Страница 182, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

23.14. Решите уравнение:

1) $4 - \cos^2 x = 4 \sin x;$

2) $4 - 5 \cos x - 2 \sin^2 x = 0.$

1) $4 - \cos^2x = 4 \sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 - (1 - \sin^2x) = 4 \sin x$

$4 - 1 + \sin^2x = 4 \sin x$

$\sin^2x - 4 \sin x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Проверим корни с учетом ограничения $-1 \le t \le 1$:

$t_1 = 1$ — удовлетворяет условию.

$t_2 = 3$ — не удовлетворяет условию, так как $3 > 1$. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\sin x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 - 5 \cos x - 2 \sin^2x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Подставим это выражение в уравнение:

$4 - 5 \cos x - 2(1 - \cos^2x) = 0$

$4 - 5 \cos x - 2 + 2 \cos^2x = 0$

$2 \cos^2x - 5 \cos x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1; 1]$, имеем ограничение $-1 \le y \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Находим корни:

$y_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим корни с учетом ограничения $-1 \le y \le 1$:

$y_1 = 2$ — не удовлетворяет условию, так как $2 > 1$. Этот корень является посторонним.

$y_2 = \frac{1}{2}$ — удовлетворяет условию.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

23.15. Постройте график функции:

1) $f(x)=2 \sin 2x;$

2) $f(x)=3 \cos 0.5x;$

3) $f(x)=1-\sqrt{x+1};$

4) $f(x)=|2-\sqrt{x+2}|.$

1) f(x) = 2 sin2x;

Для построения графика функции $f(x) = 2\sin(2x)$ выполним преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. График $y = \sin(x)$ — это стандартная синусоида, которая проходит через начало координат, имеет период $T = 2\pi$ и амплитуду $A = 1$. Область значений $[-1, 1]$.

2. Следующим шагом построим график $y = \sin(2x)$. Коэффициент $k=2$ при аргументе $x$ вызывает сжатие графика по горизонтали (вдоль оси $Ox$) в 2 раза. Период функции уменьшится в 2 раза и станет равным $T_1 = \frac{T}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Наконец, построим график $y = 2\sin(2x)$. Коэффициент $A=2$ перед функцией вызывает растяжение графика по вертикали (вдоль оси $Oy$) в 2 раза. Амплитуда функции увеличится в 2 раза и станет равной $A_1 = 2 \cdot 1 = 2$. Область значений функции станет $[-2, 2]$.

Для построения найдем несколько ключевых точек на одном периоде $[0, \pi]$:

- При $x=0$, $y=2\sin(0)=0$.

- При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ (точка максимума).

- При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\pi) = 0$.

- При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=2\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = -2$ (точка минимума).

- При $x=\pi$, $y=2\sin(2\pi) = 0$.

Соединив эти точки плавной линией и продолжив ее периодически, получим искомый график.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду с амплитудой 2 и периодом $\pi$. Он получен из графика $y=\sin x$ сжатием в 2 раза по оси $Ox$ и растяжением в 2 раза по оси $Oy$.

2) f(x) = 3 cos0,5x;

Для построения графика функции $f(x) = 3\cos(0.5x)$ выполним преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. График $y = \cos(x)$ — это стандартная косинусоида, которая проходит через точку $(0, 1)$, имеет период $T = 2\pi$ и амплитуду $A = 1$. Область значений $[-1, 1]$.

2. Построим график $y = \cos(0.5x)$. Коэффициент $k=0.5$ при аргументе $x$ вызывает растяжение графика по горизонтали (вдоль оси $Ox$) в $\frac{1}{0.5} = 2$ раза. Период функции увеличится в 2 раза и станет равным $T_1 = \frac{T}{0.5} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$.

3. Построим график $y = 3\cos(0.5x)$. Коэффициент $A=3$ перед функцией вызывает растяжение графика по вертикали (вдоль оси $Oy$) в 3 раза. Амплитуда функции увеличится в 3 раза и станет равной $A_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Область значений функции станет $[-3, 3]$.

Ключевые точки на одном периоде $[0, 4\pi]$:

- При $x=0$, $y=3\cos(0)=3$ (точка максимума).

- При $x=\pi$, $y=3\cos(0.5\pi) = 0$.

- При $x=2\pi$, $y=3\cos(0.5 \cdot 2\pi) = 3\cos(\pi) = -3$ (точка минимума).

- При $x=3\pi$, $y=3\cos(0.5 \cdot 3\pi) = 0$.

- При $x=4\pi$, $y=3\cos(2\pi) = 3$ (точка максимума).

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду с амплитудой 3 и периодом $4\pi$. Он получен из графика $y=\cos x$ растяжением в 2 раза по оси $Ox$ и в 3 раза по оси $Oy$.

3) f(x) = 1 - √x + 1;

Построим график функции $f(x) = 1 - \sqrt{x+1}$ с помощью последовательных преобразований.

1. Область определения функции находится из условия $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

2. Начнем с базового графика $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной оси $Ox$, с вершиной в точке $(0,0)$.

3. Построим график $y_1 = \sqrt{x+1}$. Это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Вершина переместится в точку $(-1, 0)$.

4. Построим график $y_2 = -\sqrt{x+1}$. Он получается из графика $y_1$ симметричным отражением относительно оси $Ox$. Теперь это нижняя ветвь параболы, выходящая из точки $(-1, 0)$.

5. Окончательный график $y = 1 - \sqrt{x+1}$ получается из графика $y_2$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина (начальная точка) графика переместится в точку $(-1, 1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $y = 1 - \sqrt{0+1} = 1 - 1 = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

- Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $0 = 1 - \sqrt{x+1} \implies \sqrt{x+1}=1 \implies x+1=1 \implies x=0$. Точка пересечения также $(0, 0)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, конгруэнтная графику $y=-\sqrt{x}$, с вершиной (начальной точкой) в точке $(-1, 1)$. График проходит через начало координат и убывает на всей области определения $[-1, +\infty)$.

4) f(x) = |2 - √x + 2|;

Для построения графика функции $f(x) = |2 - \sqrt{x+2}|$ сначала построим график подмодульной функции $g(x) = 2 - \sqrt{x+2}$, а затем применим операцию взятия модуля.

1. Область определения: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

2. Построение графика $g(x) = 2 - \sqrt{x+2}$:

а) Берем базовый график $y=\sqrt{x}$.

б) Сдвигаем его на 2 единицы влево: $y_1=\sqrt{x+2}$.

в) Отражаем симметрично относительно оси $Ox$: $y_2=-\sqrt{x+2}$.

г) Сдвигаем на 2 единицы вверх: $g(x) = 2 - \sqrt{x+2}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(-2, 2)$ и направленная вправо и вниз.

3. Теперь применяем модуль: $f(x) = |g(x)| = |2 - \sqrt{x+2}|$. Это означает, что часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси $Ox$, должна быть отражена симметрично относительно оси $Ox$ вверх.

4. Найдем, где $g(x) \ge 0$, а где $g(x) < 0$. Точка перехода - это корень $g(x)=0$: $2 - \sqrt{x+2} = 0 \implies \sqrt{x+2} = 2 \implies x+2 = 4 \implies x=2$.

- При $-2 \le x \le 2$, $g(x) \ge 0$, поэтому $f(x) = g(x) = 2 - \sqrt{x+2}$.

- При $x > 2$, $g(x) < 0$, поэтому $f(x) = -g(x) = -(2 - \sqrt{x+2}) = \sqrt{x+2} - 2$.

Таким образом, график состоит из двух частей, стыкующихся в точке $(2, 0)$.

Ключевые точки:

- Начальная точка: при $x=-2$, $y=|2-\sqrt{-2+2}| = 2$. Точка $(-2, 2)$.

- Точка излома: при $x=2$, $y=|2-\sqrt{2+2}| = 0$. Точка $(2, 0)$.

- Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y=|2-\sqrt{0+2}| = 2-\sqrt{2}$. Точка $(0, 2-\sqrt{2})$.

Ответ: График функции начинается в точке $(-2, 2)$, убывает до точки излома $(2, 0)$, а затем возрастает. Он получен из графика $y = 2 - \sqrt{x+2}$ отражением его части при $x>2$ симметрично относительно оси абсцисс.