Страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.8. Для функции $y = f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

$f(x) = \cos x, \cos \frac{\pi}{3} = 0,5$ и $\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right) = 0,5, T = \frac{4\pi}{3}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных шага, которые указаны в условии: проверить справедливость двух равенств и на основе этого сделать вывод о периодичности функции.

Проверка справедливости двух равенств

Проверим первое равенство: $ \cos\frac{\pi}{3} = 0,5 $.

Угол $ \frac{\pi}{3} $ радиан соответствует $60^\circ$. Косинус этого угла — это известное табличное значение: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, что в десятичной форме равно $0,5$. Следовательно, первое равенство является верным.

Проверим второе равенство: $ \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}) = 0,5 $.

Сначала упростим выражение в аргументе косинуса: $ \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

Теперь необходимо вычислить значение $ \cos\frac{5\pi}{3} $. Для этого можно использовать формулу приведения $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $:$ \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = 0,5 $.

Таким образом, второе равенство также является верным.

Вывод о том, является ли число T периодом функции

По определению, число $ T \neq 0 $ является периодом функции $ f(x) $, если для любого значения $ x $ из области определения функции выполняется равенство $ f(x+T) = f(x) $.

Проверка выше показала, что для конкретного значения $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ T = \frac{4\pi}{3} $ равенство $ f(x+T) = f(x) $ выполняется, так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}) = 0,5 $.

Однако, чтобы число $T$ было периодом, это равенство должно быть верным для всех возможных значений $x$. Проведем проверку для другого произвольного значения, например, $ x = 0 $.

Найдем значение функции в точке $x=0$:$ f(0) = \cos(0) = 1 $.

Теперь найдем значение функции в точке $ x+T = 0 + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $:$ f(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $, получаем:$ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -0,5 $.

Сравнивая результаты, видим, что $ f(0) = 1 $, а $ f(0+T) = -0,5 $. Поскольку $ f(0) \neq f(0+T) $, условие периодичности не выполняется для всех $x$.

Ответ: Оба равенства, предложенные в условии, справедливы. Однако число $ T = \frac{4\pi}{3} $ не является периодом функции $ f(x) = \cos x $, поскольку равенство $ f(x+T)=f(x) $ выполняется не для всех значений $ x $ из области определения.

12.9. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \cos 0,5x;$

2) $y = 1 + \cos 1,5x;$

3) $y = \cos x + |\cos x|;$

4) $y = \cos x - |\cos x|.$

1) $y = 2 - \cos(0,5x)$

Для построения графика функции $y = 2 - \cos(0,5x)$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика функции $y = \cos x$:

1. Построим график $y = \cos(0,5x)$. Это график $y = \cos x$, растянутый вдоль оси Ox в 2 раза. Период этой функции $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$.

2. Построим график $y = -\cos(0,5x)$. Он получается из предыдущего графика симметричным отражением относительно оси Ox.

3. Построим искомый график $y = 2 - \cos(0,5x)$, сдвинув предыдущий график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Для нахождения промежутков убывания функции найдем ее производную:

$y' = (2 - \cos(0,5x))' = -(-\sin(0,5x) \cdot 0,5) = 0,5\sin(0,5x)$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$.

$0,5\sin(0,5x) < 0$, что равносильно $\sin(0,5x) < 0$.

Неравенство $\sin t < 0$ выполняется для $t \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 0,5x$:

$\pi + 2\pi n < 0,5x < 2\pi + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на 2:

$2\pi + 4\pi n < x < 4\pi + 4\pi n$.

Таким образом, функция убывает на интервалах. Включая концы, где производная равна нулю, получаем отрезки.

Ответ: промежутки убывания функции: $[2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 1 + \cos(1,5x)$

Для построения графика функции $y = 1 + \cos(1,5x)$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика функции $y = \cos x$:

1. Построим график $y = \cos(1,5x)$. Это график $y = \cos x$, сжатый вдоль оси Ox в 1,5 раза. Период этой функции $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Построим искомый график $y = 1 + \cos(1,5x)$, сдвинув предыдущий график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Функция $y = 1 + \cos(1,5x)$ убывает на тех же промежутках, что и функция $y = \cos(1,5x)$.

Функция $y = \cos t$ убывает на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 1,5x = \frac{3}{2}x$. Тогда:

$2\pi n \le \frac{3}{2}x \le \pi + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$.

Ответ: промежутки убывания функции: $[\frac{4\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \cos x + |\cos x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, график функции состоит из участков графика $y = 2\cos x$ там, где косинус неотрицателен, и горизонтальных отрезков $y=0$ там, где косинус отрицателен.

Функция может убывать только на тех промежутках, где она не является постоянной, то есть на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $y = 2\cos x$.

Функция $y = 2\cos x$ убывает там же, где и $y = \cos x$.

Стандартная функция $y = \cos t$ убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно найти пересечение промежутков убывания $y = \cos x$ и промежутков, где $y = 2\cos x$.

Пересечением множеств $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$ являются отрезки $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.

Ответ: промежутки убывания функции: $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \cos x - |\cos x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков $y=0$ там, где косинус неотрицателен, и участков графика $y = 2\cos x$ там, где косинус отрицателен.

Функция может убывать только на тех промежутках, где она не является постоянной, то есть на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $y = 2\cos x$.

Функция $y = 2\cos x$ убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение интервалов $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ с промежутками убывания $y = 2\cos x$.

Рассмотрим период при $n=0$: интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. На этом периоде $\cos x$ убывает на отрезке $[0, \pi]$.

Пересечение $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ и $[0, \pi]$ дает полуинтервал $(\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Обобщая на все периоды, получаем промежутки убывания.

Ответ: промежутки убывания функции: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

12.10. Сравните значения выражений:

1) $\cos \frac{5\pi}{7}$ и $-\cos \frac{7\pi}{8}$;

2) $\cos \frac{4\pi}{9}$ и $\cos \frac{3\pi}{8}$;

3) $\cos \frac{3\pi}{11}$ и $\cos \frac{5\pi}{13}$.

1) Для сравнения значений $\cos\frac{5\pi}{7}$ и $\cos\frac{7\pi}{8}$ сначала определим, в какой четверти единичной окружности находятся углы $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$ (так как $\frac{3,5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$) и $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi$ (так как $\frac{4\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{8}$), оба угла принадлежат второй четверти.

Функция $y = \cos x$ на промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ является убывающей. Это означает, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.

Сравним значения аргументов $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $56$:

$\frac{5\pi}{7} = \frac{5 \cdot 8 \pi}{7 \cdot 8} = \frac{40\pi}{56}$

$\frac{7\pi}{8} = \frac{7 \cdot 7 \pi}{8 \cdot 7} = \frac{49\pi}{56}$

Так как $40\pi < 49\pi$, то $\frac{40\pi}{56} < \frac{49\pi}{56}$, следовательно, $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$.

Поскольку функция косинуса убывает во второй четверти, из неравенства $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$ следует, что $\cos\frac{5\pi}{7} > \cos\frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\cos\frac{5\pi}{7} > \cos\frac{7\pi}{8}$.

2) Для сравнения значений $\cos\frac{4\pi}{9}$ и $\cos\frac{3\pi}{8}$ определим, в какой четверти находятся углы.

Поскольку $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{4\pi}{9} < \frac{4,5\pi}{9}$) и $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$), оба угла принадлежат первой четверти.

Функция $y = \cos x$ на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $72$:

$\frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 8 \pi}{9 \cdot 8} = \frac{32\pi}{72}$

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{8 \cdot 9} = \frac{27\pi}{72}$

Так как $32\pi > 27\pi$, то $\frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72}$, следовательно, $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$.

Поскольку функция косинуса убывает в первой четверти, из неравенства $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$ следует, что $\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{3\pi}{8}$.

3) Для сравнения значений $\cos\frac{3\pi}{11}$ и $\cos\frac{5\pi}{13}$ определим, в какой четверти находятся углы.

Поскольку $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{11} < \frac{5,5\pi}{11}$) и $0 < \frac{5\pi}{13} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{5\pi}{13} < \frac{6,5\pi}{13}$), оба угла принадлежат первой четверти.

На промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ является убывающей.

Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$:

$\frac{3\pi}{11} = \frac{3 \cdot 13 \pi}{11 \cdot 13} = \frac{39\pi}{143}$

$\frac{5\pi}{13} = \frac{5 \cdot 11 \pi}{13 \cdot 11} = \frac{55\pi}{143}$

Так как $39\pi < 55\pi$, то $\frac{39\pi}{143} < \frac{55\pi}{143}$, следовательно, $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$.

Поскольку функция косинуса убывает в первой четверти, из неравенства $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$ следует, что $\cos\frac{3\pi}{11} > \cos\frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $\cos\frac{3\pi}{11} > \cos\frac{5\pi}{13}$.

12.11. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = 1 + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

2) $y = 3 - 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

3) $y = 1 - \cos\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1 + 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$ найдем ее производную.

$y' = (1 + 2\cos(x - \frac{\pi}{3}))' = -2\sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.

$-2\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi n < x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$

$\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$.

Промежутки возрастания: $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.

$-2\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n < x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = 3 - 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$ найдем производную.

$y' = (3 - 2\cos(x + \frac{\pi}{3}))' = -2(-\sin(x + \frac{\pi}{3})) = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$.

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < x + \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n - \frac{\pi}{3} < x < \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$.

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Промежутки убывания: $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Для функции $y = 1 - \cos(x - \frac{3\pi}{4})$ найдем производную.

$y' = (1 - \cos(x - \frac{3\pi}{4}))' = -(-\sin(x - \frac{3\pi}{4})) = \sin(x - \frac{3\pi}{4})$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$.

$\sin(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < x - \frac{3\pi}{4} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n + \frac{3\pi}{4} < x < \pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

Промежутки возрастания: $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$.

$\sin(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < x - \frac{3\pi}{4} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{7\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{4} + 2\pi n$.

Промежутки убывания: $[\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{11\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{11\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

12.12. Начертите единичную окружность. На линии синусов отметьте точку, значение синуса от ординаты которой равно $a$ и $-1 \leq a \leq 1$. Через эту точку проведите прямую, параллельную оси $Ox$. Найдите точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. На чертеже отметьте углы, синус которых равен $a$, если:

1) $a = -\frac{1}{4}$;

2) $a = \frac{1}{3}$;

3) $a = -\frac{1}{4}$;

4) $a = -\frac{3}{4}$.

Для нахождения углов, синус которых равен заданному числу $a$, используется единичная окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Ось ординат ($Oy$) называется линией синусов, так как ордината любой точки на единичной окружности равна синусу угла, образованного радиус-вектором этой точки и положительным направлением оси абсцисс ($Ox$).

Алгоритм решения:

1. Начертить единичную окружность в системе координат $xOy$.

2. На оси $Oy$ (линии синусов) отметить точку с ординатой, равной $a$.

3. Через эту точку провести горизонтальную прямую с уравнением $y=a$.

4. Найти точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. Эти точки и будут соответствовать искомым углам.

5. Записать значения углов. Если прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках, то им соответствуют два угла на промежутке $[0, 2\pi)$: $\alpha_1 = \arcsin(a)$ и $\alpha_2 = \pi - \arcsin(a)$. Все множество углов описывается общей формулой.

1) a = 1/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = \frac{1}{4}$. Проводим через нее горизонтальную прямую $y=\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Одна точка находится в I координатной четверти, ей соответствует угол $\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{4})$. Вторая точка находится во II координатной четверти, ей соответствует угол $\alpha_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{4})$. На чертеже эти углы отсчитываются от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки до радиус-векторов, проведенных в эти точки.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = \frac{1}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = \frac{1}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) a = 1/3

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = \frac{1}{3}$. Проводим горизонтальную прямую $y=\frac{1}{3}$. Прямая пересекает единичную окружность в двух точках: в I и II четвертях. Угол в I четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{3})$. Угол во II четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3})$.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = \frac{1}{3}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = \frac{1}{3}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) a = -1/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = -\frac{1}{4}$. Проводим горизонтальную прямую $y=-\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, расположенных в III и IV координатных четвертях. Угол в IV четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\arcsin(\frac{1}{4})$. Угол в III четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) = \pi + \arcsin(\frac{1}{4})$. На чертеже угол $\alpha_1$ отсчитывается по часовой стрелке, а $\alpha_2$ — против часовой стрелки.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = -\frac{1}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = -\frac{1}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) a = -3/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = -\frac{3}{4}$. Проводим горизонтальную прямую $y=-\frac{3}{4}$. Прямая пересекает единичную окружность в двух точках: в III и IV четвертях. Угол в IV четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(-\frac{3}{4}) = -\arcsin(\frac{3}{4})$. Угол в III четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(-\frac{3}{4}) = \pi + \arcsin(\frac{3}{4})$.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = -\frac{3}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = -\frac{3}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

12.13. Начертите единичную окружность. На линии косинусов отметьте точку, значение косинуса от абсциссы которой равно $a$ и $-1 \leq a \leq 1$. Через эту точку проведите прямую, параллельную оси $Oy$. Найдите точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. На чертеже отметьте углы, косинус которых равен $a$, если: 1) $a = \frac{3}{4}$; 2) $a = \frac{2}{3}$; 3) $a = -\frac{1}{4}$; 4) $a = -\frac{3}{4}$.

Для решения данной задачи воспользуемся определением косинуса через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. Её уравнение в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = 1$. Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$. Поэтому ось абсцисс (Ox) также называют линией косинусов.

Чтобы найти углы, косинус которых равен $a$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить единичную окружность.

2. На оси Ox (линии косинусов) отметить точку, абсцисса которой равна $a$.

3. Через эту точку провести вертикальную прямую, параллельную оси Oy. Уравнение этой прямой — $x=a$.

4. Найти точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. Для этого нужно решить систему уравнений: $x=a$ и $x^2+y^2=1$. Подстановка дает $a^2+y^2=1$, откуда $y = \pm\sqrt{1-a^2}$. Таким образом, мы получаем две точки пересечения: $P_1(a, \sqrt{1-a^2})$ и $P_2(a, -\sqrt{1-a^2})$ (при условии, что $|a| < 1$).

5. На чертеже отметить углы, соответствующие этим точкам. Это углы, которые образуют радиус-векторы $OP_1$ и $OP_2$ с положительным направлением оси Ox. Общее решение уравнения $\cos(\alpha)=a$ имеет вид $\alpha = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $a = \frac{3}{4}$

На оси косинусов (Ox) отмечаем точку с координатой $x = \frac{3}{4}$. Проводим через нее вертикальную прямую $x = \frac{3}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, симметричных относительно оси Ox. Одна точка находится в первой координатной четверти, а другая — в четвертой. Найдем ординаты этих точек: $y = \pm\sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$. Таким образом, точки пересечения: $P_1(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$. На чертеже мы отмечаем два угла: угол $\alpha_1 = \arccos(\frac{3}{4})$, соответствующий точке $P_1$ в первой четверти, и угол $\alpha_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$, соответствующий точке $P_2$ в четвертой четверти.

Ответ: Углы, косинус которых равен $\frac{3}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна в первой и одна в четвертой четверти.

2) $a = \frac{2}{3}$

На оси Ox отмечаем точку с абсциссой $x = \frac{2}{3}$ и проводим через нее вертикальную прямую $x = \frac{2}{3}$. Эта прямая пересекает окружность в первой и четвертой четвертях. Ординаты точек пересечения равны $y = \pm\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ и $P_2(\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$. Соответствующие углы, которые нужно отметить на чертеже: $\alpha_1 = \arccos(\frac{2}{3})$ (в первой четверти) и $\alpha_2 = -\arccos(\frac{2}{3})$ (в четвертой четверти).

Ответ: Углы, косинус которых равен $\frac{2}{3}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна в первой и одна в четвертой четверти.

3) $a = -\frac{1}{4}$

На оси Ox отмечаем точку с отрицательной координатой $x = -\frac{1}{4}$ и проводим прямую $x = -\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность во второй и третьей четвертях. Найдем ординаты точек пересечения: $y = \pm\sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$. Точки пересечения: $P_1(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4})$ и $P_2(-\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$. На чертеже отмечаем углы: $\alpha_1 = \arccos(-\frac{1}{4})$, который находится во второй четверти, и $\alpha_2 = -\arccos(-\frac{1}{4})$, который находится в третьей четверти.

Ответ: Углы, косинус которых равен $-\frac{1}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна во второй и одна в третьей четверти.

4) $a = -\frac{3}{4}$

На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = -\frac{3}{4}$ и проводим вертикальную прямую $x = -\frac{3}{4}$. Прямая пересекает окружность во второй и третьей четвертях. Ординаты точек пересечения: $y = \pm\sqrt{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$. Точки пересечения: $P_1(-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$. Углы, которые нужно отметить на чертеже: $\alpha_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ (во второй четверти) и $\alpha_2 = -\arccos(-\frac{3}{4})$ (в третьей четверти).

Ответ: Углы, косинус которых равен $-\frac{3}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна во второй и одна в третьей четверти.

12.14. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $\cos 1.9$, $\cos (-0.3)$, $\cos 1.3$;

2) $\cos \frac{25\pi}{9}$, $\cos \frac{-5\pi}{9}$, $\cos \frac{4\pi}{9}$.

12.15. Постройте

1) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $cos(1.9)$, $cos(-0.3)$, $cos(1.3)$, сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Таким образом, $cos(-0.3) = cos(0.3)$.

Теперь задача сводится к сравнению значений $cos(1.9)$, $cos(0.3)$ и $cos(1.3)$. Аргументы функции косинус даны в радианах.

Рассмотрим поведение функции $y=cos(x)$ на единичной окружности. Функция косинус является убывающей на промежутке $[0, \pi]$. Оценим значения аргументов: $0.3$, $1.3$, $1.9$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем $\pi/2 \approx 1.57$.

Все три аргумента $0.3$, $1.3$ и $1.9$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Расположим их в порядке возрастания: $0.3 < 1.3 < 1.9$.

Поскольку на промежутке $[0, \pi]$ функция $cos(x)$ убывает, для наших аргументов будет выполняться обратное неравенство: $cos(0.3) > cos(1.3) > cos(1.9)$.

Также можно проанализировать знаки косинусов. Углы $0.3$ и $1.3$ радиана находятся в первой четверти ($0 < 0.3 < 1.3 < \pi/2$), поэтому их косинусы положительны. Угол $1.9$ радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 1.9 < \pi$), поэтому его косинус отрицателен. Следовательно, $cos(1.9)$ является наименьшим значением. Среди положительных значений, так как $0.3 < 1.3$ и косинус убывает в первой четверти, имеем $cos(0.3) > cos(1.3)$.

Таким образом, порядок возрастания значений следующий: $cos(1.9)$, $cos(1.3)$, $cos(0.3)$.

Заменив $cos(0.3)$ на исходное выражение $cos(-0.3)$, получим окончательный ответ.

Ответ: $cos(1.9), cos(1.3), cos(-0.3)$.

2) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $cos(\frac{25\pi}{9})$, $cos(-\frac{5\pi}{9})$, $cos(\frac{4\pi}{9})$, мы сначала упростим аргументы, используя свойства функции косинус.

1. Периодичность косинуса: $cos(x + 2k\pi) = cos(x)$ для любого целого $k$.

Аргумент $\frac{25\pi}{9}$ можно представить как $\frac{25\pi}{9} = \frac{18\pi + 7\pi}{9} = 2\pi + \frac{7\pi}{9}$.

Следовательно, $cos(\frac{25\pi}{9}) = cos(2\pi + \frac{7\pi}{9}) = cos(\frac{7\pi}{9})$.

2. Четность косинуса: $cos(-x) = cos(x)$.

Следовательно, $cos(-\frac{5\pi}{9}) = cos(\frac{5\pi}{9})$.

3. Третье выражение $cos(\frac{4\pi}{9})$ уже представлено в удобном виде.

Теперь наша задача — сравнить значения $cos(\frac{7\pi}{9})$, $cos(\frac{5\pi}{9})$ и $cos(\frac{4\pi}{9})$.

Аргументы $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$ и $\frac{7\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$ (поскольку $\pi = \frac{9\pi}{9}$), на котором функция $y=cos(x)$ является убывающей.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $\frac{4\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9}$.

Из-за убывания функции косинус на этом промежутке, значения функции будут расположены в обратном порядке: $cos(\frac{4\pi}{9}) > cos(\frac{5\pi}{9}) > cos(\frac{7\pi}{9})$.

Следовательно, в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему) значения располагаются так: $cos(\frac{7\pi}{9})$, $cos(\frac{5\pi}{9})$, $cos(\frac{4\pi}{9})$.

Подставляя обратно исходные выражения, получаем итоговый порядок.

Ответ: $cos(\frac{25\pi}{9}), cos(-\frac{5\pi}{9}), cos(\frac{4\pi}{9})$.

12.15. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

2) $y = 2 + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

3) $y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

1) $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

Для построения графика данной функции, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=\cos(x)$. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начинаем с графика функции $y=\cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой $A=1$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$. Это преобразование является сдвигом (параллельным переносом) по оси абсцисс (Ox). Так как из аргумента вычитается положительное число $\frac{\pi}{4}$, график сдвигается вправо на $\frac{\pi}{4}$. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=\cos(x)$ переходит в точку $(x+\frac{\pi}{4}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -1)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$, $(\frac{9\pi}{4}, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ в искомый график $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$. Это преобразование является растяжением вдоль оси ординат (Oy) от оси Ox с коэффициентом 2. Амплитуда функции увеличивается в 2 раза. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x, 2y)$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$, $(\frac{9\pi}{4}, 2)$. Период и фазовый сдвиг при этом не меняются.

Итоговые свойства функции $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$:

• Период: $T=2\pi$

• Амплитуда: $A=2$

• Область значений: $E(y)=[-2, 2]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{4}$ вправо

Ответ: График функции $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$ и последующего растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.

2) $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Построение этого графика также основано на преобразованиях графика функции $y=\cos(x)$. Функцию можно записать в виде $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2$.

1. Начинаем с графика базовой функции $y=\cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой $A=1$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Это сдвиг по оси Ox. Так как к аргументу прибавляется положительное число $\frac{\pi}{4}$ (что эквивалентно $x-(-\frac{\pi}{4})$), график сдвигается влево на $\frac{\pi}{4}$. Каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x-\frac{\pi}{4}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(-\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$, $(\frac{5\pi}{4}, 0)$, $(\frac{7\pi}{4}, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ в искомый график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2$. Это преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси ординат (Oy) вверх на 2 единицы. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x, y+2)$. Ключевые точки теперь: $(-\frac{\pi}{4}, 3)$, $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\frac{5\pi}{4}, 2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 3)$.

Итоговые свойства функции $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$:

• Период: $T=2\pi$

• Амплитуда: $A=1$

• Область значений: $E(y)=[-1+2, 1+2]=[1, 3]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{4}$ влево

• Вертикальный сдвиг: на 2 вверх

Ответ: График функции $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{4}$ и последующего сдвига вверх на 2 единицы.

3) $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$

Для корректного определения сдвига, преобразуем выражение в скобках, вынеся коэффициент 2: $y=\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Построение основано на преобразованиях графика $y=\cos(x)$.

1. Начинаем с графика базовой функции $y=\cos(x)$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos(2x)$. Это преобразование является сжатием графика к оси Oy в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза: $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=\cos(x)$ переходит в точку $(\frac{x}{2}, y)$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos(2x)$ в искомый график $y=\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Это сдвиг по оси Ox. График функции $y=\cos(2x)$ сдвигается вправо на $\frac{\pi}{6}$. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x+\frac{\pi}{6}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{5\pi}{12}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, -1)$, $(\frac{11\pi}{12}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, 1)$.

Итоговые свойства функции $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$:

• Период: $T=\pi$

• Амплитуда: $A=1$

• Область значений: $E(y)=[-1, 1]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{6}$ вправо

Ответ: График функции $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза (что уменьшает период до $\pi$) и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$.

1. По какому признаку можно установить, является функция возрастающей или убывающей?

2. Для каких функций всегда можно найти промежутки их возрастания и убывания?

1. По какому признаку можно установить, является функция возрастающей или убывающей?

Основным признаком для определения характера монотонности (возрастания или убывания) функции является знак её первой производной. Этот метод применим для функций, которые являются дифференцируемыми на рассматриваемом промежутке.

Сформулируем теорему (достаточное условие возрастания/убывания функции):

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$.

• Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

• Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

• Если производная $f'(x) = 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале.

Геометрически это означает, что если касательная к графику функции в каждой точке интервала образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс (тангенс угла наклона, равный производной, положителен), то функция возрастает. Если же угол тупой (тангенс отрицателен) — функция убывает.

Например, для функции $f(x) = x^3 - 3x$ найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

• $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, значит, на этих интервалах функция возрастает.

• $f'(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$, значит, на этом интервале функция убывает.

Стоит отметить, что это именно признак, основанный на математическом анализе. Фундаментальным же является само определение: функция $f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Производная же является мощным инструментом для проверки этого условия.

Ответ: Установить, является ли функция возрастающей или убывающей на некотором интервале, можно по знаку её первой производной на этом интервале: если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

2. Для каких функций всегда можно найти промежутки их возрастания и убывания?

Промежутки возрастания и убывания всегда можно найти для дифференцируемых функций, то есть для функций, у которых существует производная на всей их области определения или на отдельных интервалах этой области.

К таким функциям относится большинство элементарных функций, изучаемых в школьном курсе и в высшей математике: многочлены, рациональные функции (дроби, где в числителе и знаменателе многочлены), степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также их комбинации (сумма, произведение, частное, композиция).

Для таких функций существует стандартный алгоритм нахождения промежутков монотонности:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки функции, то есть точки из области определения, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$) или не существует.

4. Отметить критические точки на числовой прямой. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы.

5. Определить знак производной $f'(x)$ на каждом из полученных интервалов, подставив в производную любое значение из этого интервала.

6. Сделать вывод о монотонности функции на каждом интервале на основании знака производной.

Этот алгоритм является универсальным и позволяет систематически находить промежутки монотонности для любого дифференцируемого выражения. Даже если функция не является дифференцируемой в отдельных точках (например, функция $f(x) = |x|$ недифференцируема в точке $x=0$), этот метод всё равно позволяет исследовать её на промежутках, где производная существует.

Ответ: Промежутки возрастания и убывания всегда можно найти для функций, дифференцируемых на своей области определения, с помощью стандартного алгоритма исследования знака первой производной.

47.1. На рисунке 47.1 изображен график функции $y = f(x)$.

По графику найдите промежутки, в которых производная функции:

1) положительная;

2) отрицательная.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции $y = f(x)$ в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то функция возрастает (касательная направлена вверх). Если производная отрицательна, то функция убывает (касательная направлена вниз). Таким образом, нам нужно найти промежутки возрастания и убывания функции по ее графику.

График а)

На этом графике изображена гладкая функция. Точки, в которых производная меняет свой знак, являются точками экстремумов. Из графика видно, что в точке $x = a_4$ находится локальный максимум, а в точке $x = a_6$ — локальный минимум. В этих точках производная функции равна нулю, $f'(a_4) = 0$ и $f'(a_6) = 0$.

1) положительная

Производная $f'(x) > 0$ на тех промежутках, где функция $f(x)$ возрастает. По графику видим, что функция возрастает на промежутке до точки максимума $x=a_4$ и на промежутке после точки минимума $x=a_6$.

Ответ: $x \in (-\infty; a_4) \cup (a_6; +\infty)$.

2) отрицательная

Производная $f'(x) < 0$ на тех промежутках, где функция $f(x)$ убывает. По графику видим, что функция убывает на промежутке между точкой максимума $x=a_4$ и точкой минимума $x=a_6$.

Ответ: $x \in (a_4; a_6)$.

График б)

На этом графике изображена кусочно-линейная функция, которая имеет точки излома и точки разрыва. В точках излома ($a_3, a_4, a_5, a_6$) и в точках разрыва ($a_2, a_7$) производная не существует. Эти точки являются границами промежутков, на которых производная сохраняет свой знак.

1) положительная

Производная $f'(x) > 0$ на промежутках возрастания функции $f(x)$. Из графика видно, что функция возрастает на следующих интервалах: до точки $a_2$, от $a_3$ до $a_4$, от $a_5$ до $a_6$ и после точки $a_7$.

Ответ: $x \in (-\infty; a_2) \cup (a_3; a_4) \cup (a_5; a_6) \cup (a_7; +\infty)$.

2) отрицательная

Производная $f'(x) < 0$ на промежутках убывания функции $f(x)$. Из графика видно, что функция убывает на следующих интервалах: от $a_2$ до $a_3$, от $a_4$ до $a_5$ и от $a_6$ до $a_7$.

Ответ: $x \in (a_2; a_3) \cup (a_4; a_5) \cup (a_6; a_7)$.

47.2. На рисунке 47.2 изображен график функции $y = f'(x)$. С помощью графика найдите промежутки: 1) возрастания; 2) убывания; 3) знакопостоянства.

б)

Рис. 47.2

Для решения задачи воспользуемся свойством производной: если на некотором промежутке производная функции $f'(x)$ положительна, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если производная $f'(x)$ отрицательна, то функция $f(x)$ убывает. Промежутки знакопостоянства функции $y=f'(x)$ — это промежутки, на которых она сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

Проанализируем каждый график отдельно.

График а)

На рисунке 47.2 а) изображен график производной $y=f'(x)$.

1. Найдем нули производной, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс: $x=b_1, x=b_3, x=b_4, x=b_6$. В этих точках $f'(x)=0$.

2. Определим знаки производной на интервалах между нулями:

• $f'(x) > 0$ (график выше оси Ох) на интервалах $(b_1, b_3)$ и $(b_4, b_6)$.
• $f'(x) < 0$ (график ниже оси Ох) на интервалах $(-\infty, b_1)$, $(b_3, b_4)$ и $(b_6, +\infty)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) возрастания

Функция $f(x)$ возрастает, когда $f'(x) \ge 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $[b_1, b_3]$ и $[b_4, b_6]$.

Ответ: промежутки возрастания функции $f(x)$: $[b_1, b_3]$ и $[b_4, b_6]$.

2) убывания

Функция $f(x)$ убывает, когда $f'(x) \le 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $(-\infty, b_1]$, $[b_3, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

Ответ: промежутки убывания функции $f(x)$: $(-\infty, b_1]$, $[b_3, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

3) знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства для функции $y=f'(x)$ определяются по ее расположению относительно оси Ох.

Функция $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$) на интервалах, где ее график находится выше оси абсцисс.

Функция $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$) на интервалах, где ее график находится ниже оси абсцисс.

Ответ: $f'(x)>0$ при $x \in (b_1, b_3) \cup (b_4, b_6)$; $f'(x)<0$ при $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_3, b_4) \cup (b_6, +\infty)$.

График б)

На рисунке 47.2 б) изображен график производной $y=f'(x)$.

1. Найдем нули производной, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс: $x=b_1, x=b_4, x=b_6$. В этих точках $f'(x)=0$.

2. Определим знаки производной на интервалах между нулями:

• $f'(x) > 0$ (график выше оси Ох) на интервалах $(-\infty, b_1)$ и $(b_4, b_6)$.
• $f'(x) < 0$ (график ниже оси Ох) на интервалах $(b_1, b_4)$ и $(b_6, +\infty)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) возрастания

Функция $f(x)$ возрастает, когда $f'(x) \ge 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $(-\infty, b_1]$ и $[b_4, b_6]$.

Ответ: промежутки возрастания функции $f(x)$: $(-\infty, b_1]$ и $[b_4, b_6]$.

2) убывания

Функция $f(x)$ убывает, когда $f'(x) \le 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $[b_1, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$. Отметим, что на отрезке $[b_2, b_3]$ производная постоянна и отрицательна, поэтому на этом отрезке функция $f(x)$ убывает линейно, и он является частью общего промежутка убывания $[b_1, b_4]$.

Ответ: промежутки убывания функции $f(x)$: $[b_1, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

3) знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства для функции $y=f'(x)$ определяются по ее расположению относительно оси Ох.

Функция $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$) на интервалах, где ее график находится выше оси абсцисс.

Функция $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$) на интервалах, где ее график находится ниже оси абсцисс.

Ответ: $f'(x)>0$ при $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_4, b_6)$; $f'(x)<0$ при $x \in (b_1, b_4) \cup (b_6, +\infty)$.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

(47.3 - 47.5):

47.3. 1) $f(x) = 7x + 1$; 2) $f(x) = 3 + 8x$;

3) $f(x) = -2x - 13$; 4) $f(x) = 10 - 4x$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции используется ее производная. Если производная $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает. Все представленные функции являются линейными вида $f(x) = kx + b$, их производная постоянна и равна угловому коэффициенту $k$.

1) Дана функция $f(x) = 7x + 1$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 7$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (7x + 1)' = 7$.

Так как производная $f'(x) = 7$ положительна для всех $x$ ($7 > 0$), функция возрастает на всей своей области определения, то есть на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) Дана функция $f(x) = 3 + 8x$.

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 8x + 3$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 8$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (8x + 3)' = 8$.

Поскольку производная $f'(x) = 8$ положительна для всех $x$ ($8 > 0$), функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) Дана функция $f(x) = -2x - 13$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (-2x - 13)' = -2$.

Так как производная $f'(x) = -2$ отрицательна для всех $x$ ($-2 < 0$), функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

4) Дана функция $f(x) = 10 - 4x$.

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -4x + 10$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -4$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (-4x + 10)' = -4$.

Поскольку производная $f'(x) = -4$ отрицательна для всех $x$ ($-4 < 0$), функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.