Номер 23.3, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

$P_5$ $P_8$ $P_7$ $P_6$ $P_7$ $P_8$

23.3. Найдите:

1) число перестановок, изменяющих число 3344;

2) число перестановок, не изменяющих число 3344;

3) число перестановок, не изменяющих слова комбинаторика.

1) число перестановок, изменяющих число 3344;

Чтобы найти число перестановок, которые изменяют число 3344, нужно из общего числа перестановок его четырех цифр вычесть число перестановок, которые не изменяют это число.

Число 3344 состоит из четырех цифр. Если бы все цифры были различны, общее число перестановок было бы $4!$. Мы будем рассматривать перестановки позиций, на которых стоят цифры. Общее число таких перестановок равно $4! = 24$.

Перестановка не изменяет число, если на тех же местах остаются те же самые цифры. В числе 3344 две цифры '3' и две цифры '4'. Число не изменится, если мы поменяем местами одинаковые цифры.

Две цифры '3' можно переставить между собой $2!$ способами.

Две цифры '4' можно переставить между собой $2!$ способами.

Число перестановок, не изменяющих число 3344, равно произведению этих возможностей: $N_{неизм} = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$.

Следовательно, число перестановок, изменяющих число 3344, равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, не изменяющих число:

$N_{изм} = 4! - N_{неизм} = 24 - 4 = 20$.

Ответ: 20

2) число перестановок, не изменяющих число 3344;

Перестановка не изменяет число 3344, если в результате этой перестановки цифры на своих позициях образуют то же самое число. Это происходит, когда переставляются только тождественные (одинаковые) цифры между собой.

В числе 3344 есть две группы одинаковых цифр:

- Две цифры '3'. Их можно переставить $2! = 2$ способами.

- Две цифры '4'. Их можно переставить $2! = 2$ способами.

Общее число перестановок, не изменяющих число, равно произведению числа перестановок внутри каждой группы одинаковых цифр:

$N_{неизм} = 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: 4

3) число перестановок, не изменяющих слова комбинаторика.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти количество перестановок букв в слове "комбинаторика", которые не изменяют само слово. Такие перестановки возможны только при обмене местами одинаковых букв.

Сначала посчитаем количество каждой буквы в слове "комбинаторика":

- 'к' - 2 раза

- 'о' - 2 раза

- 'м' - 1 раз

- 'б' - 1 раз

- 'и' - 2 раза

- 'н' - 1 раз

- 'а' - 2 раза

- 'т' - 1 раз

- 'р' - 1 раз

Буквы, которые встречаются более одного раза: 'к', 'о', 'и', 'а'. Каждая из них встречается 2 раза.

Число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению факториалов количеств каждой повторяющейся буквы:

- Для буквы 'к': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'о': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'и': $2! = 2$ способа.

- Для буквы 'а': $2! = 2$ способа.

Общее число перестановок, не изменяющих слово "комбинаторика":

$N = 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16