Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений без повторений?

3. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений с повторениями?

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций), которыми можно выбрать или расположить элементы из некоторого множества по заданным правилам.

Пример задачи:

В классе изучают 8 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 4 различных урока?

Решение:

Эта задача является задачей на нахождение числа размещений без повторений, так как важен не только набор предметов, но и их порядок в расписании, и все уроки должны быть разными.

На первый урок можно выбрать любой из 8 предметов.

На второй урок — любой из оставшихся 7 предметов.

На третий урок — любой из оставшихся 6 предметов.

На четвертый урок — любой из оставшихся 5 предметов.

По правилу произведения, общее число способов равно: $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$.

Это можно также вычислить по формуле для числа размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=8$ (общее число предметов), а $k=4$ (количество уроков в день):

$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{40320}{24} = 1680$.

Ответ: Существует 1680 способов составить расписание.

2. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений без повторений?

И перестановки, и размещения без повторений являются комбинаторными соединениями, которые оперируют с конечным множеством различных элементов.

Сходство:

1. Учет порядка: И для перестановок, и для размещений порядок следования элементов в комбинации имеет значение. Например, наборы {1, 2, 3} и {3, 2, 1} считаются двумя разными комбинациями.

2. Уникальность элементов: В обоих случаях элементы в одной комбинации не повторяются. Каждый элемент из исходного множества может быть использован не более одного раза.

Различие:

Основное различие заключается в количестве элементов из исходного множества, которые участвуют в формировании комбинации.

1. Перестановки без повторений — это комбинации, в которые входят все $n$ элементов исходного множества. Они отличаются друг от друга только порядком расположения этих элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

2. Размещения без повторений — это комбинации, которые составляются из $n$ элементов исходного множества по $k$ элементов, где $k \le n$. В них участвует только часть ($k$) элементов исходного множества. Размещения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Таким образом, перестановки являются частным случаем размещений, когда количество выбираемых элементов равно общему количеству элементов в множестве ($k=n$). В этом случае формула для размещений дает тот же результат, что и формула для перестановок: $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$.

Ответ: Сходство заключается в том, что в обоих случаях важен порядок и элементы не повторяются. Различие — в том, что в перестановках участвуют все элементы исходного множества, а в размещениях — только их часть ($k$ из $n$).

3. В чем сходство и в чем различие перестановок и размещений с повторениями?

И перестановки, и размещения с повторениями — это комбинации, в которых порядок элементов важен, а сами элементы могут повторяться.

Сходство:

1. Учет порядка: Как и в случае без повторений, порядок элементов в комбинации имеет значение.

2. Допустимость повторений: В обоих видах соединений элементы могут использоваться в комбинации более одного раза.

Различие:

Ключевое различие состоит в природе исходных данных и цели задачи.

1. Перестановки с повторениями используются, когда нужно найти число способов переупорядочить элементы заданного набора (мультимножества), в котором уже есть повторения. Общее количество элементов $n$ и число повторений каждого типа элемента ($n_1, n_2, \dots, n_m$) строго зафиксированы. Мы переставляем все $n$ элементов этого набора. Например, при нахождении числа анаграмм для слова "МАТЕМАТИКА" мы имеем фиксированный набор из 10 букв (М-2, А-3, Т-2, Е-1, И-1, К-1). Формула для числа перестановок с повторениями: $P_n(n_1, \dots, n_m) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_m!}$.

2. Размещения с повторениями используются, когда мы создаем упорядоченные последовательности (кортежи) длины $k$ из элементов, принадлежащих $n$ различным типам. Предполагается, что элементы каждого типа можно использовать неограниченное число раз (или, по крайней мере, $k$ раз). Здесь мы выбираем на каждую из $k$ позиций один из $n$ типов элементов. Длина комбинации $k$ никак не связана с числом типов $n$. Например, при составлении всех возможных 4-значных PIN-кодов из 10 цифр (от 0 до 9) мы имеем $n=10$ типов элементов (цифры) и составляем последовательность длиной $k=4$. Формула для числа размещений с повторениями: $\bar{A}_n^k = n^k$.

Следовательно, в перестановках с повторениями мы переставляем конкретный, заданный набор элементов, а в размещениях с повторениями — конструируем новые последовательности из доступных типов элементов.

Ответ: Сходство — в учете порядка и возможности повторения элементов. Различие — в том, что перестановки с повторениями — это переупорядочивание всех элементов заданного набора с фиксированными повторениями, а размещения с повторениями — это составление последовательностей заданной длины из $n$ типов элементов, которые можно выбирать неограниченно.

23.1. 1) По какой формуле вычисляется число перестановок без повторений из $n$ элементов?

2) По какой формуле вычисляется число перестановок с повторениями из $n$ элементов, где $n = n_1 + n_2 + \ldots + n_k$?

1) Перестановкой без повторений из $n$ элементов называется любое упорядоченное множество (последовательность) из этих $n$ элементов. Все элементы в множестве должны быть различными. Число таких перестановок обозначается $P_n$.

Чтобы вычислить это число, можно рассуждать так: на первую позицию в последовательности мы можем выбрать любой из $n$ элементов. На вторую позицию останется $n-1$ вариант, на третью — $n-2$ варианта, и так далее, пока для последней, $n$-й позиции, не останется только один элемент.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов расположить элементы равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, формула для вычисления числа перестановок без повторений из $n$ элементов:

$P_n = n!$

Ответ: $P_n = n!$

2) Перестановка с повторениями — это упорядоченная последовательность из $n$ элементов, среди которых могут быть одинаковые. В данном случае у нас есть $k$ различных типов элементов. Элемент первого типа повторяется $n_1$ раз, второго типа — $n_2$ раз, ..., $k$-го типа — $n_k$ раз. Общее число элементов равно $n = n_1 + n_2 + \dots + n_k$.

Если бы все $n$ элементов были различными, число перестановок было бы $n!$. Однако, поскольку у нас есть группы одинаковых элементов, некоторые перестановки будут неотличимы друг от друга. Например, если поменять местами два одинаковых элемента, общая последовательность не изменится.

Число перестановок внутри группы из $n_1$ одинаковых элементов равно $n_1!$. Аналогично, для других групп — $n_2!$, $n_3!$, и так далее. Чтобы получить число уникальных перестановок, нужно общее число перестановок ($n!$) разделить на количество перестановок, которые не приводят к изменению последовательности. Это количество равно произведению факториалов размеров каждой группы одинаковых элементов.

Таким образом, формула для вычисления числа перестановок с повторениями:

$P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$

Ответ: $P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$

23.2. Вычислите:

1) $P_4$; 2) $P_6$; 3) $\frac{P_7}{P_5}$; 4) $\frac{P_6}{P_8}$; 5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$; 6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$.

23.3. Найдите:

В задаче используется понятие числа перестановок из $n$ элементов, которое обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

1) $P_4$

Для вычисления $P_4$ используем формулу факториала для $n=4$.

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24

2) $P_6$

Аналогично вычисляем $P_6$ для $n=6$.

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720

3) $\frac{P_7}{P_5}$

Запишем выражение, используя определение перестановок через факториалы: $\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!}$.

Воспользуемся свойством факториала $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot k!$. В данном случае, $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$.

$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Ответ: 42

4) $\frac{P_6}{P_8}$

Запишем выражение через факториалы: $\frac{P_6}{P_8} = \frac{6!}{8!}$.

Расшифруем $8!$ как $8 \cdot 7 \cdot 6!$ и сократим дробь.

$\frac{6!}{8!} = \frac{6!}{8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{1}{8 \cdot 7} = \frac{1}{56}$.

Ответ: $\frac{1}{56}$

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8$.

Второе слагаемое: $\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{6 \cdot 5!} = \frac{1}{6}$.

Сложим полученные результаты:

$8 + \frac{1}{6} = 8\frac{1}{6}$.

Ответ: $8\frac{1}{6}$

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно.

Уменьшаемое: $\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.

Вычитаемое: $\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Найдем разность полученных значений:

$72 - 42 = 30$.

Ответ: 30

$P_5$ $P_8$ $P_7$ $P_6$ $P_7$ $P_8$

23.3. Найдите:

1) число перестановок, изменяющих число 3344;

2) число перестановок, не изменяющих число 3344;

3) число перестановок, не изменяющих слова комбинаторика.

1) число перестановок, изменяющих число 3344;

Чтобы найти число перестановок, которые изменяют число 3344, нужно из общего числа перестановок его четырех цифр вычесть число перестановок, которые не изменяют это число.

Число 3344 состоит из четырех цифр. Если бы все цифры были различны, общее число перестановок было бы $4!$. Мы будем рассматривать перестановки позиций, на которых стоят цифры. Общее число таких перестановок равно $4! = 24$.

Перестановка не изменяет число, если на тех же местах остаются те же самые цифры. В числе 3344 две цифры '3' и две цифры '4'. Число не изменится, если мы поменяем местами одинаковые цифры.

Две цифры '3' можно переставить между собой $2!$ способами.

Две цифры '4' можно переставить между собой $2!$ способами.

Число перестановок, не изменяющих число 3344, равно произведению этих возможностей: $N_{неизм} = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$.

Следовательно, число перестановок, изменяющих число 3344, равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, не изменяющих число:

$N_{изм} = 4! - N_{неизм} = 24 - 4 = 20$.

Ответ: 20

2) число перестановок, не изменяющих число 3344;

Перестановка не изменяет число 3344, если в результате этой перестановки цифры на своих позициях образуют то же самое число. Это происходит, когда переставляются только тождественные (одинаковые) цифры между собой.

В числе 3344 есть две группы одинаковых цифр:

- Две цифры '3'. Их можно переставить $2! = 2$ способами.

- Две цифры '4'. Их можно переставить $2! = 2$ способами.

Общее число перестановок, не изменяющих число, равно произведению числа перестановок внутри каждой группы одинаковых цифр:

$N_{неизм} = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4

3) число перестановок, не изменяющих слова комбинаторика.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти количество перестановок букв в слове "комбинаторика", которые не изменяют само слово. Такие перестановки возможны только при обмене местами одинаковых букв.

Сначала посчитаем количество каждой буквы в слове "комбинаторика":

- 'к' - 2 раза

- 'о' - 2 раза

- 'м' - 1 раз

- 'б' - 1 раз

- 'и' - 2 раза

- 'н' - 1 раз

- 'а' - 2 раза

- 'т' - 1 раз

- 'р' - 1 раз

Буквы, которые встречаются более одного раза: 'к', 'о', 'и', 'а'. Каждая из них встречается 2 раза.

Число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению факториалов количеств каждой повторяющейся буквы:

- Для буквы 'к': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'о': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'и': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'а': $2! = 2$ способа.

Общее число перестановок, не изменяющих слово "комбинаторика":

$N = 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

23.4. 1) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов раскрасить треугольник, круг и квадрат тремя различными цветами: синим, красным, желтым.

3) Найдите число способов распределения семи мест среди 7 участников соревнований.

1) Для составления четырехзначного числа из цифр 6, 7, 8, 9 без повторений необходимо расставить эти четыре цифры по четырем позициям (тысячи, сотни, десятки, единицы).

На первую позицию (тысячи) можно поставить любую из 4 цифр.

После того как первая цифра выбрана, на вторую позицию (сотни) остается 3 варианта.

На третью позицию (десятки) останется 2 варианта.

На последнюю, четвертую позицию (единицы), останется только 1 вариант.

По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждой позиции. Это является перестановкой из 4 элементов, которая вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае $n=4$, поэтому число четырехзначных чисел равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24

2) Необходимо раскрасить три различные фигуры (треугольник, круг, квадрат) тремя различными цветами (синий, красный, желтый). Каждой фигуре должен соответствовать один уникальный цвет.

Для первой фигуры (например, треугольника) можно выбрать любой из 3 цветов.

Для второй фигуры (например, круга) останется 2 варианта цвета.

Для третьей фигуры (квадрата) останется последний, 1 вариант цвета.

Общее число способов раскраски равно произведению числа вариантов. Это задача на перестановки 3 элементов.

Число способов равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6

3) Требуется распределить семь призовых мест среди семи участников соревнований. Каждое место может занять только один участник, и каждый участник занимает ровно одно место.

Это задача о числе способов упорядочить 7 различных объектов (участников).

Первое место может занять любой из 7 участников.

Второе место — любой из оставшихся 6.

Третье место — любой из оставшихся 5, и так далее до седьмого места, на которое останется 1 претендент.

Общее число способов распределения мест является числом перестановок из 7 элементов и вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Для $n=7$ получаем:

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.

Ответ: 5040