больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x) = 2x + \cos x$ является возрастающей.

Ответ: Доказано, что функция является возрастающей.

47.13. Докажите, что в области определения является убывающей функция:

1) $f(x) = -3x + \cos x;$

2) $f(x) = \sin x - 4x;$

3) $f(x) = -3x + \cos 2x.$

Для доказательства того, что функция является убывающей в своей области определения, достаточно найти ее производную и показать, что она отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения.

1) Рассмотрим функцию $f(x) = -3x + \cos x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и линейная функция, и косинус определены на всей числовой оси.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x + \cos x)' = (-3x)' + (\cos x)' = -3 - \sin x$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, для производной $f'(x) = -3 - \sin x$ можно записать неравенство:

$-3 - 1 \le -3 - \sin x \le -3 - (-1)$

$-4 \le f'(x) \le -2$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 4x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - 4x)' = (\sin x)' - (4x)' = \cos x - 4$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для производной $f'(x) = \cos x - 4$ можно записать неравенство:

$-1 - 4 \le \cos x - 4 \le 1 - 4$

$-5 \le f'(x) \le -3$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = -3x + \cos 2x$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (-3x + \cos 2x)' = (-3x)' + (\cos 2x)' = -3 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = -3 - 2\sin 2x$.

Оценим значение производной. Известно, что область значений функции $\sin 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-2$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные):

$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin 2x \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\sin 2x \ge -2$.

Теперь прибавим $-3$ ко всем частям неравенства:

$2 - 3 \ge -3 - 2\sin 2x \ge -2 - 3$

$-1 \ge f'(x) \ge -5$.

Так как производная $f'(x)$ принимает только отрицательные значения на всей области определения, то функция $f(x)$ является убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.