Страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(\pi; -1)$, если известно, что она получена в результате:

1) растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза;

2) сжатия графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $y = \cos 2x$ и $y = \cos x$, если они заданы на всей области их определения (используйте рисунки 12.4 и 12.5).

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\pi; -1)$. Проверим, что она принадлежит графику функции $y = \cos x$. Подставим координаты точки в уравнение функции: $-1 = \cos(\pi)$. Это верное равенство.

При преобразованиях растяжения или сжатия графика вдоль оси $Oy$ (вертикальной оси), абсцисса (координата $x$) точки не изменяется, а изменяется только ее ордината (координата $y$).

1) растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 4 раза

При растяжении графика функции вдоль оси $Oy$ в $k$ раз ($k>1$), новая функция имеет вид $y_1 = k \cdot \cos x$. Ордината каждой точки графика умножается на коэффициент растяжения $k$. В данном случае $k=4$.

Новая точка $F_1$ будет иметь координаты:

$x_1 = \pi$ (абсцисса не меняется)

$y_1 = -1 \cdot 4 = -4$

Таким образом, координаты точки $F_1$ равны $(\pi; -4)$.

Ответ: $(\pi; -4)$.

2) сжатия графика функции $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 3 раза

При сжатии графика функции вдоль оси $Oy$ в $m$ раз ($m>1$), новая функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{m} \cos x$. Ордината каждой точки графика делится на коэффициент сжатия $m$ (или умножается на $\frac{1}{m}$). В данном случае $m=3$.

Новая точка $F_1$ будет иметь координаты:

$x_1 = \pi$ (абсцисса не меняется)

$y_1 = -1 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, координаты точки $F_1$ равны $(\pi; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(\pi; -\frac{1}{3})$.

2. Для сравнения периодов функций $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$, $y = \cos(2x)$ и $y = \cos x$ найдем основной период каждой из них. Основной период функции, заданной формулой вида $y = A\cos(k(x-b))+C$, вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ - основной период базовой функции. Для функции $y = \cos x$ основной период $T_0 = 2\pi$.

1. Для функции $y = \cos x$.

Это базовая функция. Коэффициент при $x$ равен $k=1$. Ее основной период равен $T_1 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

2. Для функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$.

Эта функция получена из $y = \cos x$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо. Такой сдвиг (изменение фазы) не изменяет период функции. Коэффициент при $x$ здесь также $k=1$.

Следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

3. Для функции $y = \cos(2x)$.

Эта функция получена из $y = \cos x$ сжатием вдоль оси $Ox$ в 2 раза. Коэффициент при $x$ здесь $k=2$.

Ее период $T_3 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Сравнивая полученные периоды, мы видим, что периоды функций $y = \cos x$ и $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ равны ($2\pi$), а период функции $y = \cos(2x)$ ($\pi$) в два раза меньше.

Ответ: Периоды функций $y = \cos x$ и $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ равны $2\pi$. Период функции $y = \cos(2x)$ равен $\pi$. Периоды первых двух функций равны между собой и в два раза больше периода третьей функции.

12.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 + \cos^2x;$

2) $f(x) = x^4\cos x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\cos^2x;$

4) $f(x) = x\sin^3x + \cos x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos2x;$

6) $f(x) = \cos x - \frac{\sin3x}{x^5 - 9x}.$

Для доказательства того, что функция $y = f(x)$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Воспользуемся свойствами четных и нечетных функций:

• $(-x)^{2n} = x^{2n}$ (четная степень)
• $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$ (нечетная степень)
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция)
• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция)

1) $f(x) = x^2 + \cos^2x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \cos^2(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, то $\cos^2(-x) = (\cos(-x))^2 = (\cos x)^2 = \cos^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^2 + \cos^2x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: можно заметить, что $x^2$ — четная функция, $\cos x$ — четная функция, значит и $\cos^2x$ — четная. Сумма двух четных функций ($x^2$ и $\cos^2x$) также является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

2) $f(x) = x^4\cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4\cos(-x)$

Так как $(-x)^4 = x^4$ (четная степень) и $\cos(-x) = \cos x$ (четная функция), получаем:

$f(-x) = x^4\cos x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является произведением двух четных функций ($x^4$ и $\cos x$), а такое произведение всегда является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

3) $f(x) = (2 - x^2)\cos^2x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\cos^2(-x)$

Используем свойства: $(-x)^2 = x^2$ и $\cos^2(-x) = \cos^2x$.

$f(-x) = (2 - x^2)\cos^2x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является произведением двух четных функций. Первый множитель $g(x) = 2 - x^2$ является четным, так как $g(-x) = 2 - (-x)^2 = 2 - x^2 = g(x)$. Второй множитель $h(x) = \cos^2x$ также является четным. Произведение двух четных функций есть функция четная.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

4) $f(x) = x\sin^3x + \cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\sin^3(-x) + \cos(-x)$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, то $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$. Также $\cos(-x) = \cos x$.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)(-\sin^3x) + \cos x = x\sin^3x + \cos x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является суммой двух функций $g(x) = x\sin^3x$ и $h(x) = \cos x$. Функция $h(x)$ четная. Функция $g(x)$ является произведением двух нечетных функций ($x$ и $\sin^3x$), а такое произведение является четной функцией. Сумма двух четных функций есть функция четная.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos(2x)$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \implies x(x^2 - 4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq \pm 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} + \cos(2(-x))$

Рассмотрим дробь: числитель $\sin(-x) = -\sin x$; знаменатель $(-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$.

$\frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-\sin x}{-(x^3 - 4x)} = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $\cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x)$.

Таким образом, $f(-x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos(2x) = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является суммой двух четных функций. Первая функция $g(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$ является частным двух нечетных функций ($\sin x$ и $x^3-4x$), следовательно, она четная. Вторая функция $h(x) = \cos(2x)$ является четной. Сумма двух четных функций четна.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

6) $f(x) = \cos x - \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^5 - 9x \neq 0 \implies x(x^4 - 9) \neq 0 \implies x(x^2 - 3)(x^2 + 3) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq \pm \sqrt{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \cos(-x) - \frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)}$

Первое слагаемое: $\cos(-x) = \cos x$.

Рассмотрим дробь: числитель $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$; знаменатель $(-x)^5 - 9(-x) = -x^5 + 9x = -(x^5 - 9x)$.

$\frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} = \frac{-\sin(3x)}{-(x^5 - 9x)} = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$.

Таким образом, $f(-x) = \cos x - \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x} = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является разностью двух четных функций. Первая функция $g(x) = \cos x$ четная. Вторая функция $h(x) = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$ является частным двух нечетных функций ($\sin(3x)$ и $x^5-9x$), следовательно, она четная. Разность двух четных функций является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

12.2. Докажите, что не является ни четной, ни нечетной (говорят, является функцией общего вида) функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^3 + \cos x$;

2) $f(x) = x^5 - \cos^2 x$;

3) $f(x) = (2 - x)\cos^3 x$.

Для доказательства того, что функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), необходимо показать, что для нее не выполняются условия ни четности ($f(-x) = f(x)$), ни нечетности ($f(-x) = -f(x)$) для всех $x$ из области определения.

1) $f(x) = x^3 + \cos x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x$. (Так как $y=x^3$ — нечетная, а $y=\cos x$ — четная).

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$-x^3 + \cos x = x^3 + \cos x$.

$-x^3 = x^3 \Rightarrow 2x^3 = 0 \Rightarrow x=0$.

Это равенство выполняется только для $x=0$, а не для всех $x$ из области определения. Например, при $x=1$:$f(1) = 1^3 + \cos 1 = 1 + \cos 1$.$f(-1) = -1^3 + \cos 1 = -1 + \cos 1$.Так как $f(-1) \neq f(1)$, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$-x^3 + \cos x = -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$.

$\cos x = -\cos x \Rightarrow 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.

Это равенство выполняется не для всех $x$ из области определения. Например, при $x=1$, $\cos 1 \neq 0$.$f(-1) = -1 + \cos 1$.$-f(1) = -(1 + \cos 1) = -1 - \cos 1$.Так как $f(-1) \neq -f(1)$, функция не является нечетной.

Следовательно, данная функция является функцией общего вида.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

2) $f(x) = x^5 - \cos^2 x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 - \cos^2(-x) = -x^5 - (\cos(-x))^2 = -x^5 - (\cos x)^2 = -x^5 - \cos^2 x$. (Так как $y=x^5$ — нечетная, а $y=\cos^2 x$ — четная).

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$-x^5 - \cos^2 x = x^5 - \cos^2 x$.

$-x^5 = x^5 \Rightarrow 2x^5 = 0 \Rightarrow x=0$.

Равенство выполняется только при $x=0$. Следовательно, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$-x^5 - \cos^2 x = -(x^5 - \cos^2 x) = -x^5 + \cos^2 x$.

$-\cos^2 x = \cos^2 x \Rightarrow 2\cos^2 x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.

Равенство выполняется не для всех $x$. Следовательно, функция не является нечетной.

Можно также привести контрпример, например, для $x=\pi$:

$f(\pi) = \pi^5 - \cos^2 \pi = \pi^5 - (-1)^2 = \pi^5 - 1$.

$f(-\pi) = -(-\pi)^5 - \cos^2(-\pi) = -\pi^5 - (-1)^2 = -\pi^5 - 1$.

$-f(\pi) = -(\pi^5 - 1) = -\pi^5 + 1$.

Поскольку $f(-\pi) \neq f(\pi)$ и $f(-\pi) \neq -f(\pi)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) $f(x) = (2 - x)\cos^3 x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (2 - (-x))\cos^3(-x) = (2 + x)(\cos(-x))^3 = (2 + x)(\cos x)^3 = (2 + x)\cos^3 x$.

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$(2 + x)\cos^3 x = (2 - x)\cos^3 x$.

Это равенство выполняется, если $\cos^3 x = 0$ или если $2 + x = 2 - x$, что дает $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$(2 + x)\cos^3 x = -(2 - x)\cos^3 x = (x - 2)\cos^3 x$.

Это равенство выполняется, если $\cos^3 x = 0$ или если $2 + x = x - 2$, что дает $2 = -2$ (неверно). Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является нечетной.

Для наглядности приведем контрпример, например, для $x=\pi$:

$f(\pi) = (2 - \pi)\cos^3 \pi = (2 - \pi)(-1)^3 = \pi - 2$.

$f(-\pi) = (2 + \pi)\cos^3(-\pi) = (2 + \pi)(-1)^3 = -2 - \pi$.

$-f(\pi) = -(\pi - 2) = 2 - \pi$.

Так как $f(-\pi) \neq f(\pi)$ и $f(-\pi) \neq -f(\pi)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

12.3. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3\cos x;$

2) $f(x) = x^5\cos^2 x;$

3) $f(x) = x\cos^3 x + x;$

4) $f(x) = \cos x \cdot \sin 3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4};$

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{\cos^2 x - 9}.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую из заданных функций на соответствие этому определению.

1) $f(x) = x^3\cos x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $x^3$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 \cos(-x)$

Используем свойства степенной функции с нечетным показателем $((-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$) и четности функции косинус ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = (-x^3)(\cos x) = -x^3\cos x$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\cos^2 x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \cos^2(-x)$

Так как степень 5 нечетная, $(-x)^5 = -x^5$. Функция $\cos^2 x = (\cos x)^2$ является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$, и значит $\cos^2(-x) = (\cos(-x))^2 = (\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$f(-x) = (-x^5)(\cos^2 x) = -x^5\cos^2 x$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

3) $f(x) = x\cos^3 x + x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\cos^3(-x) + (-x)$

Функция $\cos^3 x$ является четной, так как $\cos^3(-x) = (\cos(-x))^3 = (\cos x)^3 = \cos^3 x$.

$f(-x) = -x\cos^3 x - x = -(x\cos^3 x + x)$

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной (как сумма двух нечетных функций $g(x) = x\cos^3 x$ и $h(x) = x$).

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

4) $f(x) = \cos x \cdot \sin(3x)$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \cos(-x) \cdot \sin(3(-x))$

Используем четность косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетность синуса ($\sin(-u) = -\sin u$):

$f(-x) = \cos x \cdot \sin(-3x) = \cos x \cdot (-\sin(3x)) = -\cos x \sin(3x)$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной (как произведение четной функции $\cos x$ и нечетной функции $\sin(3x)$).

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^4 - 4 \ne 0 \implies x^4 \ne 4 \implies x \ne \pm\sqrt{2}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x) \cos(-x)}{(-x)^4 - 4}$

Преобразуем числитель: $\sin(-x) \cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -\sin x \cos x$.

Преобразуем знаменатель: $(-x)^4 - 4 = x^4 - 4$.

$f(-x) = \frac{-\sin x \cos x}{x^4 - 4} = - \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4}$

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9}$

Найдем область определения. Знаменатель $\cos(x^2) - 9 \ne 0$. Так как $-1 \le \cos(x^2) \le 1$, то $\cos(x^2)$ никогда не равно 9. Знаменатель не равен нулю ни при каких $x$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(6(-x))}{\cos((-x)^2) - 9}$

Преобразуем числитель: $\sin(6(-x)) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$.

Преобразуем знаменатель: $\cos((-x)^2) - 9 = \cos(x^2) - 9$.

$f(-x) = \frac{-\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9} = - \frac{\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9}$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

12.4. Докажите, что функция $y = \cos 2x$ является возрастающей на множестве:

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \pi k]$, $k \in \mathbb{Z};$

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \pi + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном множестве, воспользуемся производной. Функция возрастает на тех промежутках, где её производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).

Найдем производную функции $y = \cos(2x)$:

$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$

Теперь найдем промежутки, на которых $y' \ge 0$:

$-2\sin(2x) \ge 0$

Разделив обе части неравенства на $-2$ и изменив знак на противоположный, получим:

$\sin(2x) \le 0$

Пусть $t = 2x$. Неравенство примет вид $\sin(t) \le 0$. Решением этого неравенства является множество промежутков $t \in [-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in Z$.

Итак, $-\pi + 2\pi n \le t \le 2\pi n$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$:

$-\pi + 2\pi n \le 2x \le 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n \le x \le \pi n$

Таким образом, функция $y = \cos(2x)$ возрастает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$, где $n \in Z$. Далее докажем, что множества из условия задачи являются подмножествами этих промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$, $k \in Z$

Необходимо доказать, что функция $y = \cos(2x)$ возрастает на множестве $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$ для любого целого $k$. Для этого покажем, что данный промежуток является подмножеством одного из найденных промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.

Выберем $n=k$. Соответствующий промежуток возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Сравним заданный промежуток $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$ с промежутком возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Правые концы промежутков совпадают: $\pi k = \pi k$.

Сравним левые концы: так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$, то и $-\frac{\pi}{2} + \pi k < -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Следовательно, $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k] \subseteq [-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Поскольку функция возрастает на всём промежутке $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$, она возрастает и на любой его части, включая $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$. Это верно для любого $k \in Z$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$, $k \in Z$

Необходимо доказать, что функция $y = \cos(2x)$ возрастает на множестве $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$ для любого целого $k$. Для этого покажем, что данный промежуток является подмножеством одного из найденных промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.

Найдем такое целое $n$, чтобы выполнялось вложение: $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k] \subseteq [-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$. Это равносильно системе двух неравенств:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$ и $\pi + \pi k \le \pi n$.

Рассмотрим второе неравенство: $\pi + \pi k \le \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $1 + k \le n$.

Так как $n$ — целое число, выберем наименьшее возможное значение: $n = k+1$.

Подставим $n = k+1$ в формулу для промежутка возрастания:

$[-\frac{\pi}{2} + \pi(k+1), \pi(k+1)] = [-\frac{\pi}{2} + \pi + \pi k, \pi + \pi k] = [\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Теперь проверим, что заданный промежуток $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$ является подмножеством полученного промежутка возрастания $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Правые концы промежутков совпадают: $\pi + \pi k = \pi + \pi k$.

Сравним левые концы: так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$, то $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$, а значит $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Отсюда $\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Следовательно, $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k] \subseteq [\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Поскольку функция возрастает на всём промежутке $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$ (который является промежутком возрастания при $n=k+1$), она возрастает и на любой его части, включая $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$. Это верно для любого $k \in Z$.

Ответ: Утверждение доказано.

12.5. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\cos2x;$

2) $y = \cos4x \cos x + \sin x \sin4x;$

3) $y = \frac{2}{3}\cos2x + 1;$

4) $y = 2 - \cos4x;$

5) $y = \cos4x \cos3x - \sin3x \sin4x;$

6) $y = \sin x - \cos3x.$

1) Дана функция $y = 2\cos(2x)$. Наименьший положительный период функции $f(x) = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k=2$. Следовательно, период $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) Упростим данную функцию, используя формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае, $y = \cos(4x)\cos(x) + \sin(x)\sin(4x) = \cos(4x - x) = \cos(3x)$. Это функция вида $y = \cos(kx)$ с $k=3$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Период данной функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Дана функция $y = \frac{2}{3}\cos(2x) + 1$. Это функция вида $y = A\cos(kx)+C$. Сдвиг по оси ординат на 1 и умножение на коэффициент $\frac{2}{3}$ не влияют на период. Период определяется частью $\cos(2x)$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для нашей функции с $k=2$ период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) Дана функция $y = 2 - \cos(4x)$. Это функция вида $y = C + A\cos(kx)$. Константа 2 и коэффициент -1 перед косинусом не влияют на период. Период определяется частью $\cos(4x)$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для нашей функции с $k=4$ период равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5) Упростим данную функцию, используя формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае, $y = \cos(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\sin(4x) = \cos(4x + 3x) = \cos(7x)$. Это функция вида $y = \cos(kx)$ с $k=7$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Период данной функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{7}$.

6) Дана функция $y = \sin(x) - \cos(3x)$, которая является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \sin(x)$ и $f_2(x) = -\cos(3x)$. Найдем наименьшие положительные периоды для каждой из них. Для $f_1(x) = \sin(x)$, период $T_1 = 2\pi$. Для $f_2(x) = -\cos(3x)$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$. Наименьший положительный период исходной функции равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \frac{2\pi}{3})$. Чтобы найти НОК, найдем наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$. Из равенства $n_1(2\pi) = n_2(\frac{2\pi}{3})$ получаем $n_1 = \frac{n_2}{3}$. Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2 = 3$ и $n_1 = 1$. Тогда наименьший период $T = 1 \cdot T_1 = 2\pi$ (проверка: $T = 3 \cdot T_2 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$).

Ответ: $2\pi$.

12.6. Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

1) $y = \cos 3x$;

2) $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 2x \sin 3x$;

3) $y = \cos \frac{1}{3}x + 1$.

1) Для функции $y = \cos(3x)$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

Стандартный наименьший положительный период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В нашем случае коэффициент $k = 3$.

Таким образом, период функции $y = \cos(3x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(3x)$ получается из графика стандартной функции $y = \cos(x)$ путем его сжатия вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 3 раза. Амплитуда функции остается равной 1, а область значений функции: $[-1, 1]$.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, \frac{2\pi}{3}]$:

- Начало периода (максимум): при $x=0$, $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

- Четверть периода (пересечение с осью $Ox$): при $x = \frac{\pi}{6}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

- Половина периода (минимум): при $x = \frac{\pi}{3}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(\pi) = -1$. Точка $(\frac{\pi}{3}, -1)$.

- Три четверти периода (пересечение с осью $Ox$): при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

- Конец периода (максимум): при $x = \frac{2\pi}{3}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(2\pi) = 1$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Соединив эти точки плавной кривой (косинусоидой), получим график функции на одном периоде. Далее график периодически повторяется с периодом $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$. График представляет собой косинусоиду, сжатую в 3 раза вдоль оси $Ox$.

2) Для функции $y = \cos(3x)\cos(2x) + \sin(2x)\sin(3x)$.

Упрощение выражения:

Для упрощения данной функции воспользуемся тригонометрической формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем выражении положим $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos(3x - 2x) = \cos(x)$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

После упрощения мы получили функцию $y = \cos(x)$. Это стандартная функция косинуса, ее наименьший положительный период равен $T = 2\pi$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(x)$ является стандартной косинусоидой.

Амплитуда функции равна 1, область значений $[-1, 1]$.

Ключевые точки для одного периода $[0, 2\pi]$:

- Максимумы: $(0, 1)$ и $(2\pi, 1)$.

- Пересечения с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.

- Минимум: $(\pi, -1)$.

График представляет собой волну, которая начинается в точке $(0, 1)$, опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$ и возвращается к максимуму в точке $(2\pi, 1)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$. График является стандартной косинусоидой $y=\cos(x)$.

3) Для функции $y = \cos(\frac{1}{3}x) + 1$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

Период функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(\frac{1}{3}x) + 1$ получается из графика $y = \cos(x)$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 3 раза. Это преобразование дает функцию $y = \cos(\frac{1}{3}x)$, ее период становится $6\pi$.

2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу вдоль оси ординат (оси $Oy$).

В результате этих преобразований, средняя линия графика смещается и становится прямой $y=1$. Амплитуда остается равной 1. Таким образом, значения функции будут колебаться от $1-1=0$ до $1+1=2$. Область значений: $[0, 2]$.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, 6\pi]$:

- Начало периода (максимум): при $x=0$, $y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(0, 2)$.

- Четверть периода (пересечение со средней линией): при $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}) + 1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.

- Половина периода (минимум): при $x = 3\pi$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot 3\pi) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.

- Три четверти периода (пересечение со средней линией): при $x = \frac{9\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot \frac{9\pi}{2}) + 1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, 1)$.

- Конец периода (максимум): при $x = 6\pi$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot 6\pi) + 1 = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(6\pi, 2)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 6\pi$. График — косинусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси $Ox$ и сдвинутая на 1 единицу вверх. Область значений $[0, 2]$.

12.7. Найдите период функции:

1) $y = \cos 2x - \sin x;$

2) $y = \cos 5x \cos x + \sin x \sin 5x;$

3) $y = \frac{2}{3} \cos 4x + \sin 2x;$

4) $y = \cos^2 x - \sin^2 x;$

5) $y = \sin 4x - \cos 4x;$

6) $y = 3\sin \frac{x}{3} + 2\cos \frac{x}{3}.$

1) Данная функция $y = \cos(2x) - \sin(x)$ является разностью двух периодических функций: $f_1(x) = \cos(2x)$ и $f_2(x) = \sin(x)$.

Найдем основной период каждой из этих функций. Период функции вида $\cos(kx)$ определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = \cos(2x)$ коэффициент $k=2$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Период функции вида $\sin(kx)$ также определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f_2(x) = \sin(x)$ коэффициент $k=1$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Период суммы или разности двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем НОК($T_1, T_2$) = НОК($\pi, 2\pi$).

Наименьшее число, которое делится без остатка и на $\pi$, и на $2\pi$, это $2\pi$.

Ответ: $2\pi$

2) Для упрощения выражения $y = \cos(5x)\cos(x) + \sin(x)\sin(5x)$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = x$:

$y = \cos(5x - x) = \cos(4x)$.

Теперь найдем период полученной функции $y = \cos(4x)$. Период функции вида $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=4$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

3) Функция $y = \frac{2}{3}\cos(4x) + \sin(2x)$ является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \frac{2}{3}\cos(4x)$ и $f_2(x) = \sin(2x)$.

Найдем период каждой из них. Для $f_1(x)$, период определяется аргументом $\cos(4x)$, так как множитель $\frac{2}{3}$ влияет только на амплитуду. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Для $f_2(x) = \sin(2x)$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период исходной функции равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых: НОК($T_1, T_2$) = НОК($\frac{\pi}{2}, \pi$).

Наименьшее число, кратное $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$, это $\pi$.

Ответ: $\pi$

4) Для упрощения выражения $y = \cos^2x - \sin^2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применив эту формулу, где $\alpha=x$, получим:

$y = \cos(2x)$.

Период функции $y = \cos(2x)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$.

Следовательно, период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

5) Функция $y = \sin(4x) - \cos(4x)$ представляет собой разность двух функций, $\sin(4x)$ и $\cos(4x)$, с одинаковой угловой частотой. Период каждой из этих функций равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$. Так как периоды слагаемых равны, период их разности будет таким же.

В качестве альтернативы, можно преобразовать выражение с помощью введения вспомогательного угла:

$y = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(4x)\right) = \sqrt{2}\sin(4x - \frac{\pi}{4})$.

Период функции вида $A\sin(kx+\phi)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Здесь $k=4$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

6) Функция $y = 3\sin\frac{x}{3} + 2\cos\frac{x}{3}$ является суммой двух функций, $\sin(\frac{x}{3})$ и $\cos(\frac{x}{3})$, с одинаковым коэффициентом при $x$, равным $k = \frac{1}{3}$. Множители $3$ и $2$ влияют на амплитуду, но не на период.

Период для обеих функций $\sin(kx)$ и $\cos(kx)$ вычисляется как $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=\frac{1}{3}$, поэтому период каждой из функций равен $T = \frac{2\pi}{|1/3|} = 6\pi$.

Так как периоды слагаемых одинаковы, период их суммы также равен $6\pi$.

Ответ: $6\pi$