Страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$?

Перемещение (сдвиг, параллельный перенос) вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ единицы вправо.

Рис. 12.5

Построение графика функции $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ выполняется с помощью геометрического преобразования графика более простой, базовой функции $y = \cos(x)$. Это преобразование называется параллельным переносом или сдвигом.

Базовый график

Сначала мы рассматриваем график функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида, которая является периодической функцией с периодом $2\pi$. Её ключевые точки: максимум в $(0, 1)$, пересечение с осью x в $(\frac{\pi}{2}, 0)$, минимум в $(\pi, -1)$ и так далее. На изображении этот график показан черной линией.

Правило преобразования

Искомая функция $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ относится к классу функций $y = f(x - c)$. Согласно общему правилу преобразования графиков, если из аргумента функции $x$ вычитается положительная константа $c$, это вызывает сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (горизонтальный сдвиг) вправо на $c$ единиц.

Применение сдвига

В нашем случае базовой функцией является $f(x) = \cos(x)$, а величина сдвига $c = \frac{\pi}{4}$. Поскольку $c > 0$, для получения графика $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ необходимо взять весь график $y = \cos(x)$ и сдвинуть его вправо на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \cos(x)$ переместится в точку $(x_0 + \frac{\pi}{4}, y_0)$ на новом графике. Например:

- Максимум из точки $(0, 1)$ переместится в точку $\left(0 + \frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

- Нуль функции из точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0\right) = \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)$.

- Минимум из точки $(\pi, -1)$ переместится в точку $\left(\pi + \frac{\pi}{4}, -1\right) = \left(\frac{5\pi}{4}, -1\right)$.

В результате этого сдвига мы получаем новый график, который на изображении показан бирюзовым цветом и подписан как $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$. Стрелка на рисунке наглядно показывает направление этого сдвига.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ построен путем параллельного переноса (сдвига) графика базовой функции $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо вдоль оси Ox.