Номер 22.12, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.12. Из 80 открыток на 40 изображены тюльпаны, на 20 — нарциссы, на 10 — сирень с тюльпанами, на 5 — сирень с нарциссами, на 5 — нарциссы с тюльпанами, на 10 — сирень с тюльпанами и нарциссами. Найдите число открыток с сиренью.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и принципом включения-исключения. Обозначим множества открыток следующим образом:

Т — множество открыток с тюльпанами.

Н — множество открыток с нарциссами.

С — множество открыток с сиренью.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

Общее число открыток: 80.

Число открыток с тюльпанами: $|Т| = 40$.

Число открыток с нарциссами: $|Н| = 20$.

Число открыток с сиренью и тюльпанами: $|С \cap Т| = 10$.

Число открыток с сиренью и нарциссами: $|С \cap Н| = 5$.

Число открыток с нарциссами и тюльпанами: $|Н \cap Т| = 5$.

Число открыток с сиренью, тюльпанами и нарциссами: $|С \cap Т \cap Н| = 10$.

Анализ условия задачи:

В условии задачи присутствует логическое противоречие. Множество открыток, на которых изображены все три вида цветов ($С \cap Т \cap Н$), является подмножеством множества открыток, где есть любые два вида цветов (например, $С \cap Н$). Следовательно, количество элементов в первом множестве не может быть больше, чем во втором. Однако, по условию, $|С \cap Т \cap Н| = 10$, а $|С \cap Н| = 5$. Это невозможно, так как $10 > 5$.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в количестве открыток, на которых изображены все три цветка. Для того чтобы условие было корректным, это число должно быть не больше, чем наименьшее из чисел для пересечений двух множеств, то есть не больше 5. Предположим, что верное значение для пересечения трех множеств равно 5, то есть $|С \cap Т \cap Н| = 5$.

Также будем считать, что каждая из 80 открыток содержит хотя бы один из перечисленных цветов, то есть общее число открыток является объединением трех множеств: $|С \cup Т \cup Н| = 80$.

Решение:

Для нахождения числа открыток с сиренью ($|С|$) воспользуемся формулой принципа включения-исключения для трех множеств: $|С \cup Т \cup Н| = |С| + |Т| + |Н| - (|С \cap Т| + |С \cap Н| + |Т \cap Н|) + |С \cap Т \cap Н|$

Подставим в формулу известные и скорректированные значения: $80 = |С| + 40 + 20 - (10 + 5 + 5) + 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $|С|$: $80 = |С| + 60 - 20 + 5$ $80 = |С| + 45$ $|С| = 80 - 45$ $|С| = 35$

Таким образом, число открыток с сиренью составляет 35.

Ответ: 35.