Номер 22.16, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.16. Решите неравенство:

1) $5 - 2x^2 > 10$;

2) $0 < x^2 - 4 \le 1$;

3) $x^2 - 4|x| < 0$.

1) Исходное неравенство: $5 - 2x^2 > 10$.

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-2x^2 > 10 - 5$

$-2x^2 > 5$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < -\frac{5}{2}$

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Неравенство $x^2 < -2.5$ утверждает, что неотрицательное число меньше отрицательного, что невозможно.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: решений нет.

2) Данное двойное неравенство $0 < x^2 - 4 \le 1$ равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 4 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство системы: $x^2 - 4 \le 1$.

Перенесем 1 в левую часть: $x^2 - 5 \le 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0$ равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Решение 2: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Заметим, что $2 = \sqrt{4}$, поэтому $2 < \sqrt{5}$ и соответственно $-2 > -\sqrt{5}$.

Пересечением этих двух множеств будет объединение интервалов: $[-\sqrt{5}; -2) \cup (2; \sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; -2) \cup (2; \sqrt{5}]$.

3) Исходное неравенство: $x^2 - 4|x| < 0$.

Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$ и перепишем неравенство:

$|x|^2 - 4|x| < 0$

Введем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 - 4t < 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t - 4) < 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t - 4) = 0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

Решением неравенства является интервал $(0; 4)$, то есть $0 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет нашему условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $|x|$ вместо $t$:

$0 < |x| < 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} |x| > 0 \\ |x| < 4 \end{cases}$

Решением первого неравенства $|x| > 0$ являются все действительные числа, кроме $x=0$.

Решением второго неравенства $|x| < 4$ является интервал $(-4; 4)$, то есть $-4 < x < 4$.

Общим решением системы будет пересечение этих двух множеств. Из интервала $(-4; 4)$ необходимо исключить точку $x=0$.

Таким образом, получаем объединение двух интервалов: $(-4; 0) \cup (0; 4)$.

Ответ: $x \in (-4; 0) \cup (0; 4)$.